多种形式搞竞赛多种方法促学习

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- 密西根中文联合竞赛介绍

安华中文学校张星钰

密西根中文学校协会郑良根

【摘要】

密西根中文联合竞赛是由密西根中文学校协会主办,协会成员中各个主要中文学校轮流承办的大型竞赛活动。从一九九七年创办以来,大多每年一届,有时两年一届,到二零一二年已经成功举办了十二届竞赛活动。

很多比较大的学校和地区都有中文演讲或简单的中文认字比赛。而密西根的中文联合竞赛更注重多种形式下的竞赛,动用各种方法促进学生中文学习。形式包括常见的个人中文演讲竞赛,还有适合低年级的汉语拼音竞赛,适合中高年级的中文阅读竞赛,学校组队的即兴中文演讲竞赛和中国文化知识竞赛。其中,中国文化知识竞赛又分个人书面考分竞赛,和团体舞台抢答竞赛。这个竞赛项目从一九九九年就开始进行,每每成为竞赛最激烈,最有观赏性的项目,甚至比国侨办举办的文化知识竞赛还早好多年。这么多种类别,大规模的竞赛方式,在全美国可能也是独无仅有的,因此向大家介绍分享。

一竞赛的类别

密西根中文学校协会是由一些有志于推进中文教育的专业人士和当地教授简体中文和汉语拼音的中文学校组成。密西根中文联合竞赛是由密西根中文学校协会主办,考虑到交通条件,方便筹备组织工作,由协会成员中各个主要中文学校安华中文学校、新世纪中文学校、底特律中文学校和凯通中文学校轮流承办的大型竞赛活动。在全美国很多比较大的学校和地区都有中文演讲或简单的中文认字比赛。而密西根的中文联合竞赛的目的是为弘扬中华文化,提高学生学习中文的兴趣,同时检验各学校的教学情况。它更注重多种形式下,动用各种方法促进学生中文学习,在部分竞赛的方法和题目上尽量与SAT Ⅱ/AP中文考试的形式相结合。其具体竞赛形式包括常见的个人中文演讲竞赛,汉语拼音竞赛,中文阅读竞赛,以及学校组队的即兴中文演讲竞赛和中国文化知识竞赛(包括个人竞赛和团体竞赛)。

密西根中文学校协会下属的各中文学校普遍使用暨南大学主编的中文教材《中文》(以下简称《中文》),同时部分学校也使用其他中文教材,如马立平女士编写的中文教材。为了公平分组,我们以《中文》为基干,其他中文教材对应到同水平的暨大《中文》。中文演讲竞赛是面向全体中文学校的学生,以及其他在家学习中文的学生。根据他/她们所学《中文》的册数进行分组,同时也考虑学生来美的时间,中文演讲竞赛共分十一组。第一至第八组对应《中文》的第一至第八册,第九组是公开组,它对应《中文》的第九册及以上和刚来美国的中国小学高年级学生,第十组是学前班的学生,第十一组是非华语家庭学生组。每组演讲时间不等,但规定了最短和最长时间,随参赛学生的年龄的增加,演讲时间也增长,具体见表一。所有的演讲组使用统一标准评分项目和评分标准,它包括发音正确/口齿清晰、身体语言/面部表情、声音声调/感情表达、流利程度和内容。具体比例见表二。

对于每一个评分项目,我们制订了具体评分分值和标准,其评分分值为计算机输入方便,我们采用9分制。对于各项评分标准,我们规定一个起评分和加减分原则。如果参赛学生演讲时间不足或超时,也有对应的扣分标准。请分别见表三和表四。

演讲竞赛的统分使用底特律中文学校编写的应用软件,每组有七至九名裁判,两名监分员和一名软件操作员。每名裁判按9分制(一位数)给每项评分项目评分,由小组裁判长收集后交与软件操作员,在监分员的监督下输入计算机,当本小组所有参赛学生比赛结束后,本小组裁判长或演讲比赛总裁判长可读取本小组参赛学生的总成绩和排名。

汉语拼音竞赛适合低年级的学生和中高年级的学生,竞赛分为四组。拼音第一组为学前班和《中文》第一册班;拼音第二组为《中文》第二册班;拼音第三组为《中文》第三册班;拼音第四组为《中文》第四—五册班。汉语拼音竞赛的重点是比拼音能力声母,韵母,音节拼合,四声区别,准确辨别和使用难点如 Zh /Ch/Sh 与 z/c/s, en/eng 之类。出题的困难在于如何确定学生是否真正掌握了拼音的要点,而不是比拼识字能力。比如,如果让学生为“憧憬”二字标注拼音,拼音错可能因为字不认识,无法区分是不是拼音能力也有高下;如果老师念字音,学生选择“chongjin” /congjin / congjing /chongjing, 就考对于读音的敏感程度,属于拼音能力高下之分。所以考题里大量听老师念题。为汉字注音的题目也无可避免,选字就要限于学生应该掌握的基本字,容易的字。即使如此,仍然难以避免识字与否会影响到拼音比赛的成绩。最起码,学生太小,年级太低,可能会题目都看不懂。出题目是技术性的,细节的,工作量很大。很难每个年级出一套题目。如果多个年级合在一起,学生之间识字水平差别太大,也不好出题。摸索出来的经验是2个年级用一套题,选字水平以较低的年级为准。不同年级考同样的题目,高年级学生得分占优势。采取同样的解决方法:1.题目有大坡度,难易兼顾,避免满分;2.优胜评选以年级分组,每个人都只跟同年级的人竞争

中文阅读竞赛是为中高年级的学生设立,竞赛也分为四组。阅读第一组为《中文》第四—五册班;阅读第二组为《中文》第六—七册班;阅读第三组为《中文》第八—九册班;阅读第四组为《中文》第十册及以上班的公开组。中文阅读竞赛重点是考察学生书面中文能力,小单位的,可以是一个词,一个词组,一个句子;大单位的,一段话,一篇文章。考察学生阅读理解的能力。现实生活中,阅读理解是允许“猜”的。阅读竞赛也允许猜。有时候对于个别难字,没有教过的字甚至给出拼音,帮助学生读下去,猜出结果来。善于猜,猜对了,也是一种本事。对于高年级的题目,很容易跟SAT和AP考试的阅读部分结合,甚至可以直接采用SAT/AP的题目,或者采用同样的方法来选题,出题。学生来参加竞赛,基本上等于做一次 SAT II /AP中文考试的练兵!对于具体题目中低年级选取课本同水平的词语,词组,短文为考题材料,高年级的可以直接采用SAT/ AP中文的解密题目,部分自己编写的同等水平的类似形式的题目。跟汉语拼音分组面临同样的问题,一方面是没有办法给每个年级出一套题目(工作量太大),另一方面,不同年级考同样的题目,高年级学生得分占优势,所以我们采取同样的解决方法。

无论对于学生还是对于家长,最有趣的就是中国文化知识竞赛和即兴演中文讲竞赛。其中,中国文化知识竞赛又分个人书面考分比赛,和团体舞台抢答竞赛。即兴中文演讲竞赛和中国文化竞赛的舞台抢答赛为团体赛,以学校为单位组队参赛。当中国文化知识竞赛的个人书面考分比赛结束后,学校根据参赛学生的分数,从高到低组织一到两个队,每队三到五位学生,参加团体竞赛。参加团体竞赛的参赛学生高居舞台之上,并面向舞台下的其他学生、全体家长和老师,在文化知识竞赛裁判长的指挥下进行问题枪答。这与国侨办举办的文化知识竞赛不同,更有趣味性和观赏性。即兴中文演讲竞赛由学校组织三到五位最优秀的学生组队参赛,要求每队学生在一个题目下轮流进行演讲,演讲学生交换时要求两学生函接必须流畅。演讲没有固定的题目,舞台比赛开始前15分钟每队学生在即兴演讲竞赛裁判长主持下抽取一组图画作为题目,并进行准备。该竞赛的题目方类式于AP中文考试的作文题目。演讲必须在规定时间范围内完成,并包括所有的图画内容。裁判根据中文演讲评分标准,再加上即兴演中文讲竞赛特殊要求进行评判。见表五

二竞赛组织

密西根中文联合竞赛是在密西根中文学校协会组织和协调下,协会和中文学校分工负责,保证竞赛活动圆满顺利完成。协会负责制定竞赛规则---密西根中文联合竞赛章程,协调各参赛中文学校,以及技术要求比较高的竞赛出题工作。承办中文学校根据协会的竞赛章程负责具体安排,例如竞赛和发奖的程序安排,场地的安排和布置。

密西根中文联合竞赛章程是密西根中文学校协会在开始组织竞赛的早期就委托安华中文学校起草,并经过协会组织所有成员学校的校长、教务长和部分老师讨论通过。章程作为密西根中文联合竞赛的规则基础,每届竞赛开始进行准备前,协会都组织成员学校的相关负责人进行讨论,根据前一届的总结报告和当时的情况进行必要的调整。章程具体规定了竞赛组织委员会的成员、权力和工作方式;工作委员会的权力和工作;出题委员会工作方式和建立试题库;裁判委员会的成员、权力和工作方式,以及各竞赛裁判组中裁判长及裁判员的权力和工作方式;各竞赛的分组和具体评分标准;各竞赛组的奖励;经费来源和开支等等。密西根中文学校协会为保证竞赛试题质量和水平,在制定密西根中文联合竞赛章程的同时,开始建立汉语拼音、阅读竞赛和文化知识竞赛题库。每届竞赛开始进行准备时,协会组织几位资深老师为出题委员会,根据竞赛章程的具体规定,从题库中抽取部分试题,在由出题委员会补充其余的试题。新补充的试题在竞赛结束后,进入协会题库。竞赛试题分三级难度:A-基本,B-超教材,C-超标准。每套试题有不同的难度,拼音试卷难度分布为:A-50%;B-30%;C-20%。阅读试卷难度分布为:A-60%;B-25%;C-15%。

从一九九七年创办以来,大多每年一届,有时两年一届,到二零一二年已经成功举办了十二届竞赛活动。由交通的限制,每届竞赛参加的学生有300-500不等,连同陪同的家长和各竞赛组老师和家长裁判,往往是超过千人的大聚会。一般地说,承办中文学校参赛的学生和家长较多,其他学校的学生和家长视距离的远近,较近的学校多于较远的学校。其中参赛学生大部分来自于父母至少有一方是中国人的家庭,少部分是美国家庭领养的中国小孩,还有个别美国家庭小孩、韩国家庭小孩、日本家庭小孩、及东南亚华人家庭小孩。每届竞赛时,承办中文学校既要进行常规的教学,又要筹备中文联合竞赛,这对承办中文学校的组织工作提出了更高要求。一般来说承办中文学校会由一个主要负责干部牵头组织一个工作委员会负责具体工作,工作委员会的人员包括校务委员会工作人员、老师和家长,从几人到十几人不等。其主要工作为编制竞赛秩序、裁判长和裁判员安排表、统计报名表、建立学生竞赛分组名字卡、租借和安排场地、购买奖杯和奖牌、筹集资金和竞赛当天人员安排计划。

对于多种类---中文演讲、汉语拼音、中文阅读、即兴中文演讲和中国文化知识,多形式---个人和团体,不同的需求时间的大型竞赛活动时间程序安排尤其重要。如果安排不好,活动衔接不上,学生和家长需要长时间等待,就会使整个活动冗长乏味,学生和家长会失去耐心而早退,而使整个活动黯然失色。两个具体的例子就是即兴中文演讲竞赛和中国文化知识竞赛。参加即兴中文演讲竞赛的学生可以兼项,一项代表中文学校,一项代表个人。参加中国文化知识竞赛的学生先进行个人书面考分比赛,随后部分学生代表中文学校参加团体舞台抢答竞赛,中间还需对个人书面考分比赛进行判卷工作。中文演讲竞赛和中国文化知识团体舞台抢答竞赛都需要舞台和观众。如何安排好这两种竞赛和其它竞赛,对我们的竞赛活动显得尤为要。根据我们多年经验,一个大致安排见表六,承办中文学校根据当时的具体情况进行微调。

表六: 竞赛时间安排表

筹集经费是组织密西根中文联合竞赛的另一重头戏,每届竞赛协会需要经费支付购买奖杯和奖牌、场地租金和其他必要的支出。各参赛学校还需要支付裁判老师的费用以及部分参赛学校发给获奖学生的奖金。根据密西根中文联合竞赛章程规定,各参赛学校的经费自行解决,但涉及所有学校的项目,如裁判老师的费用,由协会负责协商各参赛学校统一的金额,由各学校发给老师。特别是有老师兼职多个学校任教,更需要协会协调由哪个学校发给老师,以免发生矛盾。协会所需经费由各参赛学校按每个参赛学生$15上交协会,同时协会和承办学校负责向当地商家筹集。如本届经费有节余,则交于协会用于下届竞赛。如本届经费超支,根据章程规定由超支部分,20%按参赛学校数平均分摊,80%按实际参加竞赛的学生人数平均由各校分摊。过往十二届竞赛,大部分年度经费均可持平或略有节余,少部分年度经费超支。

颁奖典礼也是密西根中文联合竞赛中的十分重要一环,为了激励学生参加竞赛,所有参加竞赛的学生均可获得一面特制奖牌,优胜者可获得一座奖杯。上台领奖的学生不仅涉及竞赛种类和组别多,而且学生人数重多,同时家长也希望小孩领奖时能够有时间照相。我们的一种高效、准确并有序的发奖仪方是准备三套参赛学生的名字卡,名字卡上包括学生的名字、学校、参赛的种类和组别。一套名字卡贴于身上,一套名字卡贴于考室中课桌上,一套名字卡用于发奖。各组裁判长在获奖名单公布后,在用于发奖的那套卡上写上学生获奖名次。发奖时,各竞赛组学生经工作人员核对并领取卡片,然后上台领奖并照相。当发奖仪式结束后,工作人员手中的剩余卡片表示各校未能领奖的学生,工作人员可将奖牌、奖杯和剩余卡片一次性发给各校代表,由各校负责转发。

三主要收获和经验教训

举办联合中文竞赛初衷就是采取多种方式方法激励学生学习中文。学生在奖杯面前的“哭”“笑”都是我们希望看到的效果,因为学生会以此为开始奋斗下一届。每一届竞赛参赛中文学校都需要动用全部中文教师参加竞赛活动,老师除了在平时教学和考试中与竞赛紧密结合外,在竞赛前老师还为参赛学生进行集体或个人辅导,在竞赛中各校老师相互进行交流,互相促进提高。竞赛活动不仅有几百学生参加,还有大量家长作为工作人员或陪同,学生在室内参加竞赛,家长在室外交流怎样促进小孩中文学习,形成一个齐心协力推进华文教育的社团氛围。通过竞赛各参赛中文学校的校长和教务长也往往通过竞赛看到各自教学的成效和不足,大家取长补短,互相学习,共同提高教学质量。

每届竞赛后,协会将召开由所有的参赛中文学校校长和教务长和承办学校工作人员参加的专题报告会。首先由承办学校向协会通报经费开支情况,随后大家一起讨论本届竞赛成功的经验、面临的困难和失败的教训。通过十二届竞赛,我们总结得出如下的困难和经验教训。竞赛需要一定的经费,所需经费的数额逐年增加。开始几届时我们尚有经费发给参赛学生和工作人员体恤,每届可重新开模新奖杯和奖牌。随后几届随着赞助经费减少,场地租金增加,为了节约经费开支,我们停发体恤,不再重新开模奖杯和奖牌,奖杯和奖牌可重复使用,每届只是印刷贴纸贴于奖杯上。除了经费困难外,承办学校工作委员会是活动成败的关键。工作委员会必须是一个强有力的组织,负责人是一个组织能力强,有组织竞赛活动的经验,带领一批一流的专业人员,各负其责。筹备初期有一届工作委员会仅有四名工作人员。但竞赛活动当天一个上千人的活动需要大量的工作人员,这就需要承办学校拥有超强的动员能力,动员出尽量多的热心的家长,他/她们可担任报到小组工作人员、拼音和阅读比赛的裁判员、舞台布置小组工作人员、发奖小组工作人员、演讲比赛裁判组的软件操作员、各种后勤人员等等。没有他/她们的帮助,整个竞赛活动就无法进行。另一个经验教训是裁判员的安排,裁判员安排不当会给竞赛活动带来不必要的矛盾。我们的竞赛涉及五个种

类、二十的组别,需要上百人裁判,其中最容易引发矛盾是演讲比赛。所以我们在安排裁判员时尽量安排各参赛中文学校的中文课老师担任演讲比赛的裁判,同时详细规定演讲比赛的评分标准,在开赛前对全体裁判员进行培训,务必使各小组裁判员评分尽量一致。对演讲比赛的评分,我们使用七到九名裁判员,去掉一最高分和最低分,再计算平均分作为最后得分,尽可能减低人为因素的干扰。最后一个成功的经验就是一个班或小组的学生要取得比赛好成绩,与一个好中文老师和对中文学习有要求的家长分不开,只有平时下功夫,在日常教学为学生打下的扎实中文基础才能成功。

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初中数学竞赛常用解题方法(代数) 一、 配方法 例1练习:若2 ()4()()0x z x y y z ----=,试求x+z 与y 的关系。 二、 非负数法 例21 ()2 x y z =++. 三、 构造法 (1)构造多项式 例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.,那么它们的立方和被6除,得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 (2)构造有理化因式 例4、 已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。 (3)构造对偶式 例5、 已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根,则4 3αβ+的值是___ ___。 (4)构造递推式 例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。 (5)构造几何图形 例7、(构造对称图形)已知a 、b 是正数,且a + b = 2. 求u =___ ___。 练习:(构造矩形)若a ,b 形的三条边的长,那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法 例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组

123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。 五、 比较法(差值比较法、比值比较法、恒等比较法) 例9、71427和19的积被7除,余数是几? 练习:设0a b c >>>,求证:222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、 因式分解法(提取公因式法、公式法、十字相乘法) 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数,证明数3 231 22 M n n n =++为整数,且它是3的倍数。 练习:证明993 991993 991+能被1984整除。 七、 换元法(用新的变量代换原来的变量) 例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习:解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、 过度参数法(常用于列方程解应用题) 例12、一商人进货价便宜8%,售价保持不变,那么他的利润(按进货价而定)可由目前的 %x 增加到(10)%x +,x 等于多少? 九、 判别式法(24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质) 例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习:已知,,x y z 是实数,且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=

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高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系;若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑; (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡; (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡; (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ; (2)][][][y x y x +≥+; (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系; (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相

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高中数学竞赛中不等式的解法 摘要:本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式,平均值不等式,柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程,并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位,由于其证明的困难性和方法的多样性,而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中,常常要用到几个著名的代数不等式:排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1.排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤,则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++(乱序积和) 1122 ...n n a b a b a b ≤+++(顺序积和) 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列,等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立.

(说明: 本不等式称排序不等式,俗称倒序积和乱序积和顺序积和.) 证明:考察右边不等式,并记1 2 12...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式 1 2 12...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义:当121,2,...,n r r r n ===时,S 达到 最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此,首先证明n a 必须和n b 搭配,才能使S 达到最大值.也即,设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ (1-1) 事实上, ()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥ 不等式(1-1)告诉我们当n r n <时,调换n b 和n r b 的位置(其余n-2项不 变),会使和S 增加.同理,调整好n a 和n b 后,再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后,和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++,这就证明了 1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端, 得 1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++

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初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略(一)

- 1 - 初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略(一) 安徽省巢湖市教学研究室 张永超 (本讲适合初中) 方程是一种重要的数学模型,也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。 一、知识要点 1.形如 方程的解的讨论: ⑴若=0,①当=0时,方程有无数个解; ②当≠0时,方程无解; ⑵若≠0,方程的解为=。 2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论,一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关 知识。 ⑴若 ,则它有一个实数根=1;若 ,则它有一个实数根=-1。 ⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数 (≠0)的图象结合 起来考虑是常用方法。 3.涉及分式方程根的讨论,一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。 4.关于含绝对值的方程解的讨论,一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号,有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。 5.解决有关方程整数根的问题时,一般要应用到整数的知识,要理解整除、质数等相关概念。 二、例题选讲 1.方程整数根的讨论 例1.已知 ,且方程 的两个实数根都是整数,则其最大的根是 。 解:设方程的两个实数根 为 、 , 则 ,所 以 。因为 、都是整数,且97是质数,若设 < ,则 , ,或 , ,因此最大的根是98。 评注:此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系,分解质因数的知识等方法与技能。这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到,如:

- 2 - 类题.(2004年四川)已知,为整数,关于的方程有两个相同的实数 根,则-等于( ) A.1; B.2; C.±1; D.±2. 分析:依题意得⊿=,所以 ,由,为整 数得 ,或 ,或 ,或 , 所以-=± 1。 例2.(2000年全国竞赛)已知关于的方程的根都是整数,那么符合条件的整数 有______个。 解:上述方程没有说明是一次方程还是二次方程,因此需要分类讨论。 ①当时, ,符合题意; ②当 时,原方程是一元二次方程,易知 是方程的一个整数根。设是方程的另一个整数根, 由一元二次方程根与系数的关系得。因为 是整数,所以 ±1,或±2,∴ =-1,0,2, 3。 结合①、②得,本题符合条件的整数有5个。 评注:本例首先对项的系数是否为零进行了分类讨论。对于 时方程解的讨论方法具有一般性, 即由 是整数判断得 ±1,或±2。 延伸拓展:例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应用到整除知识与分解变形技巧,是初中数学竞赛常考的内容,如: (2004年信利杯)已知、是实数,关于、的方程组有整数解(,),求、满 足的关系式。 解:原方程组可化 为 ,所 以 ,显然方程中≠-1,因 此 。因为、是整数,所以 ,即=0,或-2。 当=0时,=0,此时、满足的关系式是=0(为任意实数); 当=-2时,=8,此时、满足的关系式。 例3.(2004年全国联赛)已知方程 的根都是整数,求整数的值。

小学数学竞赛一几种解题方法

一几种解题方法 1.28分。提示:按从多到少顺序枚举。如果小军是两个1角硬币,那么小红的三枚硬币不可能是18分;当小军是一个1角一个5分时,小红是一个1角,一个2分,一个1分。 2.5种。 3.495。解:因为93>700,所以只有下面三种可能: 13+33+53=153 13+33+73=371, 33+53+73=495,其中只有495是11的倍数。 4.286。解:此数是13的偶数倍,必能被26整除。由260依次往小试验,260-26=234,234-26=208,都不符合题意。再由260往大试验,260+26=286符合题意。 5.15。解:1与不小于4的任何自然数都不满足题意,所以四个数中没有1。取2,3,4,a,前三个数满足条件,a=5不满足条件,a=6满足条件。所求数为2+3+4+6=15。 6.8种。解:将四个瓶子依次记为A,B,C,D,将四张标签依次记为a,b,c,d。假设A贴对了,其余的都贴错了,有两种情况: ①Aa,Bc,Cd,Db;②Aa,Bd,Cb,Dc。 同理B,C,D贴对了,其余的都贴错了,也各有两种情况。共8种。 7.10种。提示:有0,0,3;0,1,2;0,2,1;0,3,0;1,0,2;1,1,1;1,2,0;2,0,1;2,1,0;3,0,0十种方法。 8.7。解:不拆盒可买的节数有3,5,8,9,10,…因为超过10的数都可以由8,9,10中的某个数加3的倍数形成,而8,9,10都可以不拆盒,所以买7节以上(不含7)都不必拆盒。 9.11。提示:与第8题类似。 10.18支、10支、6支、4支。提示:因为总的铅笔数不多,故可依次假设丁有2支、3支、4支……铅笔。 11.21个。 提示:乙的红球、白球都是偶数。因为甲的红球数是乙的白球数的2倍,并且不超过10,所以乙的白球数只能是2或4。

高中数学竞赛解题方法篇不等式

高中数学竞赛解题方法篇 不等式 The pony was revised in January 2021

高中数学竞赛中不等式的解法 摘要:本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式,平均值不等式,柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程,并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位,由于其证明的困难性和方法的多样性,而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中,常常要用到几个着名的代数不等式:排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1.排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤,则有 1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++(乱序积和) 1122 ...n n a b a b a b ≤+++(顺序积和) 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列,等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立. (说明:本不等式称排序不等式,俗称倒序积和乱序积和顺序积和.) 证明:考察右边不等式,并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义:当121,2,...,n r r r n ===时,S 达到最大值 1122 ...n n a b a b a b +++.因此,首先证明n a 必须和n b 搭配,才能使S 达到最大值.也即,设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+(1-1) 事实上, 不等式(1-1)告诉我们当n r n <时,调换n b 和n r b 的位置(其余n-2项不变),会使和S 增加.同理,调整好n a 和n b 后,再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后,和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++,这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端, 得 即1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++. 例1(美国第3届中学生数学竞赛题)设a,b,c 是正数,求证:3 ()a b c a b c a b c abc ++≥. 思路分析:考虑两边取常用对数,再利用排序不等式证明. 证明:不妨设a b c ≥≥,则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有: 以上两式相加,两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++

高中数学竞赛基础知识讲解

高中数学竞赛基本知识集锦 广州市育才中学数学科 邓军民 整理 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛,这里就不再重复过于基础的东西,例如六种三角函数之间的转换,两角和与差的三角函数,二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多,有些还是不能不写。先从最基础的开始(这些必须熟练掌握): 半角公式 2cos 12 sin α α -± = 2 cos 12 cos α α +± = α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++= sin sin 21 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21 sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21 cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 万能公式 α αα2 tan 1tan 22sin += α α α2 2tan 1tan 12cos +-= α α α2 tan 1tan 22tan -=

三倍角公式 ()() αααααα+-=-=οο60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-=οο60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子,要求化简。这样的题目经常考,而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子,个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的,如果看到一些不常用的角,应当考虑用和差化积、积化和差,一般情况下直接使用不了的时候,可以考虑先乘一个三角函数,然后利用积化和差化简,最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值:7 6cos 74cos 72cos π ππ++ 提示:乘以7 2sin 2π ,化简后再除下去。 求值:??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 2 2 来个复杂的 设n 为正整数,求证 n n n i n i 21 212sin 1 += +∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决,在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是:x 为锐角,则x x x tan sin <<;还有就是正余弦的有界性。 例 求证:x 为锐角,sinx+tanx<2x

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)

(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用

第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax (0≠a )的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题,直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨:从指数运算律、±1的特征人手,将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根,那么1942231+-x x 的值等于( ) A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨:求出1x 、2x 的值再代入计算,则计算繁难,解题的关键是利用根的定义及变形,使多项式降次,如1213x x -=,2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨:因不知晓原方程的类型,故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ,求满足该方程的所有根之和. 思路点拨:通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等,且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111, 试求x 的值. 思路点拨:运用连等式,通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示,由解方程求得x 的值. 注:一元二次方程常见的变形形式有: (1)把方程02=++c bx ax (0≠a )直接作零值多项式代换; (2)把方程02=++c bx ax (0≠a )变形为c bx ax --=2,代换后降次; (3)把方程02=++c bx ax (0≠a )变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2,代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时,在未指明方程类型时,应分0=a 及0≠a 两种情况讨论;解绝对值方程需脱去绝对值符号,并用到绝对值一些性质,如222 x x x ==.

高中数学竞赛讲义_平面几何

平面几何 一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成) 梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若',','C B A 三点共线,则 .1''''''=??B C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若',','CC BB AA 三线平行或共点,则.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 所在直线上的点,则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠?∠∠?∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC D 为任意凸四边形,则AB ?CD+BC ?AD ≥AC ?BD ,当且仅当A ,B ,C ,D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点,P 不同于B ,C ,则有 AP 2=AB 2?BC PC +AC 2?BC BP -BP ?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点,这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。(到两圆的幂(即切线长)相等的点构成集合为一条直线,这条直线称根轴) 欧拉定理 ΔABC 的外心O ,垂心H ,重心G 三点共线,且.2 1GH OG = 二、方法与例题 1.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC 中,∠ABC=700,∠ACB=300,P ,Q 为ΔABC 内部两点,∠QBC=∠QCB=100,∠ PBQ=∠PCB=200,求证:A ,P ,Q 三点共线。 [证明] 设直线CP 交AQ 于P 1,直线BP 交AQ 于P 2,因为∠ACP=∠PCQ=100,所以 CQ AC QP AP =1 ,①在ΔABP ,ΔBPQ ,ΔABC 中由正弦定理有

【数学竞赛各阶段书籍推荐】

金牌学生推荐(可参照选择) 一、第零阶段:知识拓展 《数学选修4-1:几何证明选讲》 《数学选修4-5:不等式选讲》 《数学选修4-6:初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛(即省选初赛) 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社(推荐指数五颗星) 3、《奥赛经典:超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社(推荐指数五颗星) 4、单樽《解题研究》(推荐指数五颗星) 5、单樽《平面几何中的小花》(个别地区竞赛会考到平几) 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段:全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社(推荐指数五颗星) 1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社 2、《数学竞赛培优教程(一试)》浙江大学出版社 3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽 4、《数列与数学归纳法》(小丛书第二版,冯志刚) 5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠 6、《解析几何的技巧》单樽(建议买华东师大出版的版本) 7、《概率与期望》单樽 8、《同中学生谈排列组合》苏淳 9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版 10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版 11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选(推荐指数五颗星) 12、《圆锥曲线的几何性质》 13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几 1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选(推荐指数五颗星)

2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选(推荐指数五颗星) 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》 不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神 10、《重要不等式》中科大出版社 11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》 数论 (9,10,11选一本即可,某位大神说二试改为四道题以来没出过难题) 12、奥林匹克小丛书初中版《整除,同余与不定方程》 13、奥林匹克小丛书《数论》 14、命题人讲座《初等数论》冯志刚 组合 15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》 16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》 17、命题人讲座刘培杰《组合问题》 18、《构造法解题》余红兵 19、《从特殊性看问题》中科大出版社 20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克(Chinese Mathematical Olympiad)及以上 命题人讲座《圆》田廷彦 《近代欧式几何学》 《近代的三角形的几何学》 《不等式的秘密》范建熊、隋振林 《奥赛经典:奥林匹克数学中的数论问题》沈文选 《奥赛经典:数学奥林匹克高级教程》叶军 《初等数论难题集》 命题人讲座《图论》 奥林匹克小丛书第二版《图论》 《走向IMO》

全国高中数学联赛平面几何题

全国高中数学联赛平面几何题 1.(2000) 如图,在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ,满足∠BAE =∠CAF ,作FM ⊥AB ,FN ⊥AC (M 、N 是垂足),延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D .证明:四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等. 2. (2001) 如图,△ABC 中,O 为外心,三条高AD 、BE 、CF 交于点H ,直线ED 和AB 交于点M ,FD 和AC 交于点N . 求证:(1) OB ⊥DF ,OC ⊥DE ; (2) OH ⊥MN . 3.(2002) 4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线,切点为A ,B 所作割线交圆于C ,D 两点,C 在P ,D 之间,在弦CD 上取一点Q ,使∠DAQ =∠PBC .求证:∠DBQ =∠PAC . A B C D E F M N

5.(2004)在锐角三角形ABC 中,AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ,以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点,FG 与AH 相交于点K 。已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK 的长。 6.(2005) 7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点 C i (i =0,1). 在AB 0的延长线上任取点P 0,以B 0为圆心,B 0P 0 为半径作圆弧P 0Q 0⌒ 交C 1B 0的延长线于Q 0;以C 1为圆心,C 1Q 0 为半径作圆弧Q 0P 1⌒ 交B 1A 的延长线于点P 1;以B 1为圆心,B 1P 1 为半径作圆弧P 1Q 1⌒ 交B 1C 0的延长线于Q 1;以C 0为圆心,C 0Q 1 为半径作圆弧Q 1P 0'⌒ ,交AB 0的延长线于P 0'. 试证: ⑴ 点P 0'与点P 0重合,且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒ 相切于点P 0; ⑵ 四点P 0,Q 0,Q 1,P 1共圆. P B 1 B 0 C 1P 1 P 0 Q 1Q 0 A C 0

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第06章-几何基础知识

第六章几何基础知识 第一节线段与角的推理计算 【知识点拨】 掌握七条等量公理: 1、同时等于第三个量的两个量相等。 2、等量加等量,和相等。 3、等量减等量,差相等。 4、等量乘等量,积相等。 5、等量除以等量(0除外),商相等。 6、全量等于它的各部分量的和。 7、在等式中,一个量可以用它的等量来代替(等量代换)。 【赛题精选】 例1、如图,∠AOB=∠COD,求证:∠AOC=∠BOD。 例2、C、D为线段AB上的两点,AD=CB,求证:AC=DB。 例3、AOB是一条直线,∠AOC=600,OD、OE分别是∠ AOC和∠BOC的平分线。问图中互为补角关系的角共有多少对? 例4、已知B、C是线段AD上的任意两点,M是AB的中 点,N是CD的中点,若MN=a,BC=b,求CD的长。

例5、已知OM是∠AOB的平分线,射线OC在∠BOM内部,ON是∠BOC的平分线,且∠AOC=800。求∠MON的度数。 例6、已知A、O、B是一条直线上的三个点,∠BOC比∠AOC 大240,求∠BOC、∠AOC的度数。 例7、如图,AE=8.9CM,BD=3CM。求以A、B、C、D、 E这5个点为端点的所有线段长度的和是多少? 例8、线段AB上的P、Q两点,已知AB=26CM,AP=14CM, PQ=11CM。求线段BQ的长。 例9、已知∠AOC=∠BOD=1500,∠AOD=3∠BOC。

求∠BOC的度数。 例10、已知C是AB上的一点,D是CB的中点。若图中线段的长度之和为23CM,线段AC的长度与线段CB 的长度都是正整数。求线段AC的长度是多少厘米?

【针对训练】

山西太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第1章直角三角形

第一编 点击基本图形 第1章 直角三角形 直角三角形是含有内角为90?的特殊三角形,它是一类基本图形. 直角三角形的有趣性质在处理平面几何问题中常发挥重要作用. 性质1 一个三角形为直角三角形的充要条件是两条边长的平方和等于第三条边长的平方(勾股定理及其逆定理). 性质2 一个三角形为直角三角形的充要条件是一边上的中线长等于该边长的一半. 推论1 直角三角形的外心为斜边的中点. 性质3 ABC △为直角三角形,且C 为直角顶点的充要条件是当C 在边AB 上的射影为D 时,下列五个等式之一成立. (1)2AC AD AB =?. (2)2BC BD AB =?. (3)2CD AD DB =?. (4)22 BC AB CD AD =. (5)22AC AB CD DB = . 事实上,由2AC AD AB =?,有 AB AC AC AD = .注意到A ∠公用,知ACB △∽ADC △.而90ADC ∠=?,故90ACB ∠=?.即可得(1)的充分性. 我们又由 22222BC AB BC CD AB AD CD AD CD AD --=?= 22 DB DB CD AD ?=,即2CD AD DB =?. 即可证得(4)的充分性. 其余的证明略. 推论2 非等腰ABC △为直角三角形,且C 为直角顶点的充要条件是当C 在边AB 上的射 影为D 时,22AC AD BC DB = . 事实上,由性质3中的(1)、(2)相除或(4)、(5)相除即证.下面,另证充分性.由 222 222 AD AC AD CD DB BC CD DB +== +, 有 2()()0CD AD DB AD DB -?-=. 而AD DB ≠,即有2CD AD DB =?.由此即可证. 性质4 ABC △为直角三角形,且C 为直角顶点的充要条件是当C 在边AB 上的射影为点D ,过CD 中点P 的直线AP (或BP )交BC (或AC )于E ,E 在AB 上的射影为F 时,2EF CE EB =?(或2EF = CE EA ?) . 证明 必要性.如图11-,过D 作DG AE ∥交BC 于G ,则

高中数学竞赛讲义---代数式的恒等变换方法与技巧

1—1 代数式的恒等变换方法与技巧 一、代数式恒等的一般概念 定义1 在给定的数集中,使一个代数式有意义的字母的值,称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值,按照代数式所包含的运算所得出的值,称为代数式的值,这些值的全体组成的集合,称为代数式的值域。 定义2 如果两个代数式A、B,对于它们定义域的公共部分(或公共部分的子集)内的一切值,它们的值都相等,那么称这两个代数式恒等,记作A=B。 两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等,但 x =,在x≥0时成立,但在x<0时不成立。因此,在研究两个代数式恒等时,一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。 定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式,这种变形称为恒等变换。 代数式的变形,可能引起定义域的变化。如lgx2的定义域是(,0)(0,) -∞+∞,2lgx的定义域是(0,) +∞,因此,只有在两个定义域的公共部分(0,) +∞内,才有恒等式lgx2=2lgx。由lgx2变形为2lgx时,定义域缩小了;反之,由2lgx变形为lgx2时,定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化,对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形,但与代数式的恒等变形有类似之处,因此,在本节里,我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。 例1:设p x =有实根的充要条件,并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变,因此,在解方程时,尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解: 原方程等价于 22 2 ( 0,0 x p x x x ?-=- ? ? -≥ ?? 2 2 2 22 2 (4) 4448(2) 44 1 33 0440,0 p x x p p x x x x p x ?- = ? ?=+-- ? ? ? ? ?≤≤?≤ ?? ?? ≥ ??+-≤≥ ?? ? 2 2 2 (4) 8(2) 44 ,0 43 p x p p x x ?- = ??- ?? - ?≤≤≥ ?? 由上式知,原方程有实根,当且仅当p满足条件 2 4(4)44 48(2)33 p p p p -- ≤≤?≤≤ - 这说明原方程有实根的充要条件是 4 3 p ≤≤ 。这时,原方程有惟一实根x=。 二、恒等变换的方法与技巧 恒等变换的目的是使问题变得简单,便于求解。因此,式的恒等变换是根据需要进行的,根据不同问题的特点,有其不同的规律性。 1.分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时,可对字母的取值进行分类,然后对每一类进行变换,以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程(组)的化简、求解。

初中物理竞赛中常用解题方法

第16讲初中物理竞赛中常用解题方法 一【知识梳理】 (1)等效法:把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理规律、物理过程来研究和处理的思维方法叫做等效法。 (2)极端法:根据已知的条件,把复杂的问题假设为处于理想的极端状态,站在极端的角度去分析考虑问题,从而迅速的做出正确的判断的思维方法叫极端法。 (3)整体法:一种吧具有多个物体的变化过程组合为一个整体加以研究的思维方法叫整体法。 (4)假设法:对于待求解的问题,在与原题所给的条件不违背的前提下,人为的加上或减去某些条件,以使原题方便求解的思维方法叫假设法。 (5)逆推法:运用逆向思维的将问题倒过来思考的思维方法叫做逆推法。 (6)图像法:根据题意表达成物理图像,再将物理问题转化成一个几何问题,通过几何知识求解的思维方法叫做图像法。 (7)对称法:根据对称性分析和处理问题的方法叫做对称法。 (8)赋值法:在探究中只选择个别有代表性的数值进行讨论,然后再将讨论的结果推回到一般性问题上的思维方法叫赋值法。 ^ (9)代数法:根据条件列出数学方程式,然后再利用方程式的一些基本法则和运算方法求解方程的思维方法叫代数法。 二【例题解析】

题型一:等效法 应用等效法研究问题时,要注意并非指事物的各个方面效果都相同,而是强调某一方面的效果。例如:力学中合力与分力是等效替代、运动学中合运动与分运动的等效替代、电学中的电路是等效等。例1:某空心球,球体积为V,球强的容积是球体积的一半,当它漂浮在水面上时,有一半露出水面。如果在求腔内注满水,那么() A 球仍然漂浮在水面上,但露出水面的部分减少 B 球仍然漂浮在水面上,露出水面的部分仍为球体积的一半 C 球可以停留在水中任意深度的位置 D 球下沉直至容器底 【解析】把空心球等效看成一个1/2的实心球和另一个不计重力的体积为1/2的空气球。因为球在水中静止,且有V/2的体积在水中,固可以看成V/2的实心球恰好悬浮,另一个V/2飞空气球则露出水面,如图16-1所示,固将空气球注满水,再投入水中,将悬浮。整个大球悬浮。 1 ~ 例2:有一水果店,所用的称是吊盘式杆秤,如图16-2所示,量程为十千克。现在有一个超大的西瓜,超过此秤的量程。店员找到另一秤砣,与此秤砣完全相同,把它和原秤砣接在一起作为秤砣经行称量。平衡时,双秤砣位于刻度处。他将此西瓜以13千克作为西瓜的质量卖给顾客。店员乙对这种称量方法表示怀疑。为了检验,他取另一个西瓜,用单秤砣正常称量得8千克,用双秤砣称量读数为3千克,乘以2得6

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)一元一次方程及汇总

第四章一元一次方程及其应用 第一节一元一次方程 例1、在解方程的过程中,为了使得到的方程和原方程同解,可在原方程的两边() A、乘以同一个数 B、乘以同一个整式 C、加上同一个代数式 D、都加上同一个数 例2、方程甲3(x-4)=3x与方程乙x-4=4x同解,其根据是() 4 A、甲方程两边都加上了同一个整式 B、甲方程两边都乘以了4/3x C、甲方程两两边都乘以了4/3 D、甲方程两边都乘以了3/4 例3、方程1?1?1?1???x-1?-1?-1?-1=2001的根x=__________。?? 2?2?2?2??? 例4、1992+1994+1996+1998=5000- 成立,则中应当填的数是() A、5 B、-900 C、-1900 D、-2980 例5、若P、Q都是质数,以X为未知数的方程PX+5Q=97的根是1。则P2-Q=____。 例6、有理数111xz、、8恰是下列三个方程的根,则-=________。 25yx (1)2x-110x+12x+1-=-1 (2)3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3) 3124 (3) 1?1?2z-(z-1)=(z-1) ?2?2??327 例7、解方程:x-=1990 的去处时,某同学误将3.57 错写成3.57,结果与正确答案例8、在计算一个正数乘以3.57 相差1.4,求正确的乘积应是多少? 28 29

第二节列方程解应用题 例1、海滩上有一堆核桃,第一天猴子吃了这堆核桃的2/5,又将4个扔到大海里;第二天猴子吃掉的核桃数加上3个就是第一天所剩核桃数的5/8。若第二天剩下6个核桃。问海滩上原有多少个核桃?(20个) 例2、古希腊数学家丢番图的墓志铭上记载:“坟中安葬着丢番图,多幺令人惊讶,它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一,又过十二分之一,两颊长胡,再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子,可怜迟

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