(完整版)高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章微分中值定理与导数的应用

一、选择题

1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）

是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (

2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（）

0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=

3、的凸区间是 x e y x -=（）

) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞

4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（）

(A)x

x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2

x )x (f = (D)1x )x (f 2+=

5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值

6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（）

(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]

5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（）

(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，

8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3

x 3sin3x asinx f(x)π=+

=（） (A) 1 (B) 2 (C)

3 π

(D) 0

10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（）

]

5 4

, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (-

-- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）

的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点

，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000

二、填空题 1、__________________e

y 82

的凸区间是曲线-=．

2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．

3、的凸区间为曲线

x 3 e y x

_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为，最小值为． 7、函数 x sin ln y =在 [

, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． 8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数?=。 11、y ＝x ＋ x 1 - ，－51x ≤≤ 的最小值为． 12、x x y -= 的单调减区间是． 13、x arctan x y -= 在且仅在区间______________上单调増． 14、函数f(x)＝x ＋2cosx 在区间 [ 0 ,

2 π

] 上的最大值为． 15、函数y ＝3x 4x x 223+-+ 的单调减少区间是．

16、已知点（1，3）是曲线 23bx ax y += 的拐点，则a= ，b= ． 17、的单调递减区间为 e e 2)x (f x x -+= . 三、计算题

1、的极值和单调区间求函数 4x 9x 6x y 23-+-=。

2、求极限 )

1x x

x ln 1(

lim 1

x --→． 3、求函数y ＝23x 4x x 23+-+的单调区间、凹凸区间、拐点． 4、设常数0k >，试判别函数()ln x

f x x k e

=-+在()0,+∞内零点的个数． 5、求函数 10x 6x 2

3x y 2

3+--= 的单调区间和极值．

。 6．)

1 - e 1

x 1

(lim x 0

x -→． 7．[]上的最大值与最小值在求函数 1 , 1 x 45 y --=． 8．求曲线x

y ln =

的单调区间和凹凸区间.． 9. 求曲线34223+-+=x x x y 的单调区间和凹凸区间. 10．求函数 x x e y -= 图形的凹凸区间及拐点．

11、的拐点求曲线 3

{ 3

t y t x +==. 12、求函数 4x 9x 6x y 23-+-= 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．

13、[]上的最大值、最小值，

在求函数 41 27x 18x 6x 2y 23+--=． 14、的单调性和凹凸性讨论函数 )x (1ln f(x ) 2+= 15、讨论函数x

x ln )x (f =

的单调性和凹凸性． 16、求曲线 )1ln(2x y +=的凹凸区间和拐点．

17. 求函数282

+-=x x y 在区间]3,1[-上的最大值与最小值． 18. 求函数 133+-=x x

y 在区间 [-2，0]上的最大值和最小值．

19. 试确定常数a 、b 、c 的值，使曲线 c bx ax x y 23+++= 在x= 2处取到极值，且与直线 3x 3y +-= 相切于点（1 ，0）．

四. 综合题(第1-2题每题6分，第3题8分，总计20分)

1．证明：当x )2

,0(π

∈时，(sin )(cos )x x x > ．

2、 x 1 ) x 1 x ( ln x 1 0x 22+>+++>时，当．

3、证明： 2

cot arctan π

+x arc x ．

4、设 )x ( ? 在 [0,1] 上可导，f(x)＝(x －1))x ( ?，求证：存在x 0∈(0，1)，使)0( )x ( f 0?=’

． 5、试用拉格朗日中值定理证明：当 0b a >> 时，

a b a ln a b a -<<- ． 6、证明：当0>x 时，x

x +>+1arctan )1ln(．

7、 x )x 1ln(x

1 x

, 0 x <+<+>时证明：当． 8、证明：当x>0时，有 1+

x 1 x

2 1

+> ． 9、证明当x sin 6

x x 0x 3

≤-≥时，．

10、证明：若 0 x >，则x

1 x

)x 1 (n l +>+ ． 11、)1ln(2

1 2

x x x x +<->时，证明：当 12、证明：多项式

13)(3+-=x x x f 在 [ 0，1 ] 内不可能有两个零点．

13、证明当

x 13 x 2 1x ->>时，

. 14、x cos x sin x 2

x 0 >π

<<时证明：当

答案：一、选择

1、A

2、D

3、A

4、D

5、D

6、B

7、A

8、C

9、B 10、A 11、A 二、填空 1、[2,2]- 2、1

ln 2

x =-

3、()(),33,2-∞-?--

4、2

5、39,22??- ???

6、2,1

7、2π

8、1 9、1ln 2-

10、1ln 2

11、5- 12、1x 4

< 13、-14 14、

+π

15、）上单调递减，在（3

16、2

9,23-

17、

)2ln 2

-∞-，（三、计算题

1、解：令231293(3)(1)0,y x x x x '=-+=--=可得驻点：121,3x x == ……2分列表可得

函数的单调递增区间为(,1)(3,)-∞+∞U ，单调递减区间为(1,3) ……5分极大值为1|0,x y ==极小值3|4x y ==- ……7分

2、解：原式＝1

111ln ln ln 1

lim

lim lim 1(1)ln ln 12ln 1x x x x x x x x x x x x x x x

→→→----===--+-+-

……6分

3、解：令26242(32)(1)0,y x x x x '=+-=-+=可得驻点：122

1,3

x x =-= ……2分列表可得

函数的单调递增区间为2(,1)(,)3

-∞-+∞U ，单调递减区间为2

(1,)3- ……4分

又令1220y x ''=+=得31

x =-. ……5分

所以凸区间为1(,)6-∞-,凹区间为1(,)6-+∞.拐点为119

(,3)627

-. ……7分

4、解： 11

()f x x e

'=- ……1分

当(0,)x e ∈时,()0f x '>,所以()f x 在[0,]e 上单调增加; ……2分又()0f e k =>,x 充分接近于0时, ()0f e <, ……3分故()f x 在(0,)e 内有且仅有一个零点. ……4分同理, ()f x 在(,)e +∞内也有且仅有一个零点. ……6分

5、解：解23363(2)(1)0,y x x x x '=--=-+=可得驻点：121,2x x =-= ……2分列表可得

函数的单调递增区间为(,1)(2,)-∞-+∞U ，单调递减区间为(1,2)- ……5分极大值为127

|,2

x y =-=极小值2|0x y == ……7分

6、解：原式＝01

lim x x x e x xe x →--- ……2分

＝01

lim 1

x x x x e xe e →-+- ……4分

＝01

lim 22

x x x x e xe e →=+ ……6分

7、解：当x 单调增加时，函数()54g x x =-单调减少，

所以函数()y x = ……2分

在区间[1,1]-函数()y x =

所以当1x =-时，函数取得最大值max 3y y ==； ……4分所以当1x =时，函数取得最小值min 1y y ==。 ……6分

8、解： '2

1ln ,x y x

令'

0y =，于是x e =。当0x e <<时，'0y >，函数单调增加；

当e x <时，'0y <，函数单调减少。 ……2分所以函数的单调增区间为：(0,)e ；

函数的单调减区间为：(,)e +∞。 ……4分

而 ''

2ln 3,x y x

-=令''

0y =，于是3

2x e =。 ……5分函数的凸区间为：32

(0,)e ；函数的凹区间为：32

(,)e +∞。 ……6分

9、解：因为

'26242(1)(32)y x x x x =+-=+-，

所以令'0,y = 得到122

1,3x x =-=

。 ……2分函数的单调增区间为： 2

(,1),(,)3-∞-+∞；

函数的单调减区间为： 2

(1,)3

-。 ……4分

又由于

''122y x =+，

于是函数的凸区间为：1

(,);6-∞-

函数的凹区间为：1

(,)6

-+∞。 ……6分

10、解：因为：

''',(2)x x x

y e xe y x e

---=-=-， (2)

分

令

'''0,0y y ==，得到： 121, 2y y ==。所以函数的单调增区间为：(,1)-∞，

函数的单调减区间为：(1,)+∞。 ……4分函数的凸区间为：(,2)-∞，

函数的凹区间为：(2,)+∞。函数的拐点为：2(2,2)e -。 ……6分

11、解：322224)1(3 ,233t t dx y d t t dx dy -=+= ……3分令04)1(3 3

222=-=t

t dx y d 得 1,121=-=t t 从而得曲线的可能拐点为 )4 ,1( )2 ,1(和-，又二阶导数在该两点左右异号。所以 )4 ,1( )2 ,1(和- 为曲线的

拐点 ……6分

12、解：令.3,1 x ,0)3)(1(39123'212===--=+-=x x x x x y 得令 .2 ,0126''3==-=x x y 得 ……3 分列表如下

……7分

13、解：令 3 ]4,1[10)3)(1(618126'212=?-==-+=--=x x x x x x y （舍去），

，得驻点 ……3分比较函数在端点和驻点处的函数值，得[]上的最大值、最小值，

在函数 41 271862 23+--=x x x y 为 32,27max min =-=y y ……6分

14、解：令0)1()

1(2)('',012)('2

222=+-==+=x x x f x x x f ，得1,0,1321==-=x x x ， …….3分

15、解： 3

12,0ln 3)('',,0

ln 1)('e x x

x x f e x x x x f ==+-===-=得得 …….6分

16、解： 2

222)1()

1(2'',12'x x y x x y +-=+=，拐点为 )2ln ,1(),2ln ,1(- ……4分凹区间为),,1()1,(+∞--∞和凸区间为（-1，1） ……6分

所以，函数在[-1，3]上的驻点为2,0==x x 。 ……3分当x=0时，y=2,x=2时，y=-14 ……5分而x=-1时，y=-2, x=3时，y=11 ……7分所以函数的最大值为11，最小值为-14 ……8分

18、解：由于 )1)(1(3332

-+=-='x x x

y ……2分

所以，函数在[-2，0]上的驻点为1-=x 。 ……3分当x=-1时，y=3 ，而x=--2时，y=--1, x=0时，y=1 ……5分所以函数的最大值为3，最小值为-1 ……6分

19、解：根据已知条件得2

21|(32)|1240 dy |323

dx 10x x x dy x ax b a b dx a b a b c ===?=++=++=??

=++=-??

+++=?

?? …… 4分

解上面方程组得??

??==-=203c b a ……7分

四、综合题

（1）证：令 1()sin cos sin 22F x x x x x x =-=-，(0,)2

x π

∈

显然()F x 在区间(0,)2

上连续的，可导的。并且(0)0.F = ……2分

由于

'()1cos 2F x x =- ，

对于任意的(0,)2

x π

∈，'()0F x >。

所以函数()F x 在区间(0,)2π

上单调增函数。 ……4分

于是对于任意的(0,)2x π

∈，有

()(0)0F x F >=，

即为：

sin cos .x x x > ……6分

（2）证：令 )0(0)1ln()(',0)0(,1)1ln(1)(222>>++==+-+++=x x x x f f x x x x x f 则

（3）证：令 0)(',cot arctan )(=+=x f x arc x x f 则 ……4分所以 f (x) 恒为常数，又2

)1(π

=f ，从而2

cot arctan )(π

+=x arc x x f ……6分

（4）证：因为)x ( ? 在 [0,1] 上可导，所以f(x)＝(x －1))x ( ?在[0，1]上连续，在（0，1）内可导。…… 4分根据拉格朗日中值定理，至少存在一点x 0∈(0，1)，使)0(0

0()1()('0?=--=f f x f ……8分

（5）证：设x x f ln )(=，则x

x f 1

)(=

' ……1分对b a ln ln -用拉格朗日中值定理得 ))((ln ln b a f b a -'=-ξ，其中),(a b ∈ξ ……4分

而b

b a b a b a f a b a -<

-=-'<-ξξ))((，所以b b

a b a ln a b a -<<- ……6分

（6）证：令x x x x f arctan )1ln()1()(-++= …… 1分则2

1)1ln()(x

x x f +-

++=' 。 …… 3分因为当0>x 时，0)1ln(11

1)1ln()(2

>+>+-

++='x x

x x f ， …… 4分所以)(x f 在),0(+∞上是严格单调连续递增函数，并且0)0(=f ， …… 5分故当0>x 时，0)(>x f ，即x

x +>+1arctan )1ln(。 …… 6分

（7）证：令x

x f x x f +=

'+=11

)(),1ln()( …… 1分对1ln )1ln()(-+=x x f 利用柯西中值定理存在

即ξ

+=+1)1ln(x

x …… 4分

又由于)0x ，（∈

ξ，x x x x <+<+ξ

11，所以x x <+<+)1ln(x 1 x …… 6分

（8）证：令21

()(1)(1)2

f x x x =+-+

()0,(0)2

f x x '=>> ……2分

故0x >时,()(0)0f x f >=即21

(1)(1),(0)2

x x x +>+> ……5分

从而1

1 2

x +> ……6分

（9）证：令3

()sin 6

x f x x x =-- 因为22222()1cos 2sin 2()0,(0)22222x x x x x f x x x '=--=-<-=< ……4分故0x ≥时,()(0)0f x f ≤=,即3

sin 6

x x x -≤ ……6分

（10）证：令

()ln(1),(0)1x

F x x x x

=+-

≥+ ……2分则()F x 在0x ≥的范围中是可导的，且 (0)0F =。

'22

11()1(1)(1)x F x x x x =

-=+++，对于任意的0x >，有'()0F x >。

所以函数()F x 在0x ≥的范围中是单调上升的。 ……4分

于是，对于任意的0x >，有

()(0)0F x F >=，

即：

ln(1)1x

x x

+。 ……6分

（11）证：令 2

()ln(1),2

x F x x x =+-+ (1)x ≥

且有：1

(1)ln 202

F =-

>。而且对于任意的1x >，2

1()10,11x F x x x x

-+=>++ ……4分所以对于任意的1x >，

()ln(1)(1)02

x F x x x F =+-+>>，

于是原不等式成立。 ……6分

（12）证：假设函数()f x 在区间[0,1]上至少存在两个不同的零点121

2,()x x x x <。 ……2分

函数()f x 在区间[0,1]上连续，可导。于是有

12()()0f x f x ==。 ……4分

根据罗尔中值定理，则存在一点12(,)[0,1]x x η∈?，

使得

'2()3(1)0f ηη=-=，

显然这是不可能的。所以假设不成立。 ……6分

（13）证：令0111)('1 x , 13 2f(x) 22

32>-=-=>+

-=x x x

x x f x x 时则当 ……4分所以当x>1 时，f(x)>f(1)=0 , 即有

x 1

3 x 2 1x -

>>时， ……6分

（14）证：令)2

0(02cos 1)(',0)0(,cos sin )(π

<>-==-=x x x f f x x x x f 则 ……3分

所以0)0()(, 2

0 =><

，即x x x x cos sin 2

<时当π

…….6分

高数第三章一元函数的导数和微分

第三章一元函数的导数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念一、问题的提出 1.切线问题割线的极限位置——切线位置如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题

二、导数的定义设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为即其它形式关于导数的说明：在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

的导函数，记作注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题：例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求：（1）【答疑编号11030101：针对该题提问】（2）【答疑编号11030102：针对该题提问】

三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数：函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。【答疑编号11030103：针对该题提问】解

闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数步骤：例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。【答疑编号11030104：针对该题提问】解例4、设函数【答疑编号11030105：针对该题提问】解

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

高等数学第2章导数与微分

第二章导数与微分教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、会求分段函数的导数。 5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念一、引例 1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取

比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．

第三章微分中值定理与导数应用教案教学设计

第三章微分中值定理与导数应用第一节微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。教学内容：一、罗尔定理 1. 罗尔定理几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理费马引理设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0

根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形：（1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性解显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件，但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条

高等数学导数与微分练习题

作业习题 1、求下列函数的导数。（1）223)1(-=x x y ；（2）x x y sin = ；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。（1）)0(,>=x x y x ；（2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。（2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。

中值定理与导数的应用(包括题)

第三章中值定理与导数的应用一、基本内容（一）中值定理 1.罗尔定理如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,<

(2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）；那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三）泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四）函数的单调性函数单调性的判别法设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；

高等数学考研大总结之四导数与微分

第四章导数与微分第一讲导数一，导数的定义： 1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()() 00,x f x f y x x x -=?-=?则()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量（差分）y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量增量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0 x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限

微分中值定理与导数应用

第三单元微分中值定理与导数应用一、填空题 1、 lim xln x x 0 。 2、函数f x 2x cos x 在区间单调增 3 、函数f x 4 8x 3 3x 4的极大值是。 4 、曲线y x 4 6x 2 3x 在区间是凸的。 5 、函数f x cosx 在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是 6 、曲线y xe 3x 的拐点坐标是。 7、若fx 在含X 。的a,b (其中a b )内恒有二阶负的导数，且则f X 。是f x 在a,b 上的最大值。 & y X 3 2x 1 在内有个零点。 1 1 9、 lim cot x( ) 。 sin x x 1 i 10、 lim (~2 ------------ ) __________ 。 x 0 x xta n x 11、曲线y e"的上凸区间是 _____________ 。 12、函数y e x x 1的单调增区间是 _______________ 。二、单项选择 1、函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0) 1,f (0) 2,则lim x 0 () (A) 不存在；(E) 0 ; (C) -1 ; (D) -2 2、设 f(x) (x 1)(2x 1),x (,),则在(丄,1)内曲线 f(x)( f(x) x 2 x

2 (A)单调增凹的；(E)单调减凹的； (A)不可导; (B)可导，且f'(0) 0 ；

(C)单调增凸的; (D)单调减凸的 3、f(x)在(a,b)内连续，X 。 (a,b), f (X 。) f (x °) 0，则 f (x)在 x x 。处 ( ) (A)取得极大值； (E)取得极小值； (C) 一定有拐点(x o ，f(x 。)); (D)可能取得极值，也可能有拐点。 4、设f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导，则I:在(a,b)内f (x) 0与在(a,b)上f (x) f (a)之间关系是( ) (A)无实根； (B)有唯一实根； (C) 有两个实根； (D)有三个实根。 7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f(0) 0 , lim f(x) 2 , x 01 cosx 则在点x 0处f(x)( ) (A) I 是H 的充分但非必要条件分条件； (C) I 是H 的充分必要条件；也不是必要条件。 5、设f(x)、g(x)在a,b 连续可导, 则当a x b 时，则有( (A) f(x)g(x) f(a)g(a)； (C)他他； g(x) g(a) 6、方程x 3 3x 1 0在区间(， (B) I 是H 的必要但非充 (D) I 不是H 的充分条件， f (x)g(x) 0，且 f (x)g(x) f(x)g (x), ) (B) f(x)g(x) f (b)g(b)； (D)喪起。 f(x) f(a) )内( )

第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)

第四章中值定理与导数的应用一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间，在[-1，1]中最大值为，最小值为。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为，其极大值为，极小值为。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为。二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(>

微分中值定理与导数的应用练习题

题型 1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题 2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算 3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值 4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点 5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程内容一．中值定理 1.罗尔定理 2.拉格朗日中值定理二．洛比达法则一些类型（00、∞ ∞、∞?0、∞-∞、0 ∞、0 0、∞ 1等）三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点五．函数的渐近线

水平渐近线、垂直渐近线典型例题题型I 方程根的证明题型II 不等式（或等式）的证明题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值题型IV 求函数的凹凸区间及拐点自测题三一．填空题二．选择题三．解答题 4月13日微分中值定理与导数应用练习题基础题：一．填空题 1．函数12 -=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。 3．1)(2 -+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。 4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。 5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有个实根，分别位于区间中． 7. =→ x x x 3cos 5cos lim 2 π35- 8.=++∞→x x x arctan ) 1 1ln(lim

第三章中值定理与导数的应用答案

(A) 一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明 1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1 当x 0时，F'x ?0,从而Fx 在0单增因为F0=0，故Fx ?0,即 e x 1 x 2 2 .设 x 0，证明 x - x In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2 因x ? 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, ?::单减。 2 x 故 f x :: f 0 =0，即卩 x In 1 x 2 20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x 1 ——1 1 + x 当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x 2 由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 ? x :: x 2 (B ) 一选择 1— 4 CBDD 习题3.1 1°:令 f x R x -

计算与证明 arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故 1 1 arctan arcta n — ，使 f n LJ v f 1 1 当n 时，贝厂＞ 0 1 故原式二 lim f = lim 2 = 1 2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ?0,1 ，都有f x - 1，试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0， F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有：5 1X1, X 2 ，使得 f = f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1 x 2 _捲 x 2 _捲这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。 3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点 1,2，使F 」=0。求lim n _L ：i 由拉格朗日定理知，存在一点

微分中值定理与导数的应用习题

第四章微分中值定理与导数得应用习题 §４、1 微分中值定理 1. 填空题 (1）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立得ξ就是. （2)设,则有３个实根，分别位于区间中. 2.选择题 (1)罗尔定理中得三个条件:在上连续,在内可导,且,就是在内至少存在一点,使成立得（B ). A．必要条件 B.充分条件 C. 充要条件D．既非充分也非必要条件（2)下列函数在上满足罗尔定理条件得就是( C ）． A、B、C、Ｄ、 (3)若在内可导，且就是内任意两点,则至少存在一点,使下式成立(Ｂ). A. B. 在之间 C. Ｄ. 3.证明恒等式：. 证明: 令，则,所以为一常数. 设，又因为, 故．４．若函数在内具有二阶导数，且,其中,证明：在内至少有一点，使得. 证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在, 使. 同理存在，使. 又在上符合罗尔定理得条件,故有,使得． 5. 证明方程有且仅有一个实根. 证明:设, 则,根据零点存在定理至少存在一个,使得.另一方面，假设有,且，使,根据罗尔定理,存在使,即,这与矛盾.故方程只有一个实根. 6. 设函数得导函数在上连续,且,其中就是介于之间得一个实数. 证明: 存在,使成立、证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导.又因为,根据零点存在定理,必存在点，使得. 同理,存在点,使得．因此在上满足罗尔定理得条件,故存在，使成立． 7、设函数在上连续，在内可导、试证：至少存在一点, 使证明：只需令,利用柯西中值定理即可证明、８．证明下列不等式 (1)当时，. 证明：设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,且, 故, 即 (）因此, 当时,. (2)当时,. 证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有因为,所以,又因为，所以，从而 . §4、2 洛毕达法则１. 填空题 (１) (２)０（3）= (4)１ 2.选择题

高等数学微分中值定理应用举例

微分中值定理应用举例单调性与极值 1.函数)(x f 在[]0,1上//()0f x >，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解：)(x f 在[]0,1上满足拉氏中值定理条件，存在()0,1ξ∈，使得/(1)(0)()f f f ξ-=.由于//()0f x >，所以/()f x 单调增加，而01ξ<<，所以///(0)()(1)f f f ξ<<，即//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<. 2.函数)(x f 在[]0,1上/////()0,(0)0f x f >=，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解：由于///()0f x >，所以//()f x 单调增加，而//(0)0f =，所以在[]0,1上//()0f x >，同上题讨论有//(0)(1)(0)(1)f f f f <-< 3.()()f x f x =--在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>,判断在(),0-∞内///(),()f x f x 的符号. 解：()()f x f x =--，所以)(x f 在(),-∞+∞内为奇函数，/()f x 为偶函数，//()f x 为奇函数，在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>，所以在(),0-∞内///()0,()0f x f x ><. 4.已知函数)(x f 在区间()1,1δδ-+内具有二阶导数,且/()f x 严格递增, /(1)(1)1f f ==，则：A.在()1,1δδ-+内均有()f x x <；B.在()()1,1,1,1δδ-+内均有()f x x >；C. 在()1,1δ-内均有()f x x <，在()1,1δ+内均有()f x x >； D. 在()1,1δ-内均有()f x x >，在()1,1δ+内均有()f x x <. 解：令()()F x f x x =-，则(1)(1)10F f =-=，//()()1F x f x =- 选择B.

第四章.中值定理与导数的应用

第四章．中值定理与导数的应用要求掌握的内容： 1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理 2、会用洛必达法则求函数极限 3、掌握函数单调性的判别方法 4、了解函数极值的概念，掌握函数极值、最值的求法及应用 5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。 6、会描绘简单函数的图形一、罗尔定理如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ

高等数学第三章微分中值定理及导数的应用题库(附带答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（） 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（） 3、的凸区间是 x e y x -=（） 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+=（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（） 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 3、的凸区间为曲线 x 3 e y x += _____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝．

第二章导数与微分高等数学同济大学第六版

第二章导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系讲解提纲：一、引例：引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-；