数学中类比学习法案例及其需要注意的问题

数学中类比学习法案例及其需要注意的问题

摘要：类比在数学学习的过程中有着极其重要的作用，巧用类比学习可以加深对知识点的理解和记忆，不仅如此，类比还有发现新知识的作用，多用于猜想和发现新命题。但类比也应该注意类比的对象、方向、技巧和范围。文章从新课改下的高中数学出发，以人教版A 版数学教材为依托，论述了类比学习法的几个经典案例和类比时需要注意的几个问题。 关键词：类比；反思；猜想；案例

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，有着极其严谨的逻辑性、科学性、系统性。数学知识呈现出一定的相似性，如果能在不同的知识间建立一个强大的网络体系，用知识间的相似性掌握不同的知识，将对数学的学习有重要的作用，这期间的方法就是类比。巧用类比能够帮助我们理解超越一般思维的知识，会对未知世界作出重要的预测。所谓的类比就是通过对两个研究对象的比较，根据它们在某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相似之处，推断它们在其他方面的相同或相似之处的一种推理方法；也可以将类比理解为根据两个对象具有某些相同的属性而推出当其中一个对象具有一个性质时，另一对象也具有同样的或者相似的性质的一种推理方法。用波利亚的话来说就是，“类比是某种类型的相似性，我们可以说它是一种要确定的和更概念性的相似。”

【案例一】中点坐标公式

1、1维时的中点坐标公式

x 轴上有两个点21x x 、，则它们的中点是2

21x x +。如1和3在数轴上的中点是2，算法是2

312+=。 2、2维时的中点坐标公式

在平面直角坐标系中，已知两点坐标分别为：),(11y x A 、),(22y x B ，则它们

的中点),(00y x C 的算法是2210x x x +=，22

1

0y y y +=。

3、3维时的中点坐标公式

在空间直角坐标系中，已知两点坐标分别为：),,(111z y x A 、),,(222z y x B ，则它们的中点),,(000z y x C 的算法是221

0x x x +=，221

0y y y +=，22

1

0z z z +=。

【反思】中点坐标公式在3个维度中的形式都一样，即中点的坐标都是两端点“坐标值”的算术平均值。基于此，可以类比猜想更高维度的中点坐标公式。

【类比】

4、n 维时的中点坐标公式

在n 维坐标系中，已知两点坐标分别为：),,,(21n a a a A 、),,,(21n b b b B ，则它们的中点),,,(21n c c c C 的算法是2i

i

i b a c +=),,2,1(n i =。

【案例二】中点公式的向量形式 1、2维时线段中点公式（平面向量的中点公式）

如图1，在ABC ?中，D 是AB 边上的中点，则有

)(21

+=

【证明】D 是BC 的中点，21=∴， 又-= ，

(

21

)(2121

=-+=+=+=∴【类比】

2、3维时线段中点公式（空间向量的中点公式）

如图2，在三棱锥BCD A -中，点E 是面BCD )(31

AD AC AB AE ++= 【证明】连接BE 并延长交DC 于F ， E 是三角形BCD 的重心， F ∴是DC 的中点，由前可知)(21

+=，

又AB AC BC -= ，AB AD BD -=，BF BE 32=

， ).(31)(3

1)(3

132AB AD AB AC AB ++=-+-+=++=+=+=∴

【反思】3维情形下的线段中点公式和2维情形下的线段中点公式相似，3维中的“重心”类比于2维中的“中点”，2维中的目标向量是平面基底的2

1，3维中的目标向量是空间基底的3

1，基于此，可以类比猜想n 维情形下的线段中点公式。

【类比】

3、n 维时线段中点公式（高维空间向量的中点公式）

类比3维时的情形，首先我们先定义一个“超平面”，超平面是在3维及其以上的空间中存在的平面，设P 是超平面n A A A 21的“超重心”（类比于三角形的重心），O 点是超平面n A A A 21所对应的顶点，则和2维、3维时的情形相类似，有)(121n OA OA OA n

++=. 【案例三】两点间的距离公式

1、1维坐标轴上两点间的距离公式

如图3，在x 轴上有两点B A 、，它们所对应的数值分别是21x x 、，则B A 、两点间的距离为12x x d AB -=.

2、2维平面直角坐标系中两点间的距离公式 在平面直角坐标系中有两点B A 、，它们所对应的坐标分别是),(),(2211y x y x 、，则B A 、两点间的距离为212212)()(y y x x d AB -+-=.

【反思】类比2维中的两点间的距离公式可知，1维中的两点间的距离公式可写为21212)(x x x x d AB -=-=，那么2维中的距离公式相当于是在1维的基础上在公式中的根号下多加了一个平方式，这个式子正是2维情形中已知点的另

一坐标差的平方，由此可直接类比猜想3维中的两点间的距离公式如下。 3、3维空间直角坐标系中两点间的距离公式

在平面直角坐标系中有两点B A 、，它们所对应的坐标分别是),,(),,(222111z y x z y x 、，则B A 、两点间的距离为

【类比】

4、n 维坐标系中两点间的距离公式

在n 维空间坐标系中有两点B A 、，它们所对应的坐标分别是),,(),,(2121n n y y y x x x 、，则B A 、两点间的距离为

2222211)()()(n n AB x y x y x y d -+-+-=

【案例四】对称问题

1、数1和3关于2对称（常值函数的对称）

将1、3、2看成是三个常值函数，即1=y 、2=y 、3=y ，便有常值函数的对称，函数1=y 和函数3=y 关于函数2=y 对称。

2、一般函数的对称

如果函数)(x f 满足)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=

对称。

【反思】这种对称就好比是两个点x a +和x b -关于其中点

2b a +对称一样。既然任意两个自变量x a +和x b -关于点

2b a +对称，那么整个函数的图象就关于直线2

b a x +=对称。 3、等差数列的等差中项

如果数列{}n a 是等差数列，那么它的任意连续三项满足：212+++=n n n a a a ，意思是1+n a 是n a 和2+n a 的等差中项，于是有2

21+++=n n n a a a 。 【反思】等差数列的项的对称就是两个函数值n a 和2+n a 关于另一函数值1+n a 的对称，这和数1、3关于2对称的道理是一样的，都属于点关于点的对称。 212212212)()()(z z y y x x d AB -+-+-=

【类比】

4、点关于直线的对称点

平面内的一点P 关于直线l 的对称点'P 满足：点P 和点'P 的中点0P 在直线l 上，且直线'PP 与直线l 相互垂直。

5、点关于平面的对称点

空间中的一点P 关于平面α的对称点'P 满足：点P 和点'P 的中点0P 在平面α内，且直线'PP 与直线α相互垂直。

6、直线关于直线的对称直线

平面内的一条直线1l 关于直线0l 的对称直线2l 满足：如果1l ∥0l ，那么2l 在0l 的另一侧，且2l ∥0l ，2l 到0l 的距离2d 等于1l 到0l 的距离1d ；如果A l l =?01，那么2l 也过点A ，且2l 与0l 的夹角2θ等于1l 与0l 的夹角1θ。

7、直线关于平面的对称直线

空间中的任意一条直线1l 关于平面α的对称直线2l 满足：如果1l ∥α，那么2l 在α的另一侧，且2l ∥1l ，2l 与1l 确定的平面β垂直于平面α，2l 到α的距离2d 等于1l 到α的距离1d ；如果A l =?α1，那么2l 也过点A ，且2l 与1l 所确定的平面β垂直于平面α，2l 与α的夹角2θ等于1l 与α的夹角1θ；特别地，如果α⊥1l ，那么1l 关于平面α的对称直线依然是1l 。

8、平面关于平面的对称平面

空间中的任意一个平面1α关于平面α的对称平面2α满足：如果1α∥α，那么2α在α的另一侧，且2α∥α，2α到α的距离2d 等于1α到α的距离1d ；如果l =?αα1，那么2α也过直线l ，且2α与α的夹角2θ等于1α与α的夹角1θ；特别地，如果αα⊥1，那么1α关于平面α的对称平面依然是1α。

9、平面几何图形关于直线的对称图形

平面几何图形C 关于直线l 的对称图形'C 满足：'C 和C 全等，'C 和C 在直线

l 的两侧，且C 上任意一点P 关于直线l 的对称点'P 在'C 上。

10、空间几何体关于平面的对称几何体

空间几何体E 关于平面α的对称几何体'E 满足：'E 和E 全等，'E 和E 在平面α的两侧，且E 上任意一点P 关于平面α的对称点'P 在'E 上。

【案例五】方程与方程组思想

1、函数求解析式问题

例 （1）已知23)1(2)(+=-x x

f x f ，求)(x f 。 （2）已知)1(2)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。

【反思】以上两个求函数解析式的问题，都是只给了一个式子，式子中出现了两个不同的函数值，其中两个自变量要么互为倒数，要么互为相反数。此时，可以分别在题目所给式子中以

x

1和x -代换x ，就会分别再产生一个式子，将新得的式子和原式联立成方程组，分别将)(x f 和)1(x f 、)(x f 和)(x f -看成是方程组的两个未知量，利用解方程组的办法就可以将)(x f 的解析式求出。

2、向量求坐标问题

例（2013常州期末调研）已知向量，满足)4,2(2-=+b a ，)16,8(3-=-b a ，则向量a ，b 的夹角的大小为 。 【解析】设),(11y x =，),(22y x =，则)4,2()2,2(22121-=++=+y y x x ，{22422121=+-=+∴x x y y ，同理得：{8

31632121-=-=-x x y y ，解得：{2

411-==x y ，{2

422=-=x y ， -=∴，故、的夹角为π。

【反思】推广的方程组思想

方程和方程组的思想是一种很重要的思想，方程（组）中的未知数可以是一些字母，也可以是其他的一些未知量，如函数、向量等，如上面的例题还可以如下求解。

【另解】将a 和b 看成是两个未知量，联立a 和b 的方程组得：

{)

4,2(2)16,8(3-=+-=-b a b a ，将第二式乘以2和第一式相加得，)28,14(7-=a ，)4,2(-=∴，代入第二式得)4,2(-=，于是-=，故、的夹角为π。

3、关于方程的复数根

例（2012湖北高考题）方程01362=++x x 的一个根是 （ ）

i A 23-+、 i B 23+、 i C 32+-、 i D 32+、

【反思】关于此方程根的求解可以直接用公式，利用i ±=-1解决，也可以通过配方，还可以设出复数形式的根后直接带入求解，甚至可以直接代入答案进行验证，总之，都是体现了方程的思想。

【需要注意的问题】

虽然类比能给我们指明探究问题的方向和思路，甚至能引出一些新的成果，但类比也不是万能的，类比失败的例子比比皆是。运用类比的时候必须要明确类比的对象、确定类比的方向、把握类比的技巧、注意类比的范围等。

一、明确类比的对象

类比需要注意的首要问题是类比的对象，如一维和二维的类比，低维和高维的类比，中点和重心的类比，面积和体积的类比，平面和空间的类比等。对象不明的类比是盲目的，甚至是错误的，如将三角形的面积和三棱锥的侧面积类比就不大合适，公式也没有可借鉴性和推广性，但换作将三角形的面积和三棱锥的体积进行类比，就大有意义。三角形的面积公式为：a ah S 21=

（a h 是a 边上的高），三棱锥的体积公式为：Sh V 3

1=（h 是面积S 所对应的高）。此处2维的三角形和3维的三棱锥进行了类比，2维的边长和3维的面积进行了类比，2维的面积和3维的体积进行了类比，2维公式中的21和3维公式中的3

1进行了类比，对象明确，类比正确。倘若类比对象有误，那类比的结果也会有误，如向量模的平方与向量

自身的平方相等，但复数不然，即),(b a =，222b a +==，但

bi a z +=，2

2z z ≠，所以不能将向量和复数进行类比。

二、确定类比的方向

类比的对象明确之后，就要确定类比的方向，是纵向的类比还是横向的类比，

是计算的类比还是方法的类比。如2维中直角三角形的三条边长满足勾股定理：

222c b a =+（a 、b 是直角边，c 是斜边）

，类比2维中的直角三角形， 3维中有类似的结论：在从一个顶点出发的三条棱两两相互垂直的三棱锥中，

2232221S S S S =++（321S S S 、、分别是三个侧面的直角三角形的面积，S 是斜三角形的面积）。此处类比对象明确之后，就是计算的类比，是2维中的平方类比3维中的立方呢还是类比3维中的平方呢，这需要通过特例的计算进行验证，最后类比为一般情形时要做严格的证明。方法类比的例子也很多，比如复数除法运算中的分母实数化，类比实数除法运算中的分母有理化等。

三、把握类比的技巧

数学中的类比是讲求技巧的，有的时候类比是手到擒来，顺藤摸瓜，也就是我们通常所说的同理，但有的时候类比是不好把握的，需要找到一些关键点，这就需要我们具有敏锐的观察能力和分析能力，也就是所谓的类比技巧。如在证明式子n n

n tan cos )1cos(1sin 3cos 2cos 1sin 2cos 1cos 1sin 1cos 0cos 1sin =-+++ 的时候，可类比n n )1(1431321211-++?+?+? 求和的时候将通项n n )1(1-裂项为n

n 111--进而求和，此时可以考虑将待证式子左边的通项n

n cos )1cos(1sin -进行裂项，但由于分子是一个定值，于是对分子这个定值需要改写，故

n n n n n n cos )1cos()]1(sin[cos )1cos(1sin ---=- )1tan(tan cos )1cos()1sin(cos )1cos(sin --=----=n n n

n n n n n ，这样类比之后原式是很容易得证的。

四、注意类比的范围

恰当运用类比可以得到很多的结论，提出很多的猜想，但类比必须注意范围，在新的对象中，类比的结果一定要做出范围的限制或延伸，不注意范围的类比是一种雾里花、水中月，明明有一点结果，但就是不能实际而广泛的应用。如将等差数列和等比数列类比时，等差数列有性质“若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，

则n S 、n n S S -2、n n S S 23-成等差数列”，误以为等比数列{}n b 的前n 项和n T 也有

类似的性质。事实上，n T 、n n T T -2、n n T T 23-未必成等比数列，例如，当公比1

-=q 且n 为偶数时，n T 、n n T T -2、n n T T 23-不成等比数列；但当1-≠q 或n 为奇数时，n T 、n n T T -2、n n T T 23-仍成等比数列，所以我们在类比的时候有必要对公比q 或者项数n 做一限制。

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