第2章 相似原理
第2章
2.1 相似的概念
相似的概念在科学研究及工程设计中起着十分重要的作用。目前，在工程技术领域中，一般都能接触到与相似有关的问题，对于具有许多物理量变化的现象，相似是指表述此种现象的所有量，在空间中相对应的各点及在时间上相对应的各瞬间，各自互成一定的比例关系。几何相同同时在其系统的相应点上，其各个物理量以及时间等单值条件的比值各自相同。流动的力学相似包括几何相似、运动相似、动力相似，其中动力相似准则又包括牛顿相似准则、弗劳德准则、雷诺准则、欧拉准则、柯西准则、马赫准则等，上述各数统称为相似准则数。对于蜂窝密封内流动相似，需要满足：几何相似；运动相似；动力相似。
相似条件阐明了模型实验必须解决的下列问题：
（1）应根据单值条件相似和由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型，选择模型中的流动介质；
（2）实验过程中应测定各相似准则数中包含的应该测定的一切物理量，并把它们整理成相似准则数；
（3）用与实验数据拟合的方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程式，该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去，有关物理量可按各自的比例尺进行换算。
2.2相似理论定理
将描述物理现象的微分方程进行相似变换，以得到无因次数群之间的关系式的方法。它与因次分析方法一样是一种指导实验研究的方法，广泛用于航空、航海、水利、建筑等工程学科的实验研究。在化学工程领域里，它主要用于传递过程和单元操作的实验研究，是对这些分支学科的形成和发展起过重要作用的一种化学工程研究方法。
相似的概念起源于几何学中。例如两个三角形的对应角相等，则其对应边长度之比值必相等，这两个三角形称为几何相似。在几何相似的系统中，若各对应点或对应部位上各相应物理量之比值相等，则这些系统为物理相似。
早在1686年I.牛顿就在《自然哲学的数学原理》一书中讨论了流体运动相似的条件，并预见了相似论这一学科的创立。1822年，法国物理学家J.-B.-J.傅里叶在研究热传导时提出了热相似的概念。但他们提出的流体运动相似和热相似，都还只是就个别情况而言的。直到1848年法国J.贝特朗以力学方程式的分析为基础，首次阐明了相似现象的基本性质，提出了相似第一定理，即凡相似的现象，其相似准数的数值相等。
此后，有许多学者将它应用于声学、流体力学、航空动力学的研究，以相似准数的形式来处理实验数据。英国科学家O.雷诺在研究管流的规律时，以雷诺数作为确定流动状态为层流还是湍流的判据即为一例。后来俄国学者Α.费捷尔
曼和美国学者E.白金汉分别导出了相似第二定理。该定理指出：可以用相似准数与同类量比值的函数关系来表示微分方程的积分结果。
1930年苏联科学家M.B.基尔皮契夫和A.A.古赫曼提出的相似第三定理指出：现象相似的充分必要条件是单值条件相似及由单值条件组成的相似准数相等。至此，相似论形成了一门完整的学科。
2.3 流体相似原理
很多流体力学问题单纯依靠理论分析是难以求得解答的，而多数要依靠实验研究来解决。流体力学实验方法之一就是进行模型试验。所谓模型试验就是根据相似原理。将需要进行试验的实际流动区域制作成相似的小比例的模型，根据模型试验结果，推出原型可能发生的现象。相似原理就是进行模型试验的理论基础。各种试验结果的适用范围也得靠相似原理来解决。相似原理也是对流动现象进行理论分析的一个重要手段。
流体力学相似包括以下四个方面。 1.几何相似
几何相似是指模型与其原型形状相同，但尺寸可以不同，而一切对应的线性尺寸成比例，这里的线性尺寸可以是直径、长度及粗糙度等。如用下标p 和m 分别代表原型和模型，则 线性比例常数可表示为m
p l l l K =
面积比例常数可表示为 2l m p A K A A K ==
体积比例常数可表示为 3l m
p V K V V K ==
2.运动相似
运动相似是指对不同的流动现象，在流场中的所有对应点处对应的速度和加速度的方向一致，且比值相等，也就是说，两个运动相似的流动，其流线和流谱是几何相似的。 速度比例常数可表示为 m
p v v v K =
；
由于时间的量纲是v 1
，因此时间比例常数为 v
l m
m p p
m p t K K v l v l t t K =
== 3.动力相似
动力相似即对不同的流动现象，作用在流体上相应位置处的各种力，如重力、压力、粘性力和弹性力等，它们的方向对应相同，且大小的比值相等，也就是说，两个动力相似的流动，作用在流体上相应位置处各力组成的力多边形是几何相似的。
一般地说，作用在流体微元上的力有重力Fg 、压力Pp 、粘性力Fv 、弹性力Fe 和表面张力Ft 。如果流体是作加（减）速运动，则加上惯性力Fi 后，上述各力就会组成一个力多边形，因此Fg+Fp+Fv+Fe+Ft+Fi=0。 当然，在许多实际问题中，上述各力并非同等重要，有时有些力可能不存在或者小得可以忽略不计，例如Fe 和Ft ，见图。如果在满足几何相似及运动相似的两个流动现象中，作用在任何流体微元上的力有Fg 、Fp 、Fv 和Fi 等，于是，如果这些力满足以下条件，则说两个现象是动力相似的。 动力比例常数可表示为：f K =Fgp/Fgm= Fpp/Fpm= Fvp/Fvm= Fip/Fim=… 满足以上相似条件时，两个流动现象（或流场）在力学上就是相似的。这三种相似条件中，几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是则是流动相似的主导因素，而运动相似只是几何相似和动力相似的表征；三者密切相关，缺一不可。
4.初始条件和边界条件的相似
初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。
对于非恒定流，初始条件是必需的；对于恒定流，初始条件则失去了实际意义。
边界条件相似是指两个流动相应边界性质相同，如固体边界上的法线流速都为零；自由液面上压强均等于大气压强等，对于原型和模型都是一样的。
当然，如果把边界条件相似归类于几何相似，对于恒定流动来说，又无需考虑初始条件相似问题，这样流体运动的力学相似就只包括几何相似、运动相似和动力相似三个方面。
2.4 相似准则的推导
相似理论是主要任务，在于揭示满足相似所需的足够条件。因此在研究本课题的蜂窝密封的相似问题时，就需要找出决定相似流动的相似准则。所谓相似准
则，是指表示现象特征的，由一些特殊的物理量所组成的无量纲组合数，它可以由决定该现象的一些方程得到。相似准则有决定性的和非决定性的，决定性的相似准则决定两系统的相似性，而费决定性的相似准则，则是量系统相似的后果。蜂窝密封相似时，满足一定的起始条件和边界条件，并保持决定性的相似准则相等，才能获得流动相似。一般来说经常使用的相似分析的方法有三种：确定物理量法、微分方程分析法、量纲分析法。本文使用量纲分析法，所以重点介绍这种方法。
2.4.1量纲分析法
量纲分析法是建立在代数量纲理论基础上的。它仅需要知道被研究现象所包含的全班参数以及他们的确切量纲，不需要了解更多的物理现象本质，更不需要写出描述现象的微分方程和单值条件。它可以广泛的应用于建立在物理定律基础上的任何问题。由于研究的主要是空气的模拟，用量纲分析来进行模拟就会使问题变得简单一些，而且量纲分析不用知道相似模拟现象的本质，有利于研究应用型问题。
在流体力学中，通常用长度、时间、质量、密度、速度、加速度和力等各种物理量来表述流体运动现象及其运动规律。这些物理量按其性质不同可分为各种类型，量纲是各种类别物理量的标志，是反映物理本质的一种性质，如长度、质量及时间等单位量。可以选择物理实体的一部分作为单位，然后用多少倍于此单位的数来乘以所选的单位，就可以得到该物理实体的定量大小，量纲又称因次，如L 表示长度的量纲，M 表示质量的量纲，T 表示时间的量纲。
2.4.2 π定理
量纲分析方法有两种，一种成为瑞利（Rayleigh ）法，适用于比较简单的问题。另一种称π定理或布金汉（Buckingham ）定理，是一种具有普遍性的方法。这种方法可以把原来较多的变量改写成较少的无量纲变量，从而使问题得到简化。
π定理基本内容是：若某一物理过程包含有n 个物理量，可表示为如下函数关系
()0,2,1=???n x x x f
其中有m 个基本物理量(量纲独立，不能相互导出的物理量)，则该物理过程可由n 个物理量所构成的(n-m)个无量纲组合量所表达的关系式来描述，即 ()0,,21=???-m n F πππ π定理的运用步骤如下。
（1）找出对物理过程有影响的n 个物理量，写成()0,2,1=???n x x x f 的形式，所谓有影响的物理量是指对所研究的物理过程起作用的各种独立因素，对于不可压缩流体的运动，主要包括流体的物理性质、流动边界的几何特征、流体的运动特征等，这当中既有变量，也有常量，如密度、粘度、重力加速度一般都是按常量对待。影响因素列举得是否全面和正确，将直接影响分析的结果。
（2）从n 个物理量中选取m 个相互独立的基本物理量。对于不可压缩流体运动，一般取m=3.设1x ，2x ，3x 为所选的基本物理量，则，
1111dim γβαM T L x = 2222dim γβαM T L x = 3333dim γβαM T L x =
满足1x ，2x ，3x 量纲独立的条件是量纲式中的指数行列式不等于零，即
0 ≠3
332221
11γβαγβαγβα
（3）基本物理量依次与其余量纲组合成（m-n ）个无量纲π项： 3
312114
1c b a x x x x =
π 3
3
22215
2c b a x x x x =
π ?
??
3
333
211---=
-n n n c a a n x x x x
π
（4）根据量纲和谐原理，求出各π项指数i a ，i b ，i c 。 （5）写出描述该物理过程的关系式： ()0,,321=???-n F πππ
这样，就把一个具有n 个物理量的关系式简化成（n-m ）个无量纲π项的表
达式。
2.5 量纲分析法确定蜂窝密封的相似准则数
分析基本流动方程是极为困难的，因此，必须集中注意力将这些方程变成最有效的形式，以便更好的利用可能求解的任何解答。实现这一点的方法是将各方程和边界条件无量纲化，这样不仅使流动参数的数目最少。而且这些参数之间有正确的关系。粘性流动中的参数包含空间、时间和15个流动参数，这15个流动参数分别是：
9个流体特性
σ：流体密度
μ：第一粘性系数 λ：第二粘性系数 k ：热导率 p c ：定压比热
v c ：定容比热
l ：分子平均自由程 β ：热膨胀系数 ζ：表面张力系数 4个参考量
0v ：流体速度 0p ：压力 0T ：温度
L ：特征长度 1个边壁热通量 w q 1个重力加速度 g
这些量的基本量纲都是由基本量纲（质量M 、长度L 、时间T 、温度K ）组成的。 则，由π定理得：
()0,,,,,,,,,,,,,,000=g q L T p v l c c k f w v p ζβλμσ
式中有15个参数，选取σ，0v ，μ，p c 作为基本物理量，则由量纲公式得：
0031dim K T L M -=ρ 01100d i m K T L M v -=
0111dim K T L M --=μ 1220d i m --=K T L M c p 量纲指数行列式
1
220011101100
031------=1≠0
所以上述三个基本物理量的量纲是独立的。 列出15-4=11个无量纲π项
111011d p c b a c v μσλπ= 2
22022d p
c b a c v k
μσπ= 3
3
3
33d p
c b a v
c v c μσπ=
4
44
044d p
c b a c
v l
μσπ=
555055d p c b a c v μσβπ= 6
66066d p
c b a c v μσζ
π= 7
77
070
7d p
c b a c
v p μσπ=
8
88
080
8d p
c b a c
v T μσπ=
9
9
9099d p
c b a c v L
μσπ= 10
101001010d p
c b a w
c v q μσπ=
11
1111
01111d p
c b a c
v g
μσπ=
根据量纲和谐原理，确定各π项的指数 1、对λ列因次关系式： ()()()()
1
1
2
2
1
11
1
11
3
11d c b a K T
L T ML LT ML T ML --------=
由量纲和谐原理得
M ：c a +=1
L ：d c b a 231+-+-= T ：d c b 23---=- K ：d -=-1
联立求解以上四式，得0=a ，0=b ，1=c ，0=d 。则可得 μ
λπ=
1
2、对k 列因次关系式： ()()()()
2
1
2
2
2
11
2
12
3
13d c b a K T
L T ML LT ML K MLT --------=
由量纲和谐原理得
M ：c a +=1
L ：d c b a 231+-+-= T ：d c b 23---=- K ：d -=-1
联立求解以上四式，得0=a ，0=b ，1=c ，1=d 。则可得
Pr 2==
p
c k
μπ 3、对v c 列因次关系式： ()()()()
3
1
2
2
3
11
3
13
3
122d c b a K T
L T ML LT ML K T L --------=
由量纲和谐原理得
M ：c a +=0
L ：d c b a 232+-+-= T ：d c b 22---=- K ：d -=-1
联立求解以上四式，得0=a ，0=b ，0=c ，1=d 。则可得 γ
π13==p v c c
4、对l 列因次关系式： ()()()()
4
1
2
2
4
11
4
14
3
d c b a K T
L T ML LT ML L ------=
由量纲和谐原理得
M ：c a +=0
L ：d c b a 231+-+-= T ：d c b 20---= K ：d -=0
联立求解以上四式，得1-=a ，1-=b ，1=c ，0=d 。则可得 μ
ρμρπl v v l
01
014==
-- 5、对β列因次关系式： ()()()()
5
1
2
2
5
11
5
15
3
1d c b a K T
L T ML LT ML K -------=
由量纲和谐原理得
M ：c a +=0
L ：d c b a 230+-+-= T ：d c b 20---= K ：d -=-1
联立求解以上四式，得05=a ，25-=b ，05=c ，15=d 。则可得
p
p c v c v β
β
π20205==-
6、对ζ列因次关系式： ()()()()
6
1
2
2
6
11
6
16
3
2d c b a K T
L T ML LT ML MT -------=
由量纲和谐原理得
M ：c a +=1
L ：d c b a 230+-+-= T ：d c b 22---=- K ：d -=0
联立求解以上四式，得0=a ，1=b ，1=c ，0=d 。则可得 μ
ζπ06v =
7、对0p 列因次关系式： ()()()()
7
1
2
2
7
11
7
17
3
21d c b a K T
L T ML LT ML T ML --------=
由量纲和谐原理得
M ：c a +=1
L ：d c b a 231+-+-=- T ：d c b 22---=- K ：d -=0
联立求解以上四式，得1-=a ，0=b ，2=c ，0=d 。则可得 2
2
10
7μρμρπp p =
=
- 8、对0T 列因次关系式： ()()()()
8
1
2
2
8
11
8
18
3
d c b a K T
L T ML LT ML K ------=
由量纲和谐原理得
M ：c a +=0
L ：d c b a 230+-+-= T ：d c b 20---= K ：d -=1
联立求解以上四式，得0=a ，2=b ，0=c ，1-=d 。则可得
c p p E v T c c v T 1
20012008===-π
9、对L 列因次关系式： ()()()()
9
1
2
2
9
11
9
19
3d c b a K T
L T ML LT ML L ------=
由量纲和谐原理得
M ：c a +=0
L ：d c b a 231+-+-= T ：d c b 20---= K ：d -=0
联立求解以上四式，得1-=a ，1-=b ，1=c ，0=d 。则可得 Re 01
019===--μ
ρμρπL v v L
10、对w q 列因次关系式： ()()()()
10
1
2
2
10
11
10
110
3
3d c b a K T
L T ML LT ML MLT -------=
由量纲和谐原理得
M ：c a +=1
L ：d c b a 231+-+-= T ：d c b 23---=- K ：d -=0
联立求解以上四式，得0=a ，2=b ，1=c ，0=d 。则可得 μ
π2
010v q w
=
11、对g 列因次关系式： ()()()()
11
1
2
2
11
11
11
111
3
2d c b a K T
L T ML LT ML LT -------=
由量纲和谐原理得
M ：c a +=0
L ：d c b a 231+-+-= T ：d c b 22---=- K ：d -=0
联立求解以上四式，得1=a ，3=b ，1-=c ，0=d 。则可得 30
13011v g
v g
ρμμ
ρπ=
=
- 通过π定理求解，可知，具有热传递的粘性流体流动由11个无量纲参数决定，根据FM 怀特流体相似理论，只考虑四个起主要作用的无量纲参数，即Grashof 数和由π定理求解出的Pr 数、Ec 数和Re 数。而只有在低速运动时，Gr 数是流动中浮力或自由对流效应的度量，所以在这种高速流动中，Pr 数、Ec 数和Re 数对于热传递分析始终是重要的。只有在一些特定的条件下，才需要考虑其它的无量纲参数。它们是：
（1）有壁面热传递时 Nusselt 数 （2）有滑流时 Knudsen 数 比热比
v
p c c
（3）自由表面情况时 Froude 数 Weber 数 空泡数Ca （4）有激波机构和声波衰变时 粘度比
μ
λ 本文研究的是稳定、有粘性，绝热、可压缩流体，在高速气流中，温度变化是不可忽略的，此时起决定作用的是Pr 数和Ec 数，而在任何粘性流体中Re 都是必须考虑的，所以本文关于流体相似的求解，这三个无量纲参数相似必须同时保证。在F M 怀特流体相似理论中，流体的无量纲参数Pr 数近似恒等于1，所以在相似设计中，可以忽略。
2.6 相似设计
要保证两个蜂窝中的流动相似，除了要满足几何相似，运动相似以外，还有保证动力相似，在本文中即Ec 数和Re 数分别相等。本文中模型用下标m 表示，原型用下标p 表示。如果流体相似，则有： m p Re Re = m p Ec Ec =
（1）m p Re Re =
即，
m
m m m p p p p L
v L v μρμρ00= Re 数表示的是流体的惯性力和粘性力只比，粘性流体在受迫运动的情况下，
当Re 数小于第一临界值时，流动呈现层流状态。在层流状态范围内，流体的流动状态与Re 数无关皆彼此相似。这种在一定条件下自行相似的现象称为“自模区” 。Re 数小于第一临界值的范围，成为“第一自模区”。当Re 数大于第一临界值时。流动呈现湍流状态。在湍流状态范围内，随着Re 数的增加，流体的紊乱程度及流速的分布，最初变化较大，但以后影响的程度逐渐减小，而当Re 数大于第二临界值时，这种影响几乎不再存在，流体的流动状态及流速的分布不再变化，皆彼此相似，与Re 数不再有关。流体的流动进入自模状态。Re 数大于第二临界值的范围，称为“第二自模区”。当实物的Re 数处于自模区内时，则模型的Re 数就不必一定与实物的Re 数保持相等，只要与实物处于同一自模区就可以了。当实物的Re 数很大，远大于第二临界值时，模型中的Re 数稍大于第二临界值即可。粘性流体所具有的自模性，给模型实验研究带来很大方便。但是目前尚不能从理论上预先确定进入自模区的Re 数临界值，Re 数临界值只能通过试验加以确定，本文雷诺数第二临界值取510。
在非圆管道流动及明渠水流，可以用Re 数判别流态，并引用一个综合反映断面大小和几何形状对流动影响的特征长度，代替圆管流Re 数中的直径。这个特征长度是水力半径
χ
A
R =
式中，R 为水力半径；A 为过流断面；χ为过流断面上流体与固体边界接触部分的周长，称为湿周。
本文中水力半径
2
2c
D Dc A
R h ==
=ππχ
水力直径
c R D h h ==2 则当量圆管直径
c D D h e 22== 所以Re 数 μ
ρμρc
v D v e 2Re 00==
（2）m p Ec Ec = 即，
m
pm m
p
pp p
T c v T c v 02
0020=
因为()22
1Ma T
c v Ec p -==γ，则上式即为
()()2
211m m p p Ma Ma -=-γγ
而 k R T
v
c v Ma =
= 则上式变为
()()
m
m m m
m p p p p
p T R k v T R k v 2
211-=-γγ