第20讲 三元一次方程组和一元一次不等式组

第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组教学目的

1．了解三元一次方程组和它的解的概念；

2．会解三元一次方程组并会用它解决较简单的应用题；

3．了解一元一次不等式和一元一次不等式组的解集；

4．会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会进行一些简单的应用．

典题精析

【例１】解方程组

27

5322 34416

x y

x y z

x y z

-=

?

?

++=

?

?-+=

?

①

②

③

【解法指导】观察发现，本方程组共有两个三元一次方程，一个二元一次方程．解三元一次方程组的基本思想是消元，将其转化为二元一次方程组来求解．因此，根据本题特点有两种主要思路：一是代入法，将①分别代入②、③消去y，从而得到一个以x、z为未知数的二元一次方程组；二是由②③用加减法消去z 得一个以x、y为未知数的方程，再与①联系，得一个二元一次方程组．

解：方法⑴

由①得：y＝2x－7 ④

将④代入②，得

5x＋3(2x－7)－3z＝2

即11x＋3z＝23 ⑤

将④代入③，得

3x－4(2x－7)－4z＝16

即－5x－4z＝－12 ⑥

解二元一次

11323

5412

x z

x z

+=

?

?

+=

?

得

2

1

2

x

z

=

?

?

?

=

??

将x＝2代入①得y＝－3

∴原方程组的解为

2

3

1

2 x

y

z

?

?=

?

=-?

?

?=

?

方法⑵

②×2得10x＋6y＋4z＝4 ④④＋③得13x＋2y＝20 ⑤

解方程组

27

13220

x y

x y

-=

?

?

+=

?

得

2

3

x

y

=

?

?

=-

?

将

2

3

x

y

=

?

?

=-

?

代入②得

1

2

z=

∴原方程组的解为

2

3

1

2

x

y

z

?

?=

?

=-

?

?

?=

?

变式练习

1．解下列方程组：

⑴126218x y x y z x z y -=??

++=??+-=?

⑵27328344x y y z x z -=??

+=-??-=? ⑶:5:3:7:2234x y x z x y z =??

=??-+=?

2．解方程组864x y y z x z +=??

+=??+=?

，并且mx ＋2y －z 1994＝10，求m 的值．

【例2】北京时间2006年1月23日，科比率领湖人队在洛杉矶迎接多伦多猛龙队的挑战．在比赛中，科比全场46投28中，罚篮命中率高达90%，疯狂砍下职业生涯最高分81分，其中依靠罚球和三分球所得分数比其他投篮得分仅仅少了3分，最终湖人队以122︰104获胜．科比的81分超越了近20年来乔丹69分的得分记录，也成为继张伯伦1962年3月2日对阵纽约尼克斯砍下的NBA 单场最高得分记录100分之后，联盟历史上排名第二的单场个人最高分．在篮球比赛中，三分球每投中一个加3分，除此之外其他的投篮每投中一个加2分．若是对方犯规，罚球每中一个，加1分，且在计算命中率时，罚球是单独计算的，不计入总的出手次数，那么通过上面的这则新闻，你能算出科比投中的三分球、二分球和罚球分别是多少个吗？

【解法指导】列方程组解决实际问题时，关键是找出题中的等量关系（注意找全所有的等量关系），然后适当设出未知数，列出各个方程组成方程组． 本题中，等量关系有3个：

⑴科比全场共得81分；⑵科比46投28中，即他的三分球和二分球总共中了28次；⑶罚球和三分球所得的分数比其他投篮得分仅仅少了3分，即三分球和罚球的分数之和比二分球得分少3分． 利用这三点就很容易建立方程组求解．

解：设科比投中x 个二分球，y 个三分球，z 个罚球．依题意得：

238128

323x y z x y y z x ++=??+=??+=-?解得L 21718x y z =??

=??=?

变式练习

1．某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件各一个可以配成一套，现要在63天的生产中，使生产的三种零件全部配套，这个车间应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套？

2．2003年全国足球甲

问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分？

【例3】下列各命题，是真命题的有（ ） ①若a ＞b ，则a －b ＞0 ②若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 ③若ac ＞bc ，则a ＞b ④若ac 2＞bc 2，则a ＞b ⑤若a ＞b ，则3a ＞3b ⑥若a ＞b ，则－3a ＋1＞－3b ＋1 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

【解法指导】不等式的三条性质，是解决有关不等式的命题的重要依据，深入透彻理解不等式的三条性质的真实内涵，是判断上述各命题的关键．第①题是直接运用不等式的性质1，完全正确．第②题是将不等式a ＞b 的两边同乘以c 2，但c 2≥0，当c 2＝0时，ac 2＝bc 2，故本题不对．第③题是将ac ＞bc 的两边同除c 得到a ＞b ，虽然条件知c≠0，但c 可正可负，当c ＜0时，a ＞b 就不成立，故本题不对．第④题由条件ac 2＞bc 2知c 2≠0，因而c2＞0，故本题正确．第⑤题中，设a ＞b 两边同乘以3，满足性质2，故正确．第⑥题中由a ＞b 得－3a ＜－3b ．因而－3a ＋1＜－3b ＋1，因此不对，本小题运用了性质3和性质1． 解：C 变式练习

1．下列各命题，正确的有（ ） ①若a －b ＞0，则a ＞b ②若a ＜b ，则ac ＜bc ③若a

b c c

＞，则a ＞b ④若a ＜b ，则

22

a b

c c ＜

⑤若a ＞b ，则

2211

a b

m m ++＞

⑥若a ＞b ，则a 2＞ab

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2． ⑴关于x 的不等式（m 2＋1）x ＞m 2＋1解集是________________；

⑵若关于x 的不等式（m ＋1）x ＜m ＋1的解集是x ＜1，则m 满足的条件是_________ 3．若关于x 的不等式（2a －b ）x ＞3a ＋b 的解集是x ＜7

3

，则关于x 的不等式2ax≥3b 的解集是多少？

【例4】解不等式组15910413

1722

x x x x -<-??

?--??①≤②并把解集在数轴上表示出来． 【解法指导】不等式的解集就是不等式组中每个不等式的公共解集．这就要求首先会解每个不等式然后会

综合不等式组的解集．一般地，对于a ＜b ，有下列四种情形． ⑴x a

x b x b >??>?

>?

即同大取大 ⑵x a

x a x b

⑶x a

a x

b x b

>??<

⑷x a x b >???>?

无解即大大小小无法找

解：由不等式①可得x ＞1， 由不等式②得x≤4

综合可得此不等式组的解集是1＜x≤4

变式练习

1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

⑴31422x x x ->-??+?

≤

⑵5122(43)

3112

x x x --??

?-

2．已知整数x 满足不等式3x －4≤6x －2和不等式

21132

x x +--1

＜

，并且满足3(x ＋a)－5a ＋2＝0，试求21

52a a

-

的值．

3．已知|1－x|＝x －1，则不等式组5421

312

x x x +>-??

-

【例5】若关于x 的不等式组3(2)224

x x a x x --

?+>??①②有解，则a 的取值范围是多少？

【解法指导】分别解每个不等式，可得22

x a x >??

?

在数轴上看，2与

2a 之间必有“空隙”，且2在2

a

的左边，将它们表示在数轴上如下图：

显然只有图⑶才符合要求，所以2＜2

a

，即a ＜4． 解：由⑴可知：x ＞2 由⑵可知：x ＜2a ∵原不等式有解 ∴2＜2

a

即a ＞4

故a 的取值范围是a ＞4

变式练习 1．选择题：

⑴若关于x 的不等式组210

340x a x a -+??-+?

≤≥有解，则a 的取值范围是(

)

A ．a ＜3

B ．a≤3

C ．a ＞3

D ．a≥3

2

2 2

a 2

2

a ⑴

⑵

⑶

⑵若关于x 的不等式组3(2)4

32x x x a x --

无解，则a 的取值范围是（

）

A ．a ＜1

B ．a≤1

C ．a ＝1

D ．a≥1

⑶若不等式组0

122

x a x x +??--?≥＞有解，则a 的取值范围是（

）

A ．a ＞－1

B ．a≥－1

C ．a≤1

D ．a ＜1

2．试确定a 的取值范围，使不等式组：114

111.5(1)()0.5(21)22

x x a a a x x +?+????-+-+-??＞①＞②只有一个整数解．

3．不等式组1

2

x a x a ->-??

-

【例6】如图所示，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______________． 【解法指导】由计算机编入程序的问题，主要是由题目中设置的不同程序，

对输入的不同数值上，其计算路径也不同．，此类题的关键，是读懂题目所给的程序（框图）．本题中，对于输入的正整数x ，分奇数和偶数分别进行计算．若x 为奇数，则乘以5，得出输出值y 为5x ，即y ＝5x ．若输入

的x 为偶数，则y ＝4x ＋13．

解：当x 是奇数时，由程序运算得5x ＞100，解得x ＞20，所以输入的最小正整数x 是21；当x 是偶数时，由程序运算得4x ＋13＞100，解得x ＞

21．75，所以输入的是最小正整数x 是22．综上可知，输入的最小正整数

x 是21． 变式练习

1．如下图，当输入x ＝2时，输出的y ＝_________________

2．根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为1，则输出y 的值为

______________

【例7】解不等式：|x ＋3|－|2x －1|＜2

【解法指导】解含有绝对值的不等式，就是要设法脱去绝对值符号，主要有两种方法：一是采用较为常用

的“零点分段法”分类去掉绝对值符号．（所谓“零点”，就是指使得每个绝对值符号内的代数式的值为0的未知数的值），再在相应的范围内解一元一次不等式，本题中“零点”即是x ＝－3和x ＝1

2

，从而分x ＜－3，－3≤x≤

12，x ＞1

2

这三个范围分别脱去绝对值符号而求解．此法可以简单地说成“找零点、两边分”．二是根据绝对值定义可得：x a a x a

3

，避免了讨论．

解：解法⑴：零点为x ＝－3，x ＝

1

2

，①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)＋(2x －1)＜2． 解不等式得x ＜6，又x ＜－3．所以原不等式的解为x ＜－3

②当－3≤x ＜

1

2

时，原不等式化为(x ＋3)＋(2x －1)＜2 解此不等式得x ＜0，又－3≤x ＜1

2

，所以原不等式的解为－3≤x ＜0

③当x≥1

2

，原不等式化为（x ＋3）－(2x －1)＜2

解此不等式得x ＞2，又x≥1

2

，所以原不等式的解为x ＞2

综上所述，原不等式的解为x ＜0或x ＞2．

解法⑵：由原不等式得：|2x －1|＞|x ＋3|－2．所以2x －1＞|x ＋3|－2．① 或2x －1＜|x ＋3|－2．② 由①得|x ＋3|＜2x ＋1→－（2x ＋1）＜x ＋3＜2x ＋1，解得x ＞2． 由②得|x ＋3|＜3－2x→－（3－2x ）＜x ＋3＜3－2x ．解得x ＜0． 综上所述，原不等式的解为x ＞2或x ＜0． 变式练习

1．解不等式（组）： ⑴|x －2|≤2x －10 ⑵|2x ＋1|＞x －3

2．若方程31

33

x y k x y +=+??

+=?的解为x ，y ，且2＜k ＜4，则x －y 的取值范围是（

）

A ．0＜x －y ＜

1

2

B ．0＜x －y ＜1

C ．－3＜x －y ＜－1

D ．－1＜x －y ＜1 巩固提高

01．在三元一次方程x －2y ＋3z ＝5中，若x ＝1，y ＝－1，则Z ＝________________． 02．若|x －3z|＋(y －1)2＋|2x ＋3|＝0，则x ＝________，y ＝________，z ＝_________．

03．已知x ︰y ︰z ＝3︰4︰5，且x ＋y ＋＋z ＝36，则x ＝________，y ＝________，z ＝_________．

04．不等式组251

3810x x +>??-?

≤的整数解是_________________．

05．mx －2＜3x ＋4的解集是x ＞

6

3

m -，则m 的取值范围是________________．

06．不等式组

23

1

2

x

x

-

?

?

?

??

≤

＜

的解集是_________________________．

07．若不等式组

2

2

x a

x b

+>

?

?

-<

?

的解集是－1＜x＜2，则a＝____，b＝____．

08．若不等式组

32

4

x a

x a

<+

?

?

<-

?

的解集是x＜3a＋2，则a的取值范围是_________________．

09．已知方程组

3243

237

x y a

x y a

+=+

?

?

+=+

?

的解满足x＋y＞0，则a的取值范围是___________．

10．如果方程24

35

x a x b

++

=的解不是正数，则a与b的关系是（）

A．5a≤5b B．5a＜3b C．a＞5

3

b D．b＞

5

3

a

11．不等式组

13

26

x

x

-

?

?

>

?

≤

的解集为( )

A．x＞3 B．x≤4C．3＜x＜4 D．3＜x≤4

12．三角形三边长为a、b、c，且a＞b，则下列结论正确的有（）

①a－c＞b－c；②a b

c c

>；③

a b c

a b a b

+

>

--

；④

b c a

b a b a

-

>

--

A．①B．①②③C．①②④D．①②③④13．解方程组：

⑴

10

6

14

x y

x z

y z

+=

?

?

+=

?

?+=

?

⑵

27

38

x y z

x y z

x y z

+-=

?

?

++=

?

?-+=

?

14．解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来．

⑴

1

10

3

34(1)1

x

x

+

?

-

?

?

?--<

?

≥

⑵

354

2610

1

(3)21

2

x

x

x

?

?+<

?

-+

?

?

?++-

?

≥

≥

15．解答题：

⑴关于x的不等式组

25

5

3

3

2

x

x

x

x a

+

?

>-

??

?

+

?<+

??

①

②

只有5个整数解，求a的取值范围．

⑵m取什么整数时，方程组

5

237

mx y

x my

-=

?

?

+=

?

①

②

的解满足x＞0且y＜0？

培优升级·奥赛检测

01．若－1＜a＜b＜0，则下列式子中正确的是（）

A．－a＜－b B．11

a b

02．一共有（）个整数x适合不等式|x－2000|＋|x|≤9999．A．10000 B．20000 C．9999 D．80000

03．设a，b是正整数，且满足56≤a＋b≤59，0．9＜a

b

≤0．91，则b2－a2等于（）

A．171 B．177 C．180 D．182

04．当a＞3时，不等式ax＋2＜3y＋b的解集是x＜0，则b＝_____________．

05．已知|3x－4y|＝42，|x－1|≤5，|y＋2|≤4，则x＋y＝_____________．

06．将2004写成若干个质数的乘积，如果a，b，c是这些质数中的三个，且a＜b＜c，那么关于x、y的

方程组

1

165

bx ay

ax cy

-=

?

?

-=-

?

的解是x＝_________，y＝______________．

07．如果不等式组

10

x

x a

->

?

?

-<

?

无解，则a的取值范围是______________．

08．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动．规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答，以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答，抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是________________________．

三、解答题：

09．解不等式|3x＋2|－|x－6|＞1

10．已知：2153

1

32

x x x

x

--

--

≥，求|x－1|－|x＋3|的最大值和最小值．

11．已知a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7是彼此互不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小的a1的最大值．

12．求满足下列条件的最小正整数n，对于这个数n，有唯一的正整数k，满足

87 1513

n

n k

<<

+

．

13．已知：实数a，b满足1≤a＋b≤4，0≤a－b≤1，且a－2b有最大值，求：8a＋2003b的值．