(完整版)14-函数与极限习题与答案(证明题).doc
高等数学
三、证明题（共 124 小题，）
1、 设 f (t) 2t
2
2 5 5t , 证明 f (t )
f ( 1
) 。
t 2
t
t
2、
设 f (x) ln
1 x
,证明 f ( y) f ( z) y z
) (式中 y 1, z 1).
f (
yz
1 x
1
3、 设 F ( x) lg( x 1) , 证明当 y 1时有 F ( y
2
2)
F ( y 2) F ( y) 。
4、 设 f (t)
e t , 证明
f ( x)
f ( x y) 。
f ( y)
5、 证明 f (x) (2
3) x (2
3) x 是奇函数 。
6、
设f (x) arctanx
(
x
)， (x) x a ，
1 ax ( a 1，x 1)，验证： f
( x) f (x)
f (a)。
7、 证明 Sh 2 x Ch 2 x Ch2x 。
8、
验证 2Shx Chx
Sh2x 。
9、 验证 Sh(
) Sh Ch
Ch Sh 。
10、 验证 Sh(
) Sh Ch Ch Sh 。
11、 验证 Ch( ) Ch Ch Sh Sh 。
12、 验证 Ch( ) Ch Ch
Sh Sh 。
13、 验证 1
th 2 x
1 。
ch 2 x
14、 验证 1
cth 2 x
1 。
sh 2 x
15、
设数列
x n ，都是无界数列，，y n z n x n y n
试判定：z n是否也必是无界数列。
如肯定结论请给出证明，如否定结论则需举出反例。
16、
设，是两个函数，令a
n 1 a n b n ，b
n 1
a
n
b
n，，，试证明：
a1 b1 2 (n 1 2 )
lim a n 存在，存在，且lim a n lim b n
lim b n
n n b n n
17、
设 x1 (0，2)， x n 1 2x n x n 2．(n 1，2，)，试证数列x n 收敛，并求极限 lim x n．
n
18、
若在 x 的某去心邻域内 f x ) g x ，且 f x A，g x ) B 试证明 A B．
0 ( ( )lim ( ) lim ( ;
x x0 x x0
19、
若在 x0的某去心邻域内 f ( x) ( x)，且 lim (x) 0，试证明 lim f (x) 0
x x0 x x0
20、
试证明 limcos 1
不存在。
x 0 x
21、
设当 x x0时， f ( x) ，g( x) A( A 0)，试证明 lim f ( x) g(x) ．
x x0
22、
设x x0，f ( x) ，g ( x) A，试证明 lim f ( x) g( x) ．
x x0
23、
设 x x0时， f (x) ， g( x) A(A是常数），试证明lim g ( x) 0．
x x0
f ( x)
24、
设有数列 a n满足 a n
a
n 1
r，0 r 1，试证明 lim a n 0 0；
a n
n
25、
设lim f ( x) ，，且A B, 试证明：必存在的某去心邻域，使得
A lim g(x)
B x0
x x0 x x0
在该邻域为 f ( x) g (x)．
26、
设 lim f ( x) A( A
0)，试用 "
" 语言证明 lim f ( x)A ．
x x 0
x x 0
27、
设有数列 a n 满足 a n
0且 lim n a n
r ，(0 r
1)，试按极限定义证明：
n
lim a n
0．
n
28、
设有数列 a n 满足 a n
0及 lim
a
n 1
r (0 r
1)，试证明 lim a n 0．
a n
n
n
29、
设 lim x
n
0 及 lim x n
1
a 存在，试证明： a ．
n
n
x n
1
30、
设当 x
x 0 时， f ( x)是比 g( x)高阶的无穷小．
证明：当 x
x 0 时， f ( x) g( x) 与g( x)是等价无穷小．
31、
设当 x x 0 时， (x) 、 (x)是无穷小，
( x)( x) 0. 证明： ln 1
( x) ln 1
( x)
与 ( x)
(x) 是等价无穷小．
32、
设当 x
x 0 时， ( x) ， ( x)是无穷小 且 ( x) ( x) 0
证明： e
( x )
e ( x)
~ ( x)
( x) ．
33、
设当 x
x 0 时， ( x) 与 ( x)是等价无穷小，
且 lim f (x)
a 1， lim
f ( x)( x) A ，
x x 0 ( x)
x
x 0
g(x)
证明： lim f ( x)
( x)
A ．
x x 0
g( x)
34、
设 lim f (x)
，且 A 0
，
A
x
x
试证明必有 x 0 的某个去心邻域存在，使得
1
在该邻域内 有界 .
f ( x)
35、
设 x x0时， (x)与 ( x)是等价无穷小且 lim ( x) f ( x) A
x x0
证明： lim ( x) f ( x) A
x x0
36、
若数列 a n 适合
a
n 1 a n r (a n a n 1 )
(0 r 1)
求证：a2 ra 1 ．
lim a n
n 1 r
37、设lim ( x) ， f (u) f (u0 ) , 证明： f ( x) f (u0 ) 。
u0 lim lim
x x0 u u0 x x0
38、
用极限存在的＂夹逼准则＂证明数列的极限 lim
n 0．
2 n
n
39、
设数列 x n 适合x
n 1 r 1, ( r为定数）证明：lim x n 0．x n n
40、设x1 1
，x2
1 3
，，x n 2 2 4
(1)证明： x n 1 ；
2n 1 (2)求极限 lim x n．
n
41、1 3 5
2 4 6
( 2n1)
( 2n)
，
设x n
1 1 1 1 1 3 1 3
2 1
42、
1
3n
，求证：lim x n存在 .
1n
设x
n 1
1 1 1 ，为正整数) 求证：存在．
2 2
3 2 n 2 ( n lim x n n
43、
设 x0 1， x1 1
x0
，， x n 1
x n
．1 x0
1
x n
1
证明极限 lim x n存在，并求出此极限值。
n
44、
设 x1 0，且 x n 1 1
( x n
a
)( 其中 a 0) ，2 x n
证明极限lim x n存在，并求出此极限值．
n
45、
设 x 1
2 ，且 x n 1
2 x n ，证明 lim x n 存在，并求出此极限值 。
n
46、
设 x 1 a
0，且 x n 1
ax n ，证明： lim x n 存在，并求出此极限值
．
n
47、
已知：lim f ( x) A
0，试用极限定义证明： lim f ( x)A ．
x x 0
x x 0
48、
lim f ( x) A ，试证明：
x 0
对任意给定的
，必存在正数 ，使得对适
含不等式 0 x 1
x 0 ； 0
x 2 x 0 的一切
x 1 、x 2 ，都有 f (x 2 ) f ( x 1 )
成立。
49、
若 lim f ( x)
，
B ，且 B
A
A lim g(x)
x x 0
x
x 0
证明：存在点 x 0的某去心邻域，使得在 该邻域内 g ( x)
f ( x)．
50、
设 lim
( x) u 0，且 (x) u 0，又 lim
f (u)
A
x x 0
u u 0
试证：lim f ( x) A
x x 0
51、
设 lim
f ( x) A ，求证： lim f ( x)
A ．
x x 0
x
x 0
52、
设有两个数列 x n ， y n 满足
(1) lim x n
0；
n
(2) y n
M
( M 为定数 ) ．
试证明： lim( x n y n ) 0．
n
53、
设
lim x n A ，且 B
A C ．
n
试证必有正整数 N 存在，使当
n
时恒有 B A
x n
A C
成立．
N
2 2
54、
用数列极限的定义证明 lim
1
0．
n!
55、
设当 x
x 0时， ( x)与 1 (x)均为无穷小，且
( x) ~ 1 (x)；如果 lim
(x) A
x x 0
(x)
试证明：lim
1 ( x)
a
1
lim
1
1 (x)
a 1 ．
x x 0 (x)
x x 0
(x)
(式中 a 是正常数 ) 56、
设当 x
x 0 ， ( x)， ( x)都是无穷小，且
( x) 0， ( x) 0
试证明： 1
( x) ( x )
~
( x)
(x) ．
57、
设当 x x 0 ， ( x) ， 1 (x) ， ( x)， 1 ( x) 均为无穷小，
且 ( x) ~
1 (x)； (x) ~
1 ( x) ，如果 lim
(x)
A
( x)
x x 0
试证明： lim 1
( x)
1
lim 1
1 ( x) 1
( x)
1 ( x) ．
x x 0
x x 0
58、
设当 x
x 0时， ( x) 0， (x)
o ( x) ，
1 ( x) ~
．
(x)
( x) 存在 ( A 0)
( x)
lim
u( x)
x x 0
求证：lim
1 (x)
( x)
A ．
u( x)
x x 0
59、
设在 x 0的某去心邻域内
( x) u(x)
(x)，且当 x
x 0时， (x) ~ (x)．
试证明：当 x
x 0时
( x) ~ u( x)．
60、
用数列极限的定义证明 ：
n(n
2)
1 ．
lim
2n 2 5 2
n
61、
1
用数列极限的定义证明 ：lim a n
1 (0 a 1)．
n
62、
用数列极限的定义证明 ：lim a n
0，(其中0
a
1)．
n
63、
若 lim f ( x)
， lim g( x)
，但 g( x) 0 ．
x x 0
x x 0 证明： lim f ( x) b 的充分必要条件是
x x 0 g( x)
lim f ( x) b g( x) ．
g( x) 0
x x 0
64、
用无穷大定义证明： lim log a x
(其中0 a 1)．
x
65、
用无穷大定义证明： lim ( x 3 4x)
．
x
66、
用无穷大定义证明： lim
1 ．
x 1 0
x 1
67、
用无穷大定义证明： lim tan x
x
2
68、
用无穷大定义证明： lim ln x
．
x 0
69、
用无穷大定义证明：lim 2x 1
．
x 1
x 1 70、
当x
x 0 时， f ( x) 是无穷大，且 lim g(x) A ，
x
x 0
证明：当 x
x 0 时， f ( x) g(x) 也为无穷大．
71、
设 lim u( x)
A ， A 0；且 lim v( x) B
x x 0
x x 0
试证明： lim u( x) v( x)
A B ．
x x 0
72、
设有数列 a 1 a ，a 2 b (b
a)，a n 2
求证：
lim (a n 1 a n ) 及
．
lim y n
lim a n
n
n
n
73、
a n 1 a n
2
当 x
x 0时，设
1＝ o( )， 1 o( )且 lim
存在，
x x 0
求证：lim
1
lim
．
x
x
1
x
x 0
74、
用函数连续性的＂
＂定义，验证函数 f ( x) cos x 在任意点 x 0 处连续．
75、
设f (x)在 a ， 上连续，且 lim f ( x)存在，证明 f ( x)在 a ， 有界．
x
76、
设 f (x) 在 ， 内连续，且 lim f ( x) 与 lim f (x) 存在，证明 f ( x) 在 ， 内有界．
(a
( a
x a 0
x ＋
77、
证明方程 x 5
7 x 4 在区间 ， 2) 内至少有一个实根．
(1
78、
证明 x a sin x b(a 0， b 0)至少有一个正根，并且 它不超过 a
b ．
79、
证明方程 x 3
4x 2
3x 1
0有三个实数．
80、
设 f (x) 为连续函数，
x 与 x b 是方程 f ( x) 的两个相邻的根 (a ． a 0 b) 证明：若已知 ， 内一点 C 处的函数值
f (c) ，则 f (x) 在 ， 内处处为正． (a b) 0 (a b)
81、
设函数 f ( x)在 ( a ， b)内连续， a x 1 x 2 b ，
证明在 (a ， b)内至少存在一点
，使 f ( )
f ( x 1
)f ( x 2
)
．
2
82、
证明：任何奇次代数方程至少有一实根．
83、
试证方程 x cosx 在 (0， )内至少存在一个实根．
2
84、
设 为正数数，函数 f (x) 是 ， n 上的连续函数， f ( 0) f (n) ， n
0 试证明存在 ，
1 0，n 使f ( ) f ( 1)．
85、
设 f (x)在区间 a ，b 上连续，且 a
x 1 x 2
x n b ，
c 1， c 2， ， c n 为任意正数，则在 a ， b 内必存在一点 ， 使得 f ( )
c 1 f ( x 1 ) c 2 f (x 2 )
c n c n
f ( x n )
．
c 1 c 2
86、
证明方程
a 1
a 2
a 3
0有分
别
x
x
x
1 2
3
包含在区间 ( 1
，
2 ) 与 ( 2
，
3 )内的两个实根
其中 a i 0(i
1， 2， 3) ，且 1
2
3
．
87、
证明方程 sin x
x
1至少有一个根介于－ 2和 2之间．
88、
试证方程 x
sin x 2至少有一个不超过 3的正根．
89、
若 f ( x) 在 a ， b 上连续，且 f (a) a ， f (b) b ， 证明：在 ( a ， b) 内至少存在一点
，使 f ( )
．
90、
证明：方程
5 7 16
，有一个根介于 和 之间，
x
1 x 2
x 3
1 2
另一个根介于 和 之间．
2 3
91、
证明：方程 x 4
x 1
0 在 ， 1 内有实根．
3 1
92、
设 f (x) 在 ， 上连续，且方程 f ( x) 在 ， b 上无实根，
a b 0 a 证明 f ( x)在 a ，b 上恒为正或恒为负．
93、
设 f ( x) 在 ， 2a 上连续，且 f ( 0) f (2a) ，证明 0 至少有一点 ， ，使得 f ( ) f ( a) ．
0 a
94、
设 f (x)在 a ， b 上连续， a c d b ，
证明：对任意正数 p 和 q ，至少有一点 c ， d
适合 pf (c) qf (d)
( p q) f ( )．
95、
设 f ( x) 在 0， 1 上非负连续，且 f ( 0) f (1)
0， 试证对于实数 c(0 c 1) ，必存在一点 x 0 0， 1 ，
使 f ( x 0 ) f ( x 0
c) ．
96、
试估计方程 x 3 6x 2 0的各根的范围． (要求范围是端点为相邻 整数区间 )．
97、
证明方程 x 5
3 x
至少有一个根介于 和 2 之间．
1 1
98、
f (x)及 g( x)在 a ， b 上一致连续，
试证明 F ( x) f (x) g(x)在 a ，b 上也一致连续．
99、
若 f ( x) 在 ，
上连续，且 lim f ( x)
A( 定数 )
a x
试证明 f ( x) 在 ，
上一致连续．
a
100、
试证明：若 f ( x) ，g( x) 在 (a ，b)内都一致连续
则F ( x) f ( x) g( x) 在(a ，b)也必一致连续．
101、
设 f (x) x 2
，试证明在任意有限区 间
，
( a b)
内
一致连续，而在 ( ， ) 上 f (x) 不一致连续． f (x)
102、
证明： f ( x)
x ，在 1，
上一致连续．
103、
设 0 c ，试证明
f ( x) cos
1
，在 ( ，1)内一致连续．
1 x
c
104、
证明：函数 f ( x) x
sin x 在
(
，
)一致连续．
105、
设 f (x) 对一切 ， y 满足 f ( x y) y f ( x) e x
，且 f (x) 在 x 处连续．
x e f ( y) 0
求证： f ( x)在任意点 x 处连续．
106、
设 f (x) 在 ， 上连续， f (a) ， ， 是介于 与 之间的任一实数，
a b A f (b) B C A B 证
( x) min f ( x)，c ，试证明： ( x)也在 a ，b 上连续．
107、
设 f (x) 在 ， b 上连续， f (a) A ， ， 是介于 与 之间的任一实数，
a f (b) B C A B 证： ( x) max f (x)， C ，试证明： ( x)也在 a ，
b 上连续．
108、
设 f (x)， g( x)为连续函数，试证明 M (x)
Max f (x)， g ( x) 也是连续函数．
109、
证明方程 x
sin x 2，至少有一个小于 3的正根．
110、
设 f ( x) 与 g(x) 在 a ， b 上连续，且 f (a)
g( a)
f (b) g(b)，试证明曲线 y f ( x) 与y g( x)
在 ， b) 之间至少有一个交点．
( a
111、
设 f ( x) ， g(x)为连续函数， m( x) min f (x)， g( x)
试证明： m( x) 也是连续函数．
112、
设
， g( x) 都在 ， 上连续，
M ( x)
，
，
x ， b ， f (x) a b
Max f ( x) g( x)
a
试证明： M ( x)在 a ， b 上也连续．
113、
设 f (x)在 ( ，
)上连续
(x) f ( x)，当 f (x) 0
0， 当 f ( x)
，
试证明 ( x)在 (
，＋ )上连续．
114、
设 f (x)在 ( ，
)上连续 g (x)
f ( x)，当 f (x) 0
0， 当 f ( x)
试证明： g(x)在 (
，
)上连续．
115、
设 a b c ， f (x)
1
1
1 ，
x
a x
b x
c 试证明在 (a ， b)及 (b ， c)方程各有一个实根． 116、
设 f (x) 对一切 ， 适合 f (s t ) f ( s) f (t) 且 f (x) 0
s t
试证明：若 f ( x)在x 0处连续，则 f (x)必处处连续．
117、
f ( x) 在区间 ( a ， a) 内满足条件 f (x) 1，
且对一切
s ，
成立
a
t a
f ( s t )
f ( s) f ( t)
f (s) f ( t)
f ( x) 在x 0处连续，试证明 f ( x)在 ( a ， a) 内连续．
118、
试由 f ( x) e x 在 x
0处连续性导出 f (x)在 ( ， )上连续性的证明．
119、
试由 f ( x) ln x 在 x
1处连续性导出 f ( x)在 (0， )上连续性的证明．
120、
试由 f ( x) tan x ，x
(
2 ， )在 x 0处的连续性导出 y f ( x)在( ， )
2
2 2 内连续性的证明．
121、
设 f (x) 在 ， a 上连续，且取得最小值 f (0) f (a) ，
0 m
试证明：对于满足 0 b a 的任意正数 b ，必存在
0， a ，使 f ( ) f ( b)．
122、
x x sin
1
设 f (x)
x
x
， x
(0， )， f (0) 0
1
试证明：对于任意的 c(0 c 1)，存在
0使 f ( )
c.
123、
设 f ( x)
x sin( x 1 x) ， x ， ，
试证明 f ( x) 在 ， 上有界．
124、
设 f (x) 在 ， 上连续，且 f ( a)
．
a a
f (a)
试证：在 0，a 上至少有一点 ( 0，a )使f ( )
f ( a)．
三、证明题（共 124 小题，）
1、
5( 1
)
证 : f ( 1 ) 2( 1
) 2
2
5
5 分
tt 1 2
1
t
t
t
2 2t 2
5t
5 t 2
t
2t 2
2 5 5t
t 2
t
f (t) f ( 1
).
t
2、
证 : f ( y) f ( z)
1 y
ln 1 z
ln
y
1 1 z
ln 1 y . 1 z
ln 1 y z
yz
1 y 1
z
1 y z
yz
y z
1 1
yz
ln
y z
1
1 yz
y z
y z
1
yz ) ln
1 f (
yz y z
1
1
yz
1 f ( y)
f ( z)
f (
y
z )
1 yz
y z
或证 : f (
y
1
ln
1
z ) ln
1 yz
y
z yz
1 yz
y
z
1 y
z
yz
1
yz
1
ln
(1
y)(1 z)
(1 y)(1 z)
ln
1 y
1 z f ( y)
f (z)
ln 1 y
1 z
3、
证 : F ( y 2 2)
F ( y 2) lg( y 2 2 1) lg( y
2 1)
lg( y 2 1) lg( y 1)
lg y 2 1
y 1
lg( y 1) F ( y)
4、
证
f (x) e x e x y
f ( y)
e y
( x y) e
x
y
f ( x) f (x y)
f ( y)
5、
分
分
分
分
分
分
分
分
分
分
分
分
分
分
分
分
因 ( 2 3)(2 3) 1，即 1 2 3
2 3
f ( x) (2 3) x (2 3) x
＝(2 3) x (2 3) x
f ( x)
f ( x) 是奇函数。
6、
设 y arctan x，arctan a
tan( y
tan y tan x a )
1 xa
1 tan y tan
故f ( x) f (a) y arctan x
a
arctan x
a
1 ax
f (x)
1 ax 故 f ( x) f (x) f (a)
7、
sh2 x ch 2 x ( e
x e x)2 ( e x e x)2
2 2
1 ( e
2 x e 2 x )
2
ch2x
左边右边8、
左边 2 e x e x e x e x
2 2
1 (e
2 x e 2 x )
2
sh2 x
右边
9、
右边e ee ee ee e
分
分
分
分
分
分
分
分
分
分
分
分
分
分222 2
1 e e ( )
2
左边
10、
右边
e x e x e e e e e e
2 2 2 2
1 e e ( )
2
左边
11、
右边 e e e e e e e e
2 2 2 2
1 e e ( )
2
左边
12、
右式
e e e e e e e e
2 2 2 2
1 e e ( )
2
左式
13、
左式 1 sinh 2 x ch 2 x sh2 x cosh2 x ch 2 x
而 ch2 x sh2 x 1 故左式右式。
14、
2
x 1 ch2 x sh2 x ch2 x
1 cth sh
2 x sh2 x 又 sh2 x ch2 x 1
分分分分分分分分
分分
分分
故左式右式10 分
15、
结论不一定成立
3 分
例如
x n
，，，，， ，
，， ，
1 0 3 0 5
2n 1 0 2n 1
y n ，，，，，， ，， ，，
0 2 0 4 0 6
0 2n 0 都是无界数列，但 z n x n y n 0 显然 z n 是有界数列
10 分
16、
a 1
b 1
b 2 ，
a 2a 1
b 1
2
a n 1
a n
b n
b n
a n
b n
1
2
故对一切 n 有a n b n
a n 1
a n
b n a n 2 a n b
n 1
a n
b n b n b n
b n
2
2
即 a n 单调增， b n 单调减
于是有 a b
a 2
a 3
a
1 1
n
即 a n 有上界 b 2 ， b n 有下界 a 2 从而 lim a n 与 lim b n 都存在。
n
n
设 lim a n
A ， lim b n B
n
n
则由 lim b n
1
lim
a n
b n
得 B n
n
2
从而 A B
4 分
b n
b
n 1
b 2
a 1
b 1
2
7 分
B
2
即 lim a n
lim b n
10 分
n
n
17、
因 x 1 ， ，故 x 2 2
1 (1 x 1 )
2
(0 2) 2x 1 x 1
0 x 2 1
设 0 x n
1，则 x n 1
1 (1 x n ) n
仍有 0 x n 1 1
故对一切正整数
n ， 成立。
2 0 x n
1
从而 x n 有界
3 分
另x n
1 x n x n x n
2 x n (1 x n )
因 0 x n 1 故 x n 1 x n 0
即 x n 单调增
于是 lim x n存在 6 分n
设 lim
x n A (
A x2 )
n 0
由 lim x n 1 lim( 2x n x n 2 )
n n
A 2A A2解得唯一函根 A 1
故 lim x n 1 10 分n
18、
令 ( x) f ( x) g(x) 3 分则在 x0的某去心邻域内( x) 0 5 分从而 lim ( x)
x x0
lim f ( x) g( x) A B 0 8 分
x x0
故 A B 得证10 分19、
证：因 lim (x) 0 故 lim ( x) 0 4 分x x0 x x0
又因( x) f (x) (x) 7 分从而 lim f ( x) 0 10 分x x0
注：本题亦可用""定义证明
20、
证f (x)
cos
1
x
取 x n 1 (n
，，
2n 1 2 )
显然：当 n
时， x n 0且
x n 0
而 lim f ( x n ) lim cos(2n ) 1
n
n
另取 t n
1
(n ，， )
( 2n 1 2
1)
显然：当 n
时， t n 0，且 t n 0 而 lim f (t n ) lim cos(2n 1) 1
n
n
lim cos 1
不存在
0x
21、
因
1 1
1
f ( x) g( x)
f ( x) g( x)
其中 lim
1 0
f (x)
x
x 0
lim
1 1 g(x)
A
x
x 0
故
lim
1
f (x) g( x)
x
x 0
即 lim f ( x) g(x)
x
x 0
22、
4 分
( A 0)
6 分
8 分
10 分
因 1
1 1
4 分
f ( x) g( x)
f ( x)
g( x)
1
f ( x)
因 lim 1 0
f ( x)
x x 0 6 分
g(x)
lim 0
x
f ( x)
lim
1
1
x x 0
1＋ g( x)
f (x)
故 lim
1 8 分
x x 0
f (x) g( x)
即 lim f ( x) g( x)
10 分
x
x 0
23、
因 g( x)
g( x)
1 3 分
f ( x) f ( x)
lim g(x)
A ，即 g( x) 在 x 0 的某去心命域内有界 5 分
x x 0
1
0，即
1 是当 x
x 0 时的无穷小
8 分
lim
f (x) xx
f ( x)
故 lim
g( x)
10 分
f ( x)
24、
a
n 1
r
a n
故有 a 2 a 1r
a 3 a 2r
a 1r
0 a n a 1 r n 1
5 分
因 0 r
1 故 lim r n 1
8 分
n
从而 lim a n
10 分
n
25、
证：令 (x) f ( x) g( x)
3 分 则 lim ( x) A B 0
5 分
x x 0
由局部保号性知：存在 x 0 的某去心邻域使得(x) 0
8 分 即 f ( x) g( x)
10 分
26、
因 lim f ( x) A ．( A 0)
x x 0
故存在
0，使当 0 x x 0时，
f ( x) 0
2 分
任给
0，取 1 A ， ( 取 0
)
必存在 0 ，使当 0 x x 0 时
恒有
f (x) A
1 成立
而 f ( x)
A
f ( x) A f ( x)
A
f ( x) A
1
成立
A
A
故 lim
f ( x)
A
x
x 0
27、
因 lim n a n
r
n
取 1 r ( r 1)
必存在 N
0使当 n
N 时有
a n r
即有 n a n r
成立
从而有 a n
n
因 0
1，故 lim
n
n
又因 a n 0，可得 lim a n 0
n
28、
lim
a
n 1
r ，r 1
n a n
取
1 r (r
1) 必存 N ，使当
n N 时，恒有
a n
1
r
成立
a n
即有
a
n 1
r
1 成立
a n
即 a N 1
a N
a N
a N
a N
2 2
1
k
a
N k
a
N
因 0
1，故 lim a n
k
k
分
分
分
分
分
分
分
分
分 分
函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为
函数极限的定义的多种表达
函数极限的定义 林芳 20101101903 数学科学学院 2010级（1）班 指导教师 韩刚 摘要 极限是数分中的重要内容，用定义证明极限类型题都要用到它。本文就给出二十四个函数极限的定义。 关键词 极限 1函数在一点的极限的定义 1.1函数在0x 点的极限的定义 设函数f(x)在0x 点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当0<0x x -<δ时，总有A x f -)(<ε，我们就称A 是函数在点0x 的极限，记为 A x f x x =→0 )(lim , 或者记为 f(x)→A(x 0x →). 这时也称函数f(x)在0x 点极限存在，其极限值是A. 1.2函数在点0x 右侧的极限的定义 设函数f(x)在（0x ，η+0x ）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0 我们就称A 是函数f(x)在点x 0的右极限，记为 0)(lim +→x x x f =A 或f(x 0+0)=A 或 f(x)→A (x 0x →+0) 这时也称函数f(x)在点0x 右极限存在。 1.3函数在0x 点左侧的极限的定义 设函数f(x)在（00,x x η-）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0<δ<-x x 0时，有A x f -)(<ε,我们就称A 是函数f(x)在点的左极限，记为 0)(lim -→x x x f =A 或 f(00-x )=A 或 f(x))0(0-→→x x A 这时也称函数f(x)在0x 点左极限存在. 2函数在无限远处的极限 2.1函数在无限远处极限的定义 若对任意给定的ε>0，存在X>0，当X x >时，总有ε<-A x f )(，我们说A 是f(x)在无限远处的极限，或者说A 是当x 的极限时)(x f ∞→,记为 ) ()()()(lim ∞→→=∞=∞→x A x f A f A x f x 或 这时也称函数f(x)在无限远处极限存在 2.2函数在正无限远处的极限的定义 定义证明二重极限 定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P 入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7 函数与极限测试题（二） 一. 选择题 1.设F()x 是连续函数()f x 的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有( ). （A ）F()x 是偶函数?()f x )是奇函数. （B ）F()x 是奇函数?()f x 是偶函数. （C ）F()x 是周期函数?()f x 是周期函数. （D ）F()x 是单调函数?()f x 是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则( ) （A ） 0x =，1x =都是()f x 的第一类间断点. （B ） 0x =，1x =都是()f x 的第二类间断点 （C ） 0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点. （D ） 0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点. 3．设()1x f x x -= ，01x ≠、，，则1 [ ]() f f x = ( ) A ） 1x - B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） 0 lim 11(1+ )x x x + →= B ）0lim 1(1+ ) x x e x + →= C ） lim 1(1)x x e x →∞ =-- D ）lim 1(1) x x e x -→∞ =+ 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 。 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 题型 一．求下列函数的极限 二．求下列函数的定义域、值域 三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型 内容 一．函数 1.函数的概念 2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性 3.复合函数 4.基本初等函数与初等函数 5.分段函数 二．极限 （一）数列的极限 1.数列极限的定义 2.收敛数列的基本性质 3.数列收敛的准则 （二）函数的极限 1.函数在无穷大处的极限 2.函数在有限点处的极限 3.函数极限的性质 4.极限的运算法则 （三）无穷小量与无穷大量 1.无穷小量 2.无穷大量 3.无穷小量的性质 4.无穷小量的比较 5.等价无穷小的替换原理 三．函数的连续性 x处连续的定义 1.函数在点0 2.函数的间断点 3.间断点的分类 4.连续函数的运算 5.闭区间上连续函数的性质 例题详解 题型I函数的概念与性质 题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限） 题型III求数列的极限 题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值 题型V无穷小的比较 题型VI判断函数的连续性与间断点类型 题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明 自测题一 一． 填空题 二． 选择题 三． 解答题 3月18日函数与极限练习题 一．填空题 1.若函数121)x (f x -??? ??=，则______)x (f lim x =+∞ → 2.若函数1 x 1 x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→ 3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________ 4. 设 cos 0()0 x x f x x x ≤??=? >?? ，则 (0)f = __________ 5.已知函数 2 ()1 ax b x f x x x + 海涅定理在函数极限证明中的应用 摘要：函数极限理论是数学分析中的重要组成部分。关于证明函数极限存在的方法探讨具有十分重要的意义。本文给出了一些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数极限归结为数列极限问题来处理。不仅给出了一类证明函数极限存在的方法，同时也加深了对函数极限和数列极限两者间的关系的理解。 关键词：海涅定理；函数极限；数列极限 Abstract: The limit theory of functions plays an important role in mathematical analysis. Study on the method proving existence of function limit is very meaningful. In this paper, we gave some applications for existence of function limit by using Heine theorem and dealt with the function limit problems to the sequence limit problems. These not only gave a kind of the method for existence of function limit, but also deepen the comprehension about the relationship between the function limit and the sequence limit. Key words: Heine theorem; function limit; sequence limit 数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。而海涅定理就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁。也是证明函数极限性质和极限存在的判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用。除此之外还可以运用海涅定理优化极限的运算。其意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理。 海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义上来说，效果都是一样的。因此，数列极限和函数极限在一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理。 近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究。此外，一些学者利用海涅定理来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献[1-6]。还有一些学者对海涅定理进行进一步推广，见参考文献[7-10]。根据文献[6，8,10] 对海涅定理进行归类整理的。 习题1-3 1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3 =-→x x ; (2)12)25(lim 2 =+→x x ; (3)42 4 lim 22-=+--→x x x ; (4)21 241lim 3 2 1=+--→x x x . 证明 (1)分析 |(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε3 1 |3|<-x . 证明 因为?ε >0, ?εδ31 =, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x . (2)分析 |(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε5 1 |2|<-x . 证明 因为?ε >0, ?εδ5 1 =, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x . (3)分析 |)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 要使ε<--+-)4(2 4 2x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为?ε >0, ?εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有 ε<--+-)4(2 42x x , 所以424 lim 22-=+--→x x x . (4)分析 |)21 (|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 要使 ε<-+-212413x x , 只须ε2 1|)21(|<--x . 证明 因为?ε >0, ?εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 3 2 1=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2 121lim 33= +∞ →x x x ; (2)0sin lim =+∞ →x x x . 证明 (1)分析 3 3 3333||21212121x x x x x x = -+=-+, 要使 ε<- +21213 3x x , 只须ε<3| |21 x , 即3 21 ||ε > x . 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==； 关于函数极限如何证明 函数极限的性质是怎么一回事呢?这类的性质该怎么证明呢?下面就是学习啦给大家的函数极限的性质证明内容，希望大家喜欢。 X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |Xn+1-A| 以此类推，改变数列下标可得|Xn-A| |Xn-1-A| …… |X2-A| 向上迭代，可以得到|Xn+1-A| 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。 n/(n^2+1)=0 第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f = = ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ； 二元函数极限证明 设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ) 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取 εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限 δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I) []=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00 （IV ） cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于 时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x =254252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于 型时0 ,0x x → 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式= () () ) 12102(65) 2062(103lim 223 2232 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =)65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =)65()103(lim 222++---→x x x x x =) 3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44(lim 22x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足： 高等数学 三、证明题（共 124 小题，） 1、)1 ()( , 5522)(22t f t f t t t t t f =+++=证明设。 2、 )1()()(,11ln )(yz z y f z f y f x x x f ++=++-=证明设).1,1(< {}{}{}反例。 ，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。试判定： ， 都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x = 16、 n n n n n b n n n n n n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞ →∞ →→∞ →++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设Λ 17、 {}．收敛，并求极限，试证数列 ，，．，，设n n n n n n x x n x x x x ∞ →+=-=∈lim )21(2)20(2 11ΛΛ 18、 ． 试证明，，且的某去心邻域内若在B A B x g A x f x g x f x x x x x ≥==≥→→ ; )(lim )(lim )()(0 19、 0)(lim 0)(lim )()(0 0==αα≤→→x f x x x f x x x x x ，试证明，且的某去心邻域内若在 20、 试证明不存在。limcos x x →01 21、 ． ，试证明，时，设当∞=≠→∞→→→)()(lim )0()()(0 0x g x f A A x g x f x x x x 22、 []． ，试证明，，设∞=+→∞→→→)()(lim )()(0 0x g x f A x g x f x x x x 23、 ．是常数），试证明，时，设0) () (lim ()()(0 0=→∞→→→x f x g A A x g x f x x x x 24、 {}0lim 1001=<<≤>∞→+n n n n n n a r r a a a a ，试证明，；满足设有数列 25、 的某去心邻域，使得 试证明：必存在，且，设0,)(lim )(lim 0 x B A B x g A x f x x x x >==→→．在该邻域为)()(x g x f > 26、 第一章 函数与极限 §1 函数 一、是非判断题 1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ] 2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有 B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2 x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题 1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。 （A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是 （A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2 x 4、若)(x f 为奇函数，则 也为奇函数。 (A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=) 1arctan(+x e 2、 y=x x x ++ 3、 y=x ln ln ln 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2=-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 解：原式11)32 (1)31 (lim 3 =++-= ∞→n n n n 上下同除以 。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 经典合同 二元函数极限证明姓名：XXX 日期：XX年X月X日 二元函数极限证明 目录 第一篇：二元函数极限证明 第二篇：二元函数的极限 第三篇：二元函数极限的研究 第四篇：二元函数的极限与连续 第五篇：函数极限的证明 正文 第一篇：二元函数极限证明 二元函数极限证明 设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有 |f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ) 第 2 页共 26 页 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x^2-x的路径趋于 0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 第 3 页共 26 页 函数、极限与连续 复习题 一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x + 3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是 三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→定义证明二重极限_1
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