六年下册奥数试题-数的整除特征(二)全国通用(含答案)

第2讲数的整除特征（二）

知识网络

上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。

（1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。

（2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

重点·难点

同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。

学法指导

上面数的整除特征可以结合例子理解。例如：443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是：716－443=273。因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。记忆要理论联系实际。

经典例题

[例1]用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？

思路剖析

能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。

解答

要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q，且p和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，q－p=20－9=11，所以1988是被11除余8的四位数。

如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两介数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被11除也余8，因此除1988外，还有1889、8918与8819共四个被11除余8的四位数。

[例2]如果下面这个41位数□能被7整除，那中间方格内的数字是几?

思路剖析

对于数555555，由于555–555=0是7的倍数，根据能被7整除的数的特征，555555

也能被7整除；同理999999也能被7整除，所以和也能被7整除，所以我们可以把这个41位数分成几个数的和，其中部分能被7整除。

解答

□=+55□99，上式等号右边的三

个加数中，第一个和第三个加数都能被7整除，由此可推出55□99能被7整除，所以55□99能被7整除。根据能被7整除的数的特征，□99－55=□44也能被7整除，可推理得□内应为6。

[例3]有一堆苹果，要装在46个箱子里，其中有45个大箱子和一个小箱子，而小箱

子装的苹果只相当于大箱装的数量的一半，现有个苹果，如果规定按箱子大小平均分装苹果数是否能办到？

思路剖析

由于大小箱子装的苹果的数量不一致，不便于解题，所以我们可以统一成小箱子，则应有2×45+1=91个小箱子，那么是否恰好装完，并符合要求，关键是看总苹果数

能否被91整除，由于91=7×13，所以由整除的性质，只需要考虑7、13是否能整除总苹果数。

由于13整除4979，而7整除497949794979，那么必定有91整除497949794979，因

为99÷3=33，所以容易推出91整除，所以能把苹果按规定装入箱子中。

解答

2×45+1=91（个），7×13=91，因为13整除4979，7整除497949794979，所以91

整除497949794979，则91整除。

答：可以做到按箱子大小平均分装苹果。

[例4]求能被26整除的六位数。

思路剖析

因为26=2×13，所以由整除的性质得能分别被2和13整除。所以解此题可以从2整除入手。

解答

因为2整除，所以y可能取0、2、4、6、8。又因为13整除，所以13能整除与的差。

当y=0时，由于13整除910，而13又要整除与910之差，所以13整除。

又因为=100x+19=（7×13+9）x+19=7×13x+9x+13+6，所以根据数的整除性质得13整除9x+6，经试验可知，只有当x=8时，13整除9x+6，所以当y=0时，符合题意的六位数是819910。

当y=2时，因为13整除，所以13整除与912之差，而912=910+2，所

以13整除与2之差；与前面的相仿，=7×13x+13+9x+6，所以13整除9x+6－2，即13整除9x+4。经试验可得，只有当x=1时，13整除9x+4。所以当y=2时，符合题意的六位数是119912。

同理，当y=4时，13整除9x+6－4，即13整除9x+2，经试验可知，当x=7时，13整除9x+2，所以当y=4时，符合题意的六位数是719914。

同理，当y=6时，13整除9x+6－6，即13整除9x。经试验可知，x无解（因为x是

的最高位数码，所以x≠0）。所以当y=6时，找不到符合题意的六位数。

同理，当y=8时，13整除9x+6—8，即13整除9x—2。经试验得，只有当x=6时，13整除9x—2。所以当y=8时，符合题意的六位数是619918。

答：满足本题意条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。

[例5]从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出5个不同的数，组成一个五位数，使它能被3、5、7、13同时整除，这个数最大是多少？

思路剖析

这道题如果从10个数字中选出5个不同的数，组成一个五位数，再逐个判断每个五位数能否同时被3、5、7、13整除，那是非常麻烦的。可以先从整体上考虑，因为3、5、7、13这四个数两两互质，且3×5×7×13=1365，那么我们要找的数就是在五位数中能被1365整除的最大的那个数。那我们只需用一个自然数去与1365相乘，使积尽可能大且是一个五位数即可（注意，五位数中不能出现相同数字）。

解答

设1365×a（a是自然数）的积是要求的五位数，可知：1365×a<100000，则a≤73。当a=73时，这个五位数是1365×73=99645，数字重复了，舍去；当a=72时，这个五位数是1365×72=98280，数字重复；当a=71时，这个五位数是1365×71=96915，数字重复；当a=70时，这个五位数是95550，数字重复；当a=69时，这个五位数是94185，符合题目条件。所以，这个数是94185。

点津

这道题从整体入手，先用3、5、7、13相乘得1365，在五位数中通过找1365的最大倍数得到解答。最后用枚举的方法时，虽然要计算1365与73、72、71、70、69的积，但比起漫无边际地去找这样的五位数要简便得多。

[例6]求能被26整除的六位数。

思路剖析

由于26=2×13，所以原数能被26整除，转化为原数既能被2整除，又能被13整除。

解答

因为要求的数能被2整除，所以个位数字只能是0、2、4、6、8。

（1）当B=0时，数能被13整除。根据能被13整除的数的特征，必有（930

－=□11）是13的倍数。

试算知13×47=611。所以差数是611，逆推出A=3。

（2）当B=2时，数能被13整除，必有（932—A19=□13）是13的倍数。试算知13×1=13，所以差数为13，逆推出A=9。

（3）当B=4时，数能被13整除，必有（934—A19=□15）是13的倍数。试算知13×55=715，所以差为715，逆推出A=2。

（4）当B=6时，数能被13整除，必有（936—A19=□17）是13的倍数。试算知117是13的倍数，逆推出A=8。

（5）当B=8时，数能被13整除，必有（938—A19=□19）是13的倍数，试算知819是13的倍数，从而推出A=1。

所以，所求的六位数共有五个，即：319930，919932，219934，819936，119938。

[例7]用数字6、7、8各两个组成一个六位数，使它被168整除。这个六位数是多少？

思路剖析

168=3×56，3与56互质。因为6+6+7+7+8+8=42，42是3的倍数，所以用6、7、8各两个组成的所有六位数都能被3整除。问题转化为使组成的六位数能被56整除。因为56=7×8，7与8互质，所以只要组成的数能被7整除，又能被8整除即可。要能被8整除，只要看末三位数，如果能仅用6、7、8各一个数组成能被8整除的三位数，那么把它连写两遍得到的六位数就合乎要求。而用6、7、8各一个数不难组成被8整除的三位数。

解答

768能被8整除，768768也就能被8整除，它又能被7整除，而7与8互质，所以它能被7与8的积56整除。7+6+8+7+6+8=42，3整除42，所以768768能被3整除，由于3与56也互质，因此，768768就能被3与56的积168整除。

点津

本题初看无处下手，但是我们应用整除性质“一个数能被互质的两个自然数整除，就一定能被这两个互质数的积整除”，把问题逐步转化，实现了化难为易的目的。

[例8]甲、乙两人进行了下面的游戏。两人先约定一个整数N，然后由甲开始，轮流用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字之一组成一个六位数的一位，数字可重复。如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜。设N 小于15，那么当N取哪几个数时，乙才能取胜？

思路剖析

我们列出乙不能获胜的N的取值情况。N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就能使六位数不能被N整除，乙不能获胜。N=5，甲可以在六位数的个位填一个不是0或5的数，甲就获胜。

解答

如果N=1，很明显乙必获胜。如果N=3或9，那么乙在填最后一全数时，总是把六位数字之和凑成3的整倍数或9的整倍数。因此乙必获胜。

当N=7、11、13时是本题最困难的情况。

注意到1001=7×11×13，乙就有一种必胜的办法。我们从左到右数这六位数，把第一位与第四位，第二位与第五位，第三位与第六位配对，甲在一对数位的一位上填上某一个数字后，乙就在这一对数位的另一位上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被

1001整除，因为若按我们的方法得到的六位数是，由于。这个六位数就能被7、11或13整除，所以乙就能获胜。综合起，使乙获胜的N是1、3、7、9、11、13。

[例9]四名学生做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数字（不等于0）拿到这个数的最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，它们的得数分别是172536、568741、620708、845267，结果其中哪一个可能是正确的，为什么？

思路剖析

初看时，觉得困难，因为是任意写的六位数，不好找正确的一个结果。但如果仔细分析题意还是可以作出正确回答的。我们考虑本题的一个关键词是：任写一个六位数，把它的个位数字（注意题上说：不等于0）拿到这个数最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，设原六位数的个位数是x，去掉个位数后的五位数是y，我们得到原的六位数10y+x，新六位数100000x+y。再按题目的要求往下做就好想了！

解答

原的六位数和新六位数的和为10y+x+100000x+y=100001x+11y=11×（9091x+y），所以得数应该是11的倍数。题中给出的四个得数哪一个正确呢？——我们找到了判断的标准了，就要看一看谁是11的倍数。根据能被11整除的数的特征：（2+7+8）—（6+0+0）=11能被11整除，所以620708是正确的，其余的三个不正确。

点津

在这一章中，我们不但学习了一些数的整除特征，同时还学会了一些经验和技巧。运用这些技巧，在解题时会达到事半功倍的目的。同学们在做题中也要注意积累和总结，比如这一讲的例3，大家学习完后不难总结出如下结论：如果一个N位数能被某个数a整除，那么这个N位数连着写k次后得到一个N×k位数，这个N×k位数一定能被a整除，如

3003能被3、7、11、13整除（因为3003=3×7×11×13），那么

也能被3、7、11、13整除。在遇到这类有循环规律的数的整除问题时，我们可以先看这个数前一个或几个循环节的数是否能被某一个数整除，即采用这种分“节”处理的方法，相信同学们会总结出更多更好的规律，提高解题能力。

发散思维训练

1．已知整数能被11整除，求所有满足这个条件的整数。

2．一个能被11整除、首位数字为7、其余数字不相同的最小六位数是多少？

3．在25□79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填什么？

4．把三位数接连重复地写下去，共写1993个，所得的数

恰是91的倍数。试求=？

5．在28的前面连续写上若干个1993，得到一个多位数：，如果这个多位数能被11整除，那么它最少是几位数？

参考答案

1．解：

因为11整除，所以根据能被11整除的数的特征可知：11整除（5+6+7+8+9）-5a，即：11整除（35-5a）或11整除（5a-35）。又因为35-5a=5×（7-a），5a-35=5（a-7），5和11的最大公约数是1，所以11整除（7一a）或11整除（a-7）。因为a是数位上的数字，所以a只能取0~9。经验证得：当a=7时，11整除（7一a）或11整除（a-7），即当a=7时，11整除（35-5a）。故符合题意的整数只有5767778797。

2．解：

设首位数字为7，其余各位数字各不相同的最小六位数为701234，而701234根据能被11整除的数的特征还少5。所以符合题意的六位数应是701239。

3．解：

根据能被11整除的数的特征：“如果一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除，那么这个数能被11整除”。25□79这个数偶数位上数字和是5+7=12（其他数不能保证和偶数位的数字和的差能被11整除），所以，奇数位上数字和2+□+9=12．所以□内的数应填12-2-9=1。

4．解：

因为91=7×13，且7和13的最大公约数是1。所以7整除，13整除。根据一个数能被7或13整除的特征可知：原数

能被7以及13整除。当且仅当能被7以及13整除，也就是能被7以及13整除。因为7和10互为质因数，13和10互为质因数，所以7整除，13整除，

也就是7整除，13整除。因此，用一次整除性质，就去掉了两组；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且

仅当能被7以及13整除。又因为91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3，所以=364。所以=64。

5．解：

从1993这个四位数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差，以及末两位数28的奇数上的数字与偶数位上的数字的差入手。因为1993百位上的数字与个位上的数字之和比千位上的数字与十位上的数字之和大2，所以在28的前面每多写一个1993，所得到的多位数的奇数位上的数字之和比偶数位上的数字之和大一个2。由于28的个位数字比十位数字大6，而且6只有连加8个2才能得到11的倍数，所以要在28的前面连写8个1993才得到所要求的最小整数。这样的数最小为34位数。