木材最优切割

五一数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了五一数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其它公开

的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处

和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞

赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

我们授权五一数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示

（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

参赛题号（从 A/B/C 中选择一项填写）：B

参赛队号：

参赛组别（研究生、本科、专科、高中）：

所属学校（学校全称）：

参赛队员：队员1姓名：XXX

队员 2 姓名： XXX

队员 3 姓名： XXX

联系方式：Email ：联系电话：

日期：年月日（除本页外不允许出现学校及个人信息）

五一数学建模竞赛

题目：木料切割最优化问题

关键词：

矩形件下料切割问题guillotine

摘要：

随着社会的发展、人们对环境资源的重视，提高材料的利用率、获得最大利润就成了不可

避免的问题，而解决这个问题的关键就是对产品的生产进行紧凑型的布局。本文旨在解决家具

厂木料的切割问题，由一维问题（或者说是 1.5 维问题）递推到二维问题，通过寻找合适的切

割方法（采用 guillotine ，贪心启发式算法的多目标二维切割），使得我们从目标木板上切割出

的所需产品的面积和最大或者利润最大，后对方案进行优化处理，最终得出最优方案。问题一

用 guillotine 方法切割可得一块木板上P1 最多能切割 59 个。问题二在问题一的基础上，通过迭代的方法，分析得出前三甲利用率分别为99.64% ， 99.23%和 99.03% 的最佳方案。问题三又在问题二的基础上，引入了生产任务作为限制因素，并结合贪心启发式算法的多目标二维切割和

问题使问题得到解决。问题四在问题三的基础上，又增添了两个长宽不同的矩形件，用lingo 找寻它的最下限后，用循环得出最大利用率为99.64%，这时候使用的木板数为359 块。问题五改变了问题四的目标函数，消除了生产任务对木块切割的限制。在这种情形下，得到最优方案

是在一块木板上切割59 块矩形件P1，从而得出最大利润为1174100 元，木板的利用率为98.2979%。

五一数学建模竞赛

题目：木料切割最优化问题

关键词：

矩形件下料切割问题guillotine

摘要：

随着社会的发展、人们对环境资源的重视，提高材料的利用率、获得最大利润就成了不可

避免的问题，而解决这个问题的关键就是对产品的生产进行紧凑型的布局。本文旨在解决家具

厂木料的切割问题，由一维问题（或者说是 1.5 维问题）递推到二维问题，通过寻找合适的切

割方法（采用 guillotine ，贪心启发式算法的多目标二维切割），使得我们从目标木板上切割出

的所需产品的面积和最大或者利润最大，后对方案进行优化处理，最终得出最优方案。问题一

是在一块木板上切割59 块矩形件P1，从而得出最大利润为1174100 元，木板的利用率为98.2979%。

h i

表示第 i 种方案所用原料木板的数量

模型建立与优化

1、问题一

（1）算法分析

分析第一题，其采用单一材料形式进行分割，我们通过guillotine 切割方案进行初步求解，其采

用“一刀切”的形式对问题进行求解，得出在一块木板上P1 切割的最大数为56，但是（相对误差比较大）利用率比较低。后通过贪心算法再次对问题进行优化求解，得出切割的最大数为

60，接近于木板切割（装载）的上限，针对于该问题，贪心策略能得到较好的解，但它不适用

于其他问题。

图例 1：贪心算法图例2：guillotine切割

（2）模型建立

建立一个 1.5 维的切割问题模型来求近似解

min LW l1w1x i'

i 1

s.t. l1 x i'L , i 1,...,n

n W w1

或者

s.t. l1 x i'W , i1,...,n

（3）模型求解

P1 的数量木板利用率

5998.29793%

2、问题二

（1）算法分析

在第一题的基础上，继续贪心找到了每种产品的上限，通过 guillotine 切割进行迭代分析求出不同方案的木板利用率，经过对比分析，选取了三种利用率最高的方案。（2）模型建立

min LW l1w1 x1l3 w3 x3

s.t. LW l 1w1x1l 3w3x3

x1 , x3都为非负整数

（3）切割 P1 和 P3 的全部方案

方案编号P1 的数量P3 的数量木板利用率

14450.9964

28400.9597

312380.9850

416330.9484

520310.9737

624260.9370

728250.9830

832210.9670

936190.9923

1040140.9557

1144120.9810

124870.9443

135260.9903

145600.9330

（4）模型求解

根据上面的方案，进行利用率的排序，易得三种最佳方案

方案编号P1 的数量P3 的数量木板利用率

14450.9964

936190.9923

135260.9903

3、问题三

（1）算法分析

可结合问题一，得出在一块木板上分别切割P1 和 P3 所能得到的最大数，再结合生产任务能得

到满足需求的最小木板数，该值为35。假设全部木板都用一种切割方式，并结合贪心启发式算法的多目标二维切割和问题，建立了模型。后进行优化改进，让不同的木板有不同的切割方案，使得木板的利用率达最大。

（2）模型建立

min LW l1w1 x1l3 w3 x3min z B

s.t. Bx1d1s.t. Bx1d1

Bx3d3Bx3 d3

LW l1w1x1l 3w3 x3LW l1w1 x1 l 3w3x3 K

B 35B35

B, x1, x3为非负整数B, x1, x3为非负整数

（3）模型求解

木板 S1P1P3木板

备注的数量的数量的数量利用率

344540.9964

219360.9923每块木板切割方案相同

116520.9903

合计数量：

木板7741623总利用率 :

___47_____木板总利用率 =

___0.99479___

问题四

（1）算法分析

问题四采用了guillotine 二维切割方法，通过贪心等启发式算法获取最优解的近似解。同时

由于该问题属于 NP 问题，无法采用多项式方法求解，故只能采用guillotine 方法得到部分解。（2）切割方案

P1P2P3P4利用率

25.000011.0000 3.00009.00000.9473

18.000013.0000 6.00009.00000.9524

25.0000 6.00009.00009.00000.9218

34.0000012.00009.00000.9543

9.0000 3.000029.00009.00000.9787

14.0000 6.000020.00009.00000.9658

19.0000 3.000021.00009.00000.9801

24.0000022.00009.00000.9943

29.0000 3.000013.00009.00000.9814

34.0000012.00009.00000.9543

30.00000 2.000027.00000.9610

28.00000 4.000027.00000.9690

26.00000 6.000027.00000.9770

24.000008.000027.00000.9850

20.00000

18.00000

16.00000

4.0000 6.0000

12.00000

8.00000

4.00000

12.0000 5.0000

12.00009.0000

12.00008.0000

12.0000 5.0000

12.00007.0000

12.0000 6.0000

12.0000 5.0000

16.00000

16.000014.0000

16.00000

16.00008.0000

16.0000 6.0000

16.0000 5.0000

16.00000

16.0000 4.0000

16.0000 2.0000

16.00000

16.00000（3）模型建立

10.000027.00000.9597 12.000027.00000.9677 14.000027.00000.9757 16.000027.00000.9964 18.000027.00000.9917 20.000027.00000.9664 24.000027.00000.9824

3.000037.00000.9867

6.000024.00000.9661 12.000018.00000.9669 15.000021.00000.9859 18.000012.00000.9677 21.000011.00000.9842 2

7.0000 5.00000.9850 30.000000.9692 2

8.00007.00000.9539

014.00000.9028 18.000021.00000.9650

2.000027.00000.9669

4.000028.00000.9640

6.000028.00000.9754

8.000033.00000.9450 10.000024.00000.9659 12.000025.00000.9630 14.000023.00000.9733 16.000024.00000.9703 18.000021.00000.9650

min LWB

i 1j 1

min B h i s.t.B h i

i 1i 1

k k s.t.h i a ij d j , j1,2,3,4h

ij d j , j1,..,4

i 1i 1

a ij ,h i为非负整数LW a ij l j w j ,i1,.., k

a ij , h i为非负整数

（4）模型求解

木板 S1P1P2P3P4木板备注的数量的数量的数量的数量的数量利用率

3594616270.9964每块木板切割方案相同

合计数量：774215316231614木板木板总利用率 = ___359____总利用率 :

__0.9964__

问题五

（1）算法分析

根据第四题所得分割方案，建立数学模型进行求解。

（2）模型建立

k4 max c

i1j 1

k s.t.h

ij d j

LW a ij l j w j, i1,..., k

a ij , h i为非负整数

（3）模型求解

木板 S1P1P2P3P4

利润（元）木板

备注

的数量的数量的数量的数量的数量利用率

100590001174.10.982979每块木板切割方案相同

木板 S1总利润 :

木板木板总利用率总利用率 :

合计数量 1001174100

_0.982979_进一步讨论结果表示，分析与检验误差分析

上述问题求得的只是近似解，可能还有优化的空间，目前还没有发现此类解决NP 问题一劳永逸的算法方案。

结语（模型评价，特点优缺点改进方法推广）

该数学模型只能得到解的下限，不能直接得出解的结果，一方面是因为该模型选择用面积近似求解而没有考虑到所装载物体的形状，另一方面是因为无法很好的将木板的长宽与变量联

系在一起（约束条件的缺少），因此只能求出可行解的上限或者下限，不能求出精确解。除此

之外，上述贪心策略求解切割方案的移植性较差，只能用于解决一些问题，但对于某些问题能

得到更好的结果，例如问题一，采用guillotine 只能求出装载 p1数为 56，而采用贪心策略则能求出装载p1 数为 59，更大得接近此问题的上限装载量60。对于已存在的切割方案的优化求解，可以采用一些智能算法对问题的解空间进行检索，进一步获取较多的切割方案。这种方法也是

寻求最优的全局最优解的另一种方式。

参考文献

[1]向文欣,荀珂, 冉翠翠. 基于两段排样方式的剪冲下料优化算法[J]. 锻压技术,2019,44(06):35-40.

[2] 郑明月 , 刘林 , 阚方 , 方昶 . 结合批量问题的多目标矩形件优化排样[J].计算机工程与应

用,2014,50(22):260-264.

[3] 潘卫平 .矩形件二维剪切下料排样算法研究[D]. 广西大学 ,2015.

[4] 张军 , 金明爱 , 王锡禄, 冯恩民 . 一刀切下料的数学模型[J].延边大学学报( 自然科学版),2001(01):11-14.

[5] 林春婷 , 杨连池 , 王志煌 , 张国忠 , 叶德火 . 激光切纸机网络共享的设计实现[J].电子质量,2018(11):32-34

量