热力学统计物理期末复习试题复习过程

一. 填空题

1. 设一多元复相系有个?相，每相有个k 组元，组元之间不起化学反应。此系统平衡时必同时满足

条件： T T T αβ?===L 、 P P P αβ?

===L 、 (,)i

i i 1,2i k αβ?

μμμ====L L

2. 热力学第三定律的两种表述分别叫做： 能特斯定律 和 绝对零度不能达到定律 。

3.假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成，粒子可能的量子态有4种。则系统可能的微观态数为：10 。

4.均匀系的平衡条件是

T T = 且

P P = ；平衡稳定性条件是

V C > 且()0

T

P

V

?

5玻色分布表为

1a e

αβεω+=

-l

l

l ；费米分布表为

1

a e

αβεω+=

+l

l

l ；玻耳兹曼分布表为

a e αβε

ω--=l

l l 。当满足条件 e 1α

-<< 时，玻色分布和费米分布均过渡到玻耳兹曼分布。

6 热力学系统的四个状态量V P T S 、、、所满足的麦克斯韦关系为

()

()T

V

S

P V T ????=

,()()P

S

V T

S

P ????=

,(

)()T

P

S

V

P

T ????=-, ()

()

V

S

P T

S

V ????=-。

7. 玻耳兹曼系统粒子配分函数用1Z 表示，内能统计表达式为

1

ln Z U N

β

?=-? 广义力统计表达式为

1ln Z N Y y

β?=-

?，熵的统计表达式为1

1ln (ln )Z S Nk Z β

β?=-? ，自由能的统计表达式为

1

ln F NkT Z =- 。

8.单元开系的内能、自由能、焓和吉布斯函数所满足的全微分是： ， ， ， 。 9. 均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程：

dU TdS pdV dn μ=-+ ，dH TdS Vdp dn μ=++ ， dG SdT Vdp dn μ=-++ ，dF SdT pdV dn μ=--+

10. 等温等容条件下系统中发生的自发过程，总是朝着自由能减小方向进行，当自由能减小到极小值

时，系统达到平衡态；处在等温等压条件下的系统中发生的自发过程，总是朝着吉布斯函数减小的方向进行，当吉布斯函数减小到极小值时，系统达到平衡态。

11.对于含N 个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动对热容量 无贡献 ；温度大大于振动特征温度时，

7

2

V C Nk =

；温度小小于转动特征温度时，

32

V C Nk =

。

温度大大于转动特征温度而小小于动特征温度时，5

2

V C Nk =

。

12.玻耳兹曼系统的特点是：系统由全同可分辨粒子组成；粒子运动状态用 量子态 来描写；确定每个粒子的量子态即可确定系统的微观态；粒子所处的状态不受泡利不相容原子的约束。

13 准静态过程是指 过程进行中的每一个中间态均可视为平衡态 的过程；无摩擦准静态过程的特点是 外界对系综的作用力，可用系统的状态参量表示出来。

14.绝热过程是指，系统状态的改变，完全是机械或电磁作用的结果，而没有受到其他任何影响 的过程。在绝热过程中，外界对系统所做的功 与具体的过程 无关，仅由 初终两态 决定。 二．简述题

1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。

一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即0F ?>。 2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。

一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即0G ?>。 3. 写出系统处在平衡态的熵判据。

一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即 0S ?< 4.玻尔兹曼关系与熵的统计解释。

由波耳兹曼关系ln S k =Ωg 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。

5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？ 不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV ，相应的特征温度为

4

5

K 10~10。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平

均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。

6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？

因为双原子分子的振动特征温度3

K θ~10v ，在常温或低温下 kT <

7. 能量均分定理。

对于处在平衡态的经典系统，当系统的温度为T 时，粒子能量ε 的表达式中的每一个独立平方项的平均值为

1kT

2

。 8等概率原理。

对于处在平衡态的孤立系统，系统的各种可能的微观状态出现的概率是相等的。 9．系统的基本热力学函数有哪些？什么叫特性函数？什么叫自然参量。 基本热力学函数有：物态方程 ，内能，熵。

特性函数：适当选择独立变量，只要知道一个热力学函数就可以求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质确定，这个热力学函数称为特性函数。

11试说明，在应用经典理论的能量均分定理求理想气体的热容量时，出现哪些与实验不符的结论或无法解释的问题（至少例举三项）？

12.最大功原理

①系统在等温等容过程中对外所做的功不大于其自由能的减小（-w ≤Fa-Fb ）

②在等温等压条件下，能够从系统获得的最大体变功等于系统吉布斯函数的减小。 13.写出能斯特定理的内容

凝聚态的熵在等温过程中的改变随绝对温度趋于零 14．什么是近独立粒子系统

粒子之间的相互作用力很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用

15．单元复相系达到平衡时所满足的相变平衡条件是什么？如果该平衡条件未能满足，变化将朝着怎样的方向进行？

相变平衡条件：α

β

μμ= 变化方向：（P82）

16．写出吉布斯相律的表达式，并说明各物理量的含义。

F=k+2-? F:多元复相系的自由度，是多元复相系可以独立改变的强度量变量的数目。 k ：系统的组元数

?：系统的相数

17.写玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统的微观态数统计表达式，并说明它们之间的联系。 与分布{}a l 相应的，玻色系统微观状态数为

()()1!

!1!.B E a a ωω+-Ω=-∏

l l l

l l ；费米系统的微观状态

数

()!!!.B E a a ωωΩ=-∏l

l l l ；玻耳兹曼系统微观状态数为!

!

.B E a N a

ω

Ω=∏∏l

l

l

l

l

。当满足条件经典近似条件时，三种微观状态数之间的关系为

1!

.

.

.B E

F D

M

E N Ω

=Ω

=

Ω 。

18. 为什么说，对于一个处在平衡态的孤立系统，可以将粒子的最概然分布视为粒子的平衡态分布？

19．试说明，在应用经典理论的能量均分定理求固体热容量时，出现哪些与实验不符的结论或无法解释的问题？

①．在低温范围内，实验发现固体的热容量随温度降低地很快，当温度趋近绝对零度时，热容量也趋于零②.对于金属的自由电子，如果将能量的均分定理应用于电子，自由电子的热容量与离子振动的热容量将有相同的数量级，实验结果是3k 以上的自由电子的热容量与离子振动的热容量相比可以忽略不计。 三. 选择题

1.系统自某一状态A 开始，分别经两个不同的过程到达终态B 。下面说法正确的是 B （A ）在两个过程中吸收的热量相同时，内能的改变就一定相同 （B ）只有在两个过程中吸热相同且做功也相同时，内能的改变才会相同 （C ）经历的过程不同，内能的改变不可能相同 （D ）上面三种说法都是错误的

2.下列各式中不正确的是 A （A ）,T P H n μ???=

???? （B ）,T V F n μ???= ???? （C ）,S V U n μ???= ???? （D ）,T P

G n μ???

= ????

3.吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是 B

（A ）温度和体积 （B ）温度和压强 （C ）熵和体积 （D ）熵和压强 （D ）孤立的系统

4.费米统计的巨配分函数用Ξ表示，则熵的统计表达式是 C （A ）ln ln ln S N α

βαβ?

??Ξ?Ξ=Ξ-- ????? （B ）ln ln ln S N αβαβ??

?Ξ?Ξ=Ξ-- ?????

（C ）ln ln ln S k αβαβ???Ξ?Ξ=Ξ-- ????? （D ）ln ln ln S k αβαβ??

?Ξ?Ξ=Ξ++ ????

?

5.自由能作为特性函数应选取的独立态参量是 A

（A ）温度和体积 B ）温度和压强 （C ）熵和体积 （D ）熵和压强 6.由热力学基本方程dG SdT Vdp =-+可得麦克斯韦关系 D

（A ）V T p S T V ??????

=

? ?

?????? （B ）p

S T V p S ??????= ? ??????? （C ）S V T p V S ??????=- ? ??????? （D ）p T

V S T p ??????

=- ? ?

?????? 7.将平衡辐射场视为处在平衡态的光子气体系统，下面说法不正确的是 （A ）这是一个玻色系统

（B ）这是一个能量和粒子数守恒的系统 （C ）系统中光子的分布遵从玻色分布 （D ）这是一个非定域系统 8.封闭系统指

C

（A ）与外界无物质和能量交换的系统 （B ）能量守衡的系统

（C ）与外界无物质交换但可能有能量交换的系统

9.下列系统中适合用玻尔兹曼分布规律处理的系统有 B （A ）经典系统

（B ）满足非简并条件的玻色系统和费米系统 （C ）满足弱简并性条件的玻色系统和费米系统 （D ）非定域体系统

10. v θ和r θ分别是双原子分子的振动特征温度和转动特征温度，下面说法正确的是 （A ）v T θ>>时，振动自由度完全“解冻”，但转动自由度仍被“冻结”。 （B ）r T θ>>时，转动自由度完全“解冻”，但振动自由度仍被“冻结” （C ）v T θ>>时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻”。 （D ）r T θ>>时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻”。 11.气体的非简并条件是 D

（A ）分子平均动能远远大于kT （B ）分子平均距离极大于它的尺度 （C ）分子数密度远远小于1

（D ）分子平均距离远大于分子德布罗意波的平均热波长

12.不考虑粒子自旋，在边长L 的正方形区域内运动的二维自由粒子，其中动量的大小处在~p p dp +范围的粒子可能的量子态数为 B

（A ）224L pdp h π （B ）222L pdp h π （C ）22

2L dp h π （D ）22

2L p dp h π

五. 推导与证明

1.试用麦克斯韦关系，导出方程V V

p TdS C dT T dV T ???

=+ ????，假定V C 可视为常量，由此导出理想气体的绝热过程方程1TV C γ-=（常量）。 解：∵V T

S S dS dT dV T V ??????

=+ ? ???????， ∴V V T T

S S S TdS T dT T dV C dT T dV T V V ?????????

=+=+

? ? ?????????? 由麦氏关系T V

S p V T ??????

=

? ?

??????，V V p TdS C dT T dV T ???=+ ???? 绝热过程0dS =，理想气体nR p T V =

，V p nR T V

???

= ???? 0V

dT dV

C nR T V

+=积分得ln ln V C T nR V C'+=（常量） ∵/p V C C γ=，(1)p V V nR C C C γ=-=- 故：1ln TV C'γ-=，即：1TV C γ-=（常量） 2. 证明: ()

,,T P T n V P n μ???

?= ????? 证明：选T, V 为独立变量，则

dG SdT Vdp dn μ=-++Q

()

()

()

,,,,,

T p

T n

T n T p

G

G n

p

n p

μμ??????

∴==???????? 而

(),T n

G V p ?=?， 故

()

()

,,T p

T n

V

p

n

μ

??=??

3.证明焓态方程：p T

H V V T p T ??????

=-

? ???????。 证：选T 、p 作为状态参量时，有

p T H H dH dT dp T p ??????=+ ? ??????? （1） p T

S S dS dT dp T p ??????

=+ ? ?

??????（2） 而， dH TdS Vdp =+ （3） （2）代入（3）得： p T S S dH T dT V T dp T p ????????

=++?? ?

????????

? （4） 比较（1）、（4）得：p p

H S T T T ??????=

? ??????? （5） T T

H S V T V p ??????

=+ ? ???????（6） 将麦氏关系p T

S V p T ??????

=-

? ???????代入（6）

，即得 T p

H V V T V T ??????

=- ? ???????

4.导出含有N 个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式：

33

21

N U N e βωωω=+-h h h ，

()

2

/2/31E E T

E V T e C Nk T e θθθ??= ???- 解：按爱因斯坦假设，将N 个原子的运动视为3N 个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：(1/2)(0,1,2)n n εω=+=h L

则，振子的配分函数为：/2

(1/2)

/2

10

()1n n

n n e Z e

e

e

e βωβωβωβωβω

-∞

∞

-+---====?=

-∑∑h h h h h ∵11

ln ln(1)2

Z e βωβω-=-

--h h ∴1ln 333332121

Z N e N U N N N e e βωβωβω

ωω

ωωβ--?=-=+=+?--h h h h h h h 2

22

13(1)V V V U U e C Nk T kT kT e βωβωωβ????????

==-= ? ? ???-??????h h h

引入爱因斯坦特征温度E θ：E k ωθ=h ，即得：()

2

/2/31

E E T

E V T e C Nk T e θθθ??= ???- 5. 导出爱因斯坦固体的熵表达式：(

)

311

ln S Nk e

e

βω

βω

βω-??

=--??-??

h h h 解：设固体系统含有N 个原子，按爱因斯坦假设，将N 个原子的运动视为3N 个线性谐振子的振动，

且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：

0,1,21(),(,)2

n n εω=+=h L

则，振子的配分函数为：

112

()

2

10

1n n e e

e βωβωβω

-∞

-+-=Z ==

-∑h h h

1111(1),

2

21

ln ln ln e e βωβω

ωβωωβ-?Z Z =---=--?-h h h h h

113()3[(1)]1

ln ln ln S Nk Nk e e βω

βωβωβ

β-?Z ∴=Z -=--?-h h h 6.证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，能量在ε~εd ε+的范围内，可能的量子态数为

()1/21/2(2)m L

D d h

d εεεε-=

。 证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积元x dxdp 内的可能

的量子态数为

x

dxdp h

。 因此，在长度L 内，动量大小在~p p dp +范围内粒子的可能的量子态数为

2L dp h

而，2

12p m ε=

，dp ε= 故，在长度L 内，能量在~εd ε+范围内，可能的量子态数为

()1/21/2(2)m L

D d h

d εεεε-=

。 7. 证明:① P

S S V P T ??? ????=??? ???? ② 0>??? ????U

V S

①证明：

dH TdS VdP =+Q ， 由全微分条件得：

()

()S

P

T V P S ????= ②证明： 由

dU TdS PdV =-， 令 0dU = 得：

()

U

S P V T

??=

0,0P T >>Q ()

0U

S

V ?∴

>?

8.导出普朗克黑体辐射公式。

解：在体积V 内，动量在p ~p+dp 范围的光子的量子态数为

238V p dp h

π 因为，光子气体是玻色系统遵从玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上平均光子数为

/1

1

kT f e ω=

-h

又 =

=p c

c

εωh

所以，在体积V 内，圆频率在~+d ωωω范围内的光子的量子态数为

3

2

23

323

()8V V D d d d h c c

πωωωωωωπ=?=?h

在此范围内的光子数为 2

23/()1

kT V N d f D d d c e ωωωωωωωπ=?=?-h 故，在此范围内的辐射能量为：

3

23/(,)1kT

V U T d N d d c e ωωωωωωωωπ=?=?-h h h

9.对于给定系统，若已知 v p R =T v -b ??? ????，()3

p 2a v -b T T =v v -b

Rv ???

- ????，求此系统的物态方程。 解：设物态方程为(,)p p T v =，则

v T

p p dp dT dv T v ??????

=+ ? ??????? （1）

∵1v p T

p T V T v p ?????????=-

? ? ?????????? ∴T v p

p p T v T v ?????????=- ? ? ?????????? （2） 将v p R =T v -b ???

????和()3

p 2a v -b T T =v v -b

Rv ???

- ????代入（2）得 ()()233

T v p 2a v -b p p T R T 2a RT v T v v -b v -b Rv v

v -b ???????????

=-=--=-?? ? ? ???????????? （3） 将v p R =T v -b ???

?

???和（3）代入（1）得 ()

22

23R RT 2a RT a RT a dp dT dv dv d d d v -b v v -b v v -b v v -b ??=

-+=-=- ??? 积分得： 2RT a p v -b v =

-，即：()2a p v -b RT v ?

?+= ??

?

11.已知气体系统通常满足经典极限条件且粒子动量和能量准连续变化，采用量子统计方法导出单原子分子理想气体的内能。

解：气体系统遵从玻耳兹曼分布，粒子配分函数为

1l

s

l l

s

Z e

e

βεβεω--==∑∑（对所有量子态s 求和）

当粒子能量准连续变化时，上述对量子态求和可用μ空间积分替代。因为，在6维μ空间中，~d x x x +，~d y y y +，~d z z z +，~d x x x p p p +，~d y y y p p p +，~d z z z p p p +范围内的粒子，其可能的量子

态数为

3

1d d d d d d x y z x y z p p p h

且，粒子的能量为：2221=

()

x

y z

p p p 2m ε++。所以 222

2

3

()

1331d d d d d d d x y z x p p p p 2m

2m x y z V Z e

x y z p p p e x h h ββ-

++-∞-∞??

==???????K

即

3/2

132V m Z h πβ??= ???， 而 12323ln ln ln ln 22m Z V h πββ??=+- ???

由内能的统计表达式 1ln Z U N β?=-?，得： 33

22

N U NkT β=-=- 12. 证明: P V V P

P V C C T T T ??????-= ? ??????? 证：P V P V S S C C T T T T ??????

-=-

? ???????

（1）

∵ (,)(,(,))S T p S T V T p =

P V T P

S S S V T T V T ????????????

=+ ? ? ? ????????????? （2） （2）代入（1）

P V V P

S V C C T V T ??????

-= ? ??????? （3）

将麦氏关系：T V S P V T ??????

=

? ?

??????

代入（3）得 P V V P

P V C C T T T ??????

-= ? ???????

13. 证明，理想气体的摩尔自由能为： 证明：选T, V 为独立变量，则

()

()

,V V V

V

c p

p du c dT T

p dv ds dT dv T

T T

????=+-=

+??

??

理想气体的物态方程为：pv RT =

()

V

p

R T

v

?∴

=? ， V du c dT =，V

c dv ds dT R T v =+ 故: 0V u c dT u =+?

，00ln V

c s dT R v s T =

++? 00ln v v c

u Ts c dT T dT RT v u Ts T

f =-=--+-∴??

14.证明，对于二维自由粒子，在面积2

L 内，能量在ε~εd ε+范围内，可能的量子态数为

()2

2

2mL D d d h

πεεε=。 证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于二维自由粒子，在相空间体积元x y dxdydp dp 内的可能的量子态数为

2

x y

dxdydp dp h 。

因此，在面积2

L 内，动量大小在~p p dp +范围内粒子的可能的量子态数为

2

2

2L pdp h π 而，2

12p m

ε=

，pdp md ε= 故，在面积2

L 内，能量在ε~εd ε+范围内，可能的量子态数为

()2

2

2mL D d d h

πεεε=。

说明：上面给出的是往届出现过的考题，仅作为复习参考和题型示例（另外还有判断题未列出）。实际考试难度和内容与这些题类似，（注意是类似没说是相同！）。对于推到证明题给出解题示例，为的是规范解题步骤，答卷时一定要按照示例一步步求解，否则会扣分的。简答题一定要回答完整（参照笔记）。