2016丰台一模理科数学附答案

丰台区2015—2016学年度第二学期统一练习（一） 2016.3

高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）

选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x x =≤-≥或，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U C A B 等于（ ） （A ）{}|24x x -<≤ （B ）{}|23x x -<<

（C ）{}|21x x -<<-

（D ）{}|2134x x x 或-<<-<<

2．在下列函数中，是偶函数,且在0+∞（，）内单调递增的是

（A ）||2x y =（B ）2

1

y x =

（C ）|lg |y x =（D ）cos y x = 3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km /h 的概率

（A ） 75，0.25（B ）80,0.35 （C ）77.5,0.25 （D ）77.5,0.35

4.若数列{}n a 满足*12(0,)N n n n a a a n +=刮，且2a 与4a 的等差中项是5，则

12n a a a +++ 等于

（A ）2n （B ）21n -（C ）12n -（D ）121n --

5. 已知直线m ,n 和平面α，若n ⊥α，则“m ?α”是“n ⊥m ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

6. 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有 （A ）72（B ）54（C ）48（D ） 8

7.如图，已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，且∠ACB =90O ，侧面P AB ⊥底面ABC ，AB =P A =PB =4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x ,y ,z 分别是 （A

）（B ）

4,2,（C

）

2 （D

）

8. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，而用横轴来表示产品数量（因变量）.某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P 1低于均衡价格P 0时，需求量大于供应量，价格会上升为P 2；当产品价格P 2高于均衡价格P 0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P 0.能正确表示上述供求关系的图形是

（A ）（B ）

（C ）（D ）

侧视图

B

第二部分 （非选择题 共110分）

一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>

的一条渐近线为y =，那么双曲线的离

心率为_________.

10.如图，BC 为⊙O 的直径，且BC =6，延长CB 与⊙O 在点D 处的切线交于点A ，若AD =4，则AB =________.

11. 在ABC ?中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，

若3s i n c o s c o s b A c A a C =+，

则sin A =________．

12. 在梯形ABCD 中，//AB CD ,2AB CD =，E 为BC 中点，若AE xAB yAD

=+,

则x +y =_______.

13. 已知,x y 满足0,

,.x y x x y k ≥??

≤??+≤?

（k 为常数），若2z x y =+最大值为8，则k

=________.

14.

已知函数1(1),

()1).

x x f x x +≤??=>若()(1)f x f x >+，则x 的取值范围是______.

A

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）

已知函数(=cos (cos )f x x x x ） .

(Ⅰ)求()f x 的最小正周期；

(Ⅱ)当π

[0,]2

x ∈时，求函数(f x ）的单调递减区间.

16.（本小题共13分）

从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些

人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验. （Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒.

①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率； ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X ，求E （X ）.

(Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y

的均值E (Y )，请指出（Ⅰ）②中E （X ）与E (Y )的大小关系.（只写结论,不需说明理由）

17.（本小题共13分）

如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD =60°，对角线AC 与BD 相交于O ；OF ⊥平面ABCD ，BC =CE =DE =2EF =2. (Ⅰ)求证： EF //BC ；

(Ⅱ)求直线DE 与平面BCFE 所成角的正弦值.

18.（本小题共14分） 已知函数()ln f x x x =.

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x x ≥-； （Ⅲ）若22

()(0)f x ax a a

≥+

≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值.

19.（本小题共

已知椭圆G

1.

（Ⅰ）求椭圆G 的方程；

（Ⅱ）设椭圆G 的短轴端点分别为,A B ，点P 是椭圆G 上异于点,A B 的一动

点，直线,PA PB 分别与直线4x =于,M N 两点，以线段MN 为直径作圆C . ① 当点P 在y 轴左侧时，求圆C 半径的最小值；

② 问：是否存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

20.（本小题共13分）

已知数列{}n a 是无穷数列，12=,a a a b =（,a b 是正整数），1

1

111

(1),=(1)n

n

n n n n n n

n a a a a a a a

a a --+--?>???

?≤??.

（Ⅰ）若122,=1a a =，写出45,a a 的值；

（Ⅱ）已知数列{}n a 中*1)k a k N （=∈，求证：数列{}n a 中有无穷项为1； （Ⅲ）已知数列{}n a 中任何一项都不等于1，记212=max{,}(1,2,3,;

n n n b a a n -=max{,}m n 为,m n 较大者）.求证：数列{}n b 是单调递减数列.

丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（一）

数 学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 2 10. 2

(0,1]

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

解：(Ⅰ) 2(cos cos f x x x x +

1cos2(=

222x

f x x ）++

1cos2(2)2x f x x ）++

1

(=sin(2)62f x x ）π++

22||2T πππω=

==

()f x 的最小正周期为π. ----------------------------------7分

(Ⅱ)当3222,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ+

≤+

≤+

∈ 时，函数(f x ）单调递减, 即()f x 的递减区间为：2[,],6

3

k k k Z π

π

ππ+

+

∈, 由2[0,][,]263k k πππππ++

=[,]62

ππ

+,k Z ∈ 所以(f x ）的递减区间为：[,]62ππ

. ------------------------------------13分

16. 解：（Ⅰ）①恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件A. 1

()4P A =

恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为1

4.-----4分

②确定出含有病毒血样组的次数为X,则X 的可能取值为1，2，3.

1(1)4P X ==

, 1(2)4P X ==，1

(3)2

P X ==.

则X 的分布列为：

所以：E （X ）=1119

1234424

?+?+?=--------------------------------------------11

分

(Ⅱ) ()()E X E Y < ------------------------------------------------------------------13分 17. 解：(Ⅰ)因为四边形ABCD 为菱形

所以AD ∥BC ，且BC ?面ADEF ，AD ?面ADEF

所以BC ∥面ADEF 且面ADEF 面BCEF EF =

所以EF ∥BC . ----------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)因为FO ⊥面

ABCD 所以FO AO ⊥

，FO OB ⊥

又因为OB AO ⊥

以

O 为坐标原点，OA ，OB ， OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间

直角坐标系，取CD 的中点M ，连,OM EM . 易证EM ⊥平面ABCD . 又因为22

BC CE DE EF ==

==，得出以下各点坐标：

1

(0,1,0),((0,1,0),

(2B C D F E --

向量1

(22

DE =，向量(1,0)BC =-

，向量

(0,1BF =-

设面BCFE 的法向量为：0000(,,)n x y z

=

000,0n BC n BF

??=???=??得到000000

y y ?-=??

-+=?? 令0y =时0(1n

=-

设DF 与0n

所成角为?，直线DE 与面BCEF 所成角为θ.

sin θ=|cos |?=00||||||

n DE n DE

??

1

|((1)1|

?-+

直线EF 与平面BCEF

所成角的正弦值为5

.----------------------------------------13分

18.设函数()ln f x x x =.

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x x ≥-；

（Ⅲ）若22

()(0)f x ax a a

≥+

≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值. 解：（Ⅰ）设切线的斜率为k

()ln 1f x x '=+ (1)ln111k f '==+=

因为(1)1ln10f =?=，切点为(1,0).

切线方程为01(1)y x -=?-，化简得：1y x =-.----------------------------4分

（Ⅱ）要证：()1f x x ≥-

只需证明：()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立， ()ln 11ln g x x x '=+-=

当(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增； 当1x =时min ()(1)1ln1110g x g ==?-+=

()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立

所

以

(

f x ≥-.--------------------------------------------------------------------------10分

（Ⅲ）要使：2

2

ln x x ax a ≥+

在区间在(0,)+∞恒成立， 等价于：2

ln x ax ax

≥+在(0,)+∞恒成立，

等价于：2

()ln 0h x x ax ax

=--≥在(0,)+∞恒成立 因为212()h x a x ax '=-+=222

2a x ax ax -++=22

12

()()

a x x a a ax -+- ①当0a >时，2

(1)ln10h a a

=--<，0a >不满足题意

②当0a <时，令'()0h x =，则1x a =-或2

x a

=（舍）.

所以1(0,)x a ∈-时()0h x '<，()h x 在1

(0,)a -上单调递减；

1(,)x a ∈-+∞时()0h x '>，()h x 在1

(,)a -+∞上单调递增；

当1x a =-时min 11

()()ln()12h x h a a =-=-++

当1

ln()30a

-+≥时，满足题意

所以30e a -≤<，得到a 的最小值为 3e ------------------------------------14分

19. 解：

1.

所以2221

,2b c

a a

b

c =??

?=???=+?

得到21,a b c ?=?=??=? 所以椭圆的方程

为

-----------------------------------------------------------3分 （Ⅱ）① 设00(,)P x y ，(0,1),(0,1)A B - 所以直线PA 的方程为：00

1

1y y x x --=

令4x =，得到00

4(1)1M y y x -=

+同理得到004(1)

1N y y x +=-，得到

8|||2|MN x =-

所以，圆C 半径00

4

|1|(20)r x x =-

-≤< 当02x =-时，圆C 半径的最小值为3. --------------------------------------9分

② 当P 在左端点时，圆C 的方程为：22(4)9x y -+= 当P 在右端点时，设(2,0)P ，(0,1),(0,1)A B - 所以直线PA 的方程为：112

y x --=

令4x =，得到1M y =-同理得到1N y =， 圆C 的方程为：22(4)1x y -+=，

易知与定圆22(2)1x y -+=相切, 半径1R =

由前一问知圆C 的半径00

00041,204|1|4

1,02x x r x x x ?--≤

因为004(1)1M y y x -=

+，004(1)1N y y x +=-，圆C 的圆心坐标为00

4(4,)y

x

圆心距d =

=000004

,2044||,02x x x x x ?--≤

20x -?时，C 内切；

当002x

1R =.

(注: 存在另一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切，该定圆的圆心为(6,0)和

半径1R =.得分相同

)

------------------------------------------------------------------------------------14分

20..解：（Ⅰ）452,1a a ==；-----------------------------------------------------2分

（Ⅱ）*1)k a k N （=∈，假设1k a m += ①当

1m =时，依题意有231k k a a ++==??????=

②当1m >时，依题意有2k a m +=，31k a +=

③当1m <时，依题意有21k a m +=

，

321k a m +=，41k a m +=，51

k a m

+=，61k a += 由以上过程可知：若

*

1)k a k N （=∈，在无穷数列{}n a 中，第k 项后总存在数值为1 的项，以此类推，数列{}n a 中有无穷项为 1.

--------------------------------------------------6分

（Ⅲ）证明：由条件可知1(1,2,3,)n a n >= ，

因为{}n a 中任何一项不等于1，所以+1

1,2,3,)n n a a n ≠= （. ①若212n n a a ->，则21n n b a -=. 因为21

2+12=

n n n

a a a -，所以212+1n n a a ->.

若

21

2

21n n a a ->，则212+2

2122n n n n a a a a --=<，于是2-12+2n n a a >； 若21221n n

a a -<，则22222+222212121212n n n n n n n n n n n

a a a

a a a a a a a ----=

==?<<，于是2-12+2n n a a >； 若

21

2

21n n a a -=，则2+21n a =，于题意不符； 所以212+12+2max{,}n n n a a a ->，即1n n b b +>. ②若212n n a a -<，则2n n b a =. 因为22+12-1

=

n n n a a a ，所以22+1n n a a >；

因为22+22+1

=

n n n a a a ，所以22+2n n a a >；

所以22+12+2max{,}n n n a a a >，即1n n b b +>.

综上所述，对于一切正整数n ，总有1n n b b +>，所以数列{}n b 是单调递减数列.

-------------------------------------------------------------------------------13分