线性代数第一章到五章(答案)
第一章 行列式
一 填空题
1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为 （n-1）！
2.行列式
1
2
n λλλ=
(1)
2
12(1)
n n n λλλ--
3. 行列式11121314222324
333444
00
a a a a a a a a a a 的值11223344
a a a a
4.在n 阶行列式A =|ij a |中,若j i <时, ij a =0(j i ,=1,2,…,n),则A =1122nn
a a a
解: A 其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=10
6. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为10
7. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为 -a 12a 21a 33a 44 . 解：四阶行列式中包含a 12和a 21的项只有-a 12a 21a 33a 44和a 12a 21a 43a 34
8.在函数x
x x
x x x f 2
1
1
12)(---=中,3x 的系数为 -2 解: 行列式展开式中只有对角线展开项为3x 项.
9. 行 列 式x
x x x x 2213212
113215 含 4x 的项
410x
解：含4x 的 项 应 为4443322111025x x x x x a a a a =???=.
10. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a = 0
解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变
11. =5
6789012011400
10
3
0200
1000 120 .
解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式
12.行列式c
c
b b
a a ------1111111的值是 1 。
解c
c
b b
a a
------1111111=
10
11111a b b c
c
----=101
111a b c
c
--=1010101a
b
c =1
13. 行 列 式
2100001210000021000012000001210
1
2
-------- 的 值是 27 。
解D =-------21122100
1200
0121
0012
=?
--?
--32
11221
12
==3273
14.行列式n
222223222
2222
2
2
1
的值是 （-2）（n-2）！ 。
解：将第二列乘以（-1）分别加到其余各列得到1
2000
2000
2
1
00202n --
，然后再将第二
行乘以（-1）分别加到其余各行的到对角矩阵1
0000
2000
1
0002
n --
=（-2）（n-2）！
15.方程02
21
32
13
2
1)(22=+-=x x x D 的解为2,2,1,14321-==-==x x x x 。 解：()D x =-2（x 2-2）（x 2-1）=0
16. 多项式nn
n n
a x a x a x a x x f ++++=
1111)(的次数最多是 n 次。
解：利用行列式性质5
17. 设A 是一个)2(>n n 阶行列式，且已知0≠=a A 。将A 的每一列都减去其余各列，所得的行列式记作B ，则B ＝ a 。
18. 设A 为n 阶方阵，将A 的第一行与第二行交换，得方阵B ，则B A + = 0 ，
B A - =
2A
，B A + = 0 ，B A -= 0 。
19.=1
110110110110
111 -3
解:应用化三角形法:
=
1110110110110111=--11
10101011
000111=---11
00101011100111.33
00
21001
110011
1
-=-
20．
=--+---+---1
11111111
1111111x x x x .4x
解: 先把各列累加到第一列再用化三角形法:
=
--+---+---1111111111111111
x x x x =-----+---1
1
11111
11111x x x x x
x x 1
11111111
1111111-----+---x x x x
=-----x
x
x x
x x x 0
00001
111.0
01
11
42x x
x x =-- 21．=
1
111 (110111)
1101
11110 1(1)(1)n n ---
解: 把各列累加到第一列再用化三角形法:
=0
1111 (1101111101)
11110 =-0
1
11
1
..........
(1101)
111101
11111)1( n =----1
0000
..........
(001000)
01011111)1( n ).1()1(1---n n
22. 已知2
4132
01x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A 4 .
解：12A =12
1(1)4
2x +-=0得x=2，21A =2102
(1)2
x
+-=4 23. 行列式1
21
1
2
10
000
00
00
k k k k k k k n n n
n
---= i n i n k 1
1
)1(=+∏-
解：行列式按第一列展开得（-1）n+1n
k 1
21
00
00
n k k k - =i n i n k 1
1
)1(=+∏-
24. 设α
γββαγγ
βα=D ， γβα,,是方程03=++q px x 的三个根，则=D 0 。
25. 在多项式1
1
11
11
1
11
1111)(23
------=x x x x P 中，x 的一次项的系数为 4-
解：x 的系数为13A =
111
111111
----=-4 26. 设行列式,2
2
3
5
00702
222
0403--=
D 则第四行各元素余子式之和的值为 -28 . 解: 设第四行各元素对应余子式分别为,,,,4321A A A A 则它们对应的代数余子式之和为
=+++4321A A A A 281
112220
43)1(71
111
0702
222
40351-=---?-=---=
D
27．=
---------a
a
a a
a a a a a 110
11000
110
00
11
000123451a a a a a -+-+-
解: 按第一行展开,得递推关系式,并依次展开即得.
==++--=+-= 323345])1)[(1()1(aD aD D a a aD D a D .15432a a a a a -+-+-
28．
=a
b
b a b a b a 0
00
000 (000)
000 1(1)n n n a b ++-
解: 应用降阶法:按第一列展开,
原式=+a b a a b a a 00000..........................
00000 =-?+b
a
a b a
b b n 00
......
(00)
00
0000)1(1.)1(1n n n b a +-+
29 α
β
βαβ
α
β
α
00
00.
0
00
=
n D =
22
(1)2
2
(1)
(1)
n n n n n
n αβ-+--+-
解：应用行列式展开定理,按第一行展开,降阶得
000 0
00)1(0
00
00.
(00)
00
00)1(1
β
βα
β
β
αβα
ββαβ
α
αα
+-+-=n n n D
n n n n n ββα
βαβαα
α2)
2)(1(1
2)1()1(0 (00)
000)1(--+--+-=
n n n n n n n
βα
α2
)1(2
2
)
2)(1(2
)
1()
1()1(-----+--=
n n n n n n βα2
)1(2
2)
1()
1(2-+--+-=
30.n
n x b
b
b
b
a a x
b b
a a a x b
a a a a x D
........
(321)
== 1
1
1
1
1()[()]
n n n j
i j j i i j
x
a a x a --===≠-+-∏∏∏
解.利用拆行列式法,a a x x n n +-=)(,所以
a
b
b
b
b
a a x
b b a a
a x
b a a a a x a
x b
b
b
b
a
x b b
a a
x b a a a x D n n
........
................................................000321321+-= ∏-=---+-=------+
-=1
11332211)()(0000........
0
000
00
0)(n j j n n n n n b x a D a x a
b b b
b
b x b x x a b x x a b x D a x (1)
同样,由b
a ,对称性得
∏-=--+-=1
1
1)()(n j j n n n a x b D b x D
(2)
当b a ≠时,上两式联立解方程组得 b
a a x
b b x a D n j j n j j n ----=
∏∏-=-=1
1
11
)
()(
若b a =,由(1)递推得 ∏∏∏-≠==-=-+-=1
1
1
11
)]([)(n j
i i i n
j n j j n a x a a x D
二 选择题
1.
1
2
21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）。
（A ）1-≠k ； (B) 3≠k ； (C) 1-≠k 且3≠k ； (D) 1-≠k 或3≠k 。 解：（k-1）2-4≠0
2.01
1102
1
2
=-k k
的充分条件是（ B ）。
（A ）2=k ； （B ）2-=k ； （C ）0=k ； （D ）3-=k 。 解：k 2*1-2*2*1+1*（-2-k ）=0 3.下列（ C ）是偶排列。
（A ）4312； (B) 51432； (C) 45312； (D) 654321
4.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为(D ). （A ）- （B ）+ （C ）n )1(- （D ）1)1(--n 解：234…n1的逆序数为n-1
5.已知n 阶行列式A = 0
...
1
00 (10)
1...1...1,12221
1,11211--n n a a a a a a
， 则A =（ D ）。 （A ）1； (B) －1； (C) 1)1(--n ； (D) 2
)1()
1(--n n 。
6. 方程
088144122
111113
2
=--x x x
的根为（ B ）. （A ）1，2，3; （B ）1，2，-2; （C ）0，1，2; （D ）1，-1，2.
7.如果033
32
31
232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，23
22
21
3332311312111222222222a a a a a a a a a D =，那么=1D （ D ）。
（A ）2M ； (B) －2M ； (C) 8M ； (D) －8M 。 解：行列式性质2，3
8.如果133
32
31
232221131211==a a a a a a a a a D ，=1D 33
32
3131
2322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a ---，那么=1D （ B ）。
（A ）8； （B ）－12； （C ）24； （D ）－24。 解：行列式性质2，5
9.下列)2(>n n 阶行列式中，值必为零的有（ D ）。 （A ）行列式主对角线上的元素全为零； (B)行列式次对角线上的元素全为零；
(C)行列式零元素的个数多于n 个； (D)行列式中各行元素之和为零。 解：行列式性质6
10.03
47534453542333322212223212=---------------x x x x x x x x x x x x x x x x 的根的个数为( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
解对行列式进行列变换: 3
7
342223310
1221
012347534453542333322212223212----------=
---------------x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 观察可见: 以上为x 的二次多项式,故选B.
11. 112233
44
00(
)0
00
a b a b D D
b a b a =
=
A.43214321b b b b a a a a -
B. 43214321b b b b a a a a +
C.))((43432121b b a a b b a a --
D. ))((41413232b b a a b b a a -- 解: 将行列式依第一行展开:
3
3224
13
3224
143
32214
3
32
210
00a b b a b b a b b a a a b a b b a b a a b b a a D -=-=
))((41413232b b a a b b a a --= 12. 如果
122
21
1211=a a a a ，则下列（B ）是方程组???=+-=+-0
22221211
212111b x a x a b x a x a 的解 （A ）22
21211a b a b x =，2
211112b a b a x =
； （B ）22
2
1211a b a b x -=，2
21
1112b a b a x =
；
（C ）22
2
1211a b a b x ----=
，2
21
1112b a b a x --=
；
(D) 22
2
1211a b a b x -----
=，2
21
1112b a b a x -----
=。
解：克拉默法则
13. 已知齐次线性方程组??
?
??=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则（ A ）.
（A ）0≠λ且1≠λ; （B ）0=λ或1=λ; （C ）0=λ; （D ）1=λ.
解：方程组仅有零解1
1
3100
1λ
λ
λ
?-≠- 14.已知方程组??
?
??=+-=-+=++c z y x b z y x a
z y x 有唯一解,且1=x ,那么=--111111c b a （ D ）.
（A ）0; （B ）1; （C ）-4; （D ）4.
解：x=
111
1
11
1111
1
111
1
a b
c ----=1
15.如果21kx y z x ky z k x y kz k ++=??
++=??++=?
有唯一解，则对k 的要求是（ C ）。
（A ）2,1≠≠k k (B)2,1≠-≠k k (C) 2,1-≠≠k k (D)2,1≠=k k 。
解：方程组有唯一解11
11011k k k
?≠
16.当（ A ）时，??
?
??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx
仅有零解。
（A ）2≠k ； (B) 1-≠k ； (C) 0≠k ； (D) 2-≠k
解：方程组仅有零解012
1021
k
k
k
?≠-
17.已知A =1
11111111
111101-------x ，则A 中x 的一次项系数是（ D ）。
(A) -1； (B) 1； (C) 22； (D) －22。
解：A 中x 的一次项系数是1+3131
1
1A =(-1)11111
1
----=-4
18.已知x 的一次多项式1
1111111
1111111)(------=x x f ，则0)(=x f 的根为（ B ）
（A ）0； (B) －3； (C) －2； (D) －1。
第二章 矩阵及其运算(参考答案)
一．判断题（正确打√，错误打×）
1．设A,B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，则T B AB 为对称矩阵 （√） 解：()()T
T
T T T T T B AB B A B B AB ==
2．若20A =，则0A = （×）
解：令0100A ??
=????
3．若2A A =，则0A =或A E = （×）
解：令1100A ??
=??
??
4．若AX AY =，且 0A ≠，则X Y = （×）
解：令1000A ??
=??
?? 5．若A,B,C,D 均为方阵，则
A B
A B C
D
C D = （×） 解：取1001A B C D ??
==-== ???
6．*A A =的充分必要条件是1-=A A A ．（ ×） 解：当0A ≠时成立。 7．3223??B A 不可逆．（ ×）
解： ()322333()A B AB ???=，当330AB ?≠时可逆。
8．如果E AB =，则1
-=A B ．（ √）
9．B A ,为n 阶非零矩阵，若,O AB =则0==B A ．（ × ） 解：（反例）当,0A E B ==时，,
O AB =1,0A B ==
10．设A 、B 为两个不可逆的同阶方阵，则 A B = （ √ ）
解：0==B A
11．设A 、B 为方阵，若AB=0，则A 、B 之中必有一个是零矩阵. （ × ）
解：令0100A ??
=?
???
12．若A 可逆，则A 的伴随矩阵A*也可逆，且 *11*()()A A --=. （ √ ）
解：
*1111*1()()()A A A A A
A A A A E A
-----====
二．单项选择题
1．若A 为n 阶可逆矩阵(0k ≠)，则下列结论不正确的是（ D ）． （A ）1
1)()(--=k
k
A A ； （
B ）T
k
k
T
A A )
()(=；
（C ）k k A A )()(**=； （D ）*
*=kA kA )(． 解：*111111*()()n n n kA kA kA k A k A k A A k A ------==== 2．B A ,均为三阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ A ）． （A ）1
1
1)(---=B
A
AB ； （B ）A A =-；
（C ）B A B A B A +-=-22； （D ）A A 22=． 解：2222,(1),()*()n n A A A A A B AB BA A B A B =-=---+=+-
3．设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 是伴随矩阵，???
? ??=B O O A C ，则=*
C （C ）． （A ） ???
?
?
?**
B B O
O A A ； （B ） ????
??**
A A O O
B B ； （
C ） ???
?
?
?**
B A O
O A B ； （D ） ???
? ?
?**A B O O B A ． 解：
**,AA A E BB B E
==*
*
*
**B A E
O A O B A O B AA O C C C E O A B E O B O
A B O A BB ??????
??==== ? ? ? ? ? ?????
?
??? 4.有矩阵,,,333223???C B A 下列（ C ）运算可行。
（A ）AC ； (B) CB ； (C)ABC ； (D) BC AB -； 5.如果已知矩阵),(,n m B A m n n m ≠??则下列（ B ）的运算结果为m 阶矩阵。
（A ）BA ； (B) AB ； (C) T BA )(； (D) T T B A
6. 设E C B A ,,,均为n 阶矩阵，其中E 为单位阵，若E ABC =，则下列各式中总是成立的是（ A ）。 (A) E BCA =； (B)E ACB =； (C) E BAC =； (D) E CBA =； 解：令111A BC AA A A BCA E ---=?===
7若A 是（ D ），则A 可能不是方阵。
(A) 对称矩阵； （B ）可逆矩阵；
(C) n 阶矩阵的转置矩阵； （D ）线性方程组的系数矩阵；
解：与线性方程组的构成有关（如：由3个变量2个方程构成的方程组的系数矩阵就不是方阵）。 8. 若A 是（ D ），则必有A A T = 。
（A ）行列式为零的矩阵； （B ）三角形矩阵； （C ）可逆矩阵； (D) 对称矩阵； 9. B A ,为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有 （ C ）
（A ）O B O A ==或 (B) O B A =+； (C) 00==B A 或； (D) 0=-B A ；
解：令0100A B ??==????排除选项AB ，令：0010,0001A B ????
==????????排除选项D 10. 设n 阶行列式A =0，则（ C ）。
（A ）A 中必有两行（列）的元素对应成比例；
(B) A 中至少有一行（列）的元素全为零；
(C) A 中必有一行（列）是其余各行（列）的线性组合； （D ） A 中必有任意（列）是其余各行（列）的线性组合。 11. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列（ C ）恒正确。
(A) T n T A A 2)2(=； (B) 112)2(--=A A ；
(C) [][]
1
11
1)()(----=T
T
A A ； (D) [][]T
T
T A
A 111
)
()(---=；
解：(2)22T T T T A A A ==
12. 当 bc ad ≠ 时，则1
-???
? ??d c b a =（ B ）
。 （A ）???
? ??--a b c d ； (B)bc ad -1???? ??--a c b d ； （C ）
ad
bc -1
???
? ??--a c b d
； (D) bc ad -1???
? ??--a b c d ； 13. 设A 为三阶矩阵，a A =，则伴随矩阵*A 的行列式*A =（ B ）。
(A) a ； (B) 2a ； (C) 3a ； (D) 4a ； 解：1
1
*11n
n
n A A A A A A A
A
----====
14. 当A =（ B ）时，A =11121321
222331
32
33
a a a a a a a a a =1131
1232
1333
21222331
32
33
333a a a a a a a a a a a a ---
（A ）???
?
? ??-103010001； (B)
???
??
??-100010301； (C ) ???
??
??-101010300； (D) ????
?
??-130010001。 15.设矩阵C =n m ij c ?)(，矩阵A ，B 满足CB AC =，则A 与B 分别是（ D ）阶矩阵。
(A ) m n ?、n m ?； (B) n m ?、n n ?；
(C) m n ?、m m ?； (D) m m ?、n n ?。
16.设A =???? ??4221 ，B =???
?
??y x 11，当x 与y 之间具有关系（ C ）时，则有BA AB =。
(A) y x =2； (B) x y =2； (C) 23+=x y ； (D)1-=x y ；
解： 利用矩阵的乘法21222424241224x y x x AB BA x y y y ++++????=== ? ?++++????
17.设A =???
?
? ??nn n n a a a a 1111，记M ij 是ij a 的余子式（n j i ,,2,1, =），则在A 的伴随阵*A 中位于第i 行、
第j 列上的元素是（ B ）。
(A) ij j i M +-)1(； (B) ji j i M +-)1(； (C) ij j i a +-)1(； (D) ji j i a +-)1(；
18.设A =?
???
? ??nn n n a a a a 1111，B =???
??
??nn n n A A A A 1111，其中A ij 是ij a 的代数余子式，则（C ）。
(A)*B A =； (B)*A B =； (C)*)(T =A B ； (D)T =A B 。
三．填空题
1．若???? ??=4321A ，?
??
? ??=0110P ，那么=2004
2003AP P ???? ??2143 解：2
320032004
010*******,1010011012P P P AP PA ??????????===?== ??? ? ? ???????????
2．B A ,为三阶矩阵，1-=A ，2=B ，则()2
12T A B -= 2
解：
()
()
()()()
2
2
2
2
113
13
1
1
3
1
1
3
22
2
2
22T
T
T
T
T T A B
A B A B A B A B
A B
A
B -------=====
3．已知53)(2
+-=x x x f ，???
? ??=b a A 00，则=)(A f ???? ??+-+-5300
5322b b a a 4．若C B A ,,均为n 阶矩阵，且E CA BC AB ===，则=++2
2
2C B A E C B A 6)(2-++．
5. 设A 为3阶方阵，2-=A ,把A 按行分块，记作????? ??=321αααA ，则行列式???
?
?
??-121332αααα的值等于
6 。
解：3133322221111233336ααααααααααααα-????????
? ? ? ?
==== ? ? ? ? ? ? ? ?
????????
6．设B A ,均为n 阶矩阵，2=A ，3B =，则=---1
*
*
1
B
A B A 1
1(1)6n n +??
- ?
??
解：()()
1
1
1
1
1
1**1
1
*
*
1
1()(1)6n n
A B A B
BA
BA A B A B
BA
B
A
E +--------??
-=-=-=- ???
7.设方阵A 满足O E A A A =-+-2323，则=-1A )3(2
12
E A A +- =--1)(A E E A 32+ 解：2(3)2A A A E E -+=，()()23A E E A E +-=
8. 设三阶方阵A 满足BA A BA A +=-61，且?????
??
?
?
?=714
13
1A ，则=B ???
?
? ??123 解：()()
1
111366621A BA A BA A E B E B A E ----??
?=+?-=?=-= ? ???
9. 设????
? ??=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，则
=-1
*）（A ???????
?
??215
210
3051
5
100101. 解：
1
*1
11()A A A A A ----==（）
10．21 230,n A A A E A -++==若 阶矩阵 满足方程 则 23
A E
+-
11. ()312321?? ? ? ???=___10______ ()321231?? ? ? ???=___369246123?? ?
? ???
___
解：矩阵的乘法。
12．已知1101A -??=????，2112B ??=??-??，则(A+B)(A-B) = 3641--????-?? 22
A B -＝2642--????
??
13. 已知500031021A ??
??=??????，则1
A -＝1
050
11023??????-????
-???
? 解：111
1100531115001121230
023B B A B ----??
?
?-??????=?=?==-
? ? ? ?-??????
?- ???
14.设100020001A ?? ?
=- ? ?
??
，*28A BA BA E =-,其中：A,B 均为三阶方阵，则200040002B ??
?=- ? ???
解：20A =-≠，故方程可化简为：（A+E ）B=4E
则：12004()040002B A E -??
?
=+=- ? ???
15.设34
0043
00002000
2
2A ??
?
-
?= ?
???，则 8A ＝1610，4A ＝4
446
450
000500002000
22?? ?
? ? ? ??
?
解：令1
200
A A A ??=
???，44
14
200A A A ??= ???，2125025025A E ??== ???
，44
15A E = 210211A ??= ???，44210241A ??= ???
，4A =4
446
450000500002000
22??
? ? ? ? ???
8
8
888161225*410A A A ===
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（答案）
一， 填空题
1，=)(A R 1 2,T k )1,,1,1( 3,0提示，因2)(=A R 故A 中所有3阶子式全为零，故其
伴随矩阵所有元素全为零 4,T
X )0,0,1( = 5,???
?
?
??100100
200020001 6,n 7，r 8,???
?
? ??100001000001 9， ????
?
??000031005010 10，)()(B R A R ≥ 提示：设r B R =)( ，且B 的某个r 阶子式0≠r D .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得到的，所以在A 中能找到与r D 相同的r
阶子式r D ，由于0≠=r r D D ，故而)()(B R A R ≥.
11,2 提示：化为行阶梯形矩阵 12, ???????
?
??-=?
?????
? ??1343344321k x x x x ,提示：系数矩阵化为行最简形 13， ????
??
? ??=??????? ??00004321x x x x 14，无解，对系数的增广矩阵施行行变换因3)(,2)(==B R A R 故方程组无解 15，(1) 01
1
11
1
1≠λ
λ
λ
,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.
(2)
由
得 时,方程组无解.
(3)
,由
,
得
时,方程组有无穷多个解.
16, 解
方程组有解，须得
当时,方程组解为
当时,方程组解为
17,解
当,即且时，有唯一解.
当且，即时，无解.
当且，即时，有无穷多解. 此时，增广矩阵为
原方程组的解为()
18,
19,21r r +,提示做初等变换
20, n 提示 02))(2(2=-+=+-A A E A E A E ，n A E R A E R ≤++-∴)()2(
又,3)()2(E A E A E =++- n A E R A E R ≥++-∴)()2( 21, r,提示证明AX ＝0与0=AX A T 同解即可
二， 选择题
1，C 提示：B A ~则)()(B R A R = 2, B
3，C ，提示考虑矩阵方程组0=xQ ，t ＝6时，因)(Q R ＝1，故其基础解系的秩为2，因P 为非零矩阵，故2)(1≤≤P R ，6≠t 时，)(Q R ＝2，故其基础解系的秩为1，故1)(=P R
4，C 提示：矩阵方程AX ＝B ，有解C ，故r B A R A R ==);()(，因C 可逆，矩阵方程BX ＝A 有解1-C ，故1);()(r A B R B R ==，故1r r =
5，B 提示矩阵方程AX ＝0，BX ＝0都有非零解，故n A R <)(，n B R <)( 6，C 7，C 8，B 9,D 提示基础解系的秩为n －m 10，A 11，B 12 A 提示：方程组AB ＝0有非零解，0=A
13，B 提示：{})(),(min )(B R A R AB R ≤，而n B R n A R ≤≤)(,)(，故AB 为降秩矩阵 14，C
第四章 向量组的线性相关性
一、选择题
1 C
2 B
3 B
4 C
5 C
6 D
7 D
8 A
9 C 10 B 11 A 12 B 13 D 14 C 15 C 16 C 17 C 18 A 19 A 20 D 二、填空题
1 、 R b a ∈≠,1 1,1-≠=b a 1,1-==b a 2、 3
531,,ααα
线性代数第五章(答案)
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
线性代数第二章答案
第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=321332123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z
所以有?????+--=+-=++-=3 21332123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
线性代数1-5章习题教学文稿
线性代数1-5章习题
线 性 代 数 习 题 集 皖西学院金数学院编制
第一章 行 列 式 一、判断题 1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( 1 ) 2. 213 210 124121012342 =-.( 2 ) 3. 134 34 121.42 042 =- ( 1) 4. 1 23213 1 232 131 2 3 213.a a a b b b b b b a a a c c c c c c =( 1 ) 5. 1 23123 1 231 231 2 3 1 2 3 .a a a a a a b b b b b b c c c c c c ---------=---( 1 ) 6. n 阶行列式n D 中元素ij a 的代数余子式ij A 为1n -阶行列式. ( 1 ) 7. 312 143 245328836256 =.( 2 ) 8. 11 12 13 2122 23313233a a a a a a a a a 122r r + 11 1213 21112212 231331 32 33 222+++a a a a a a a a a a a a ( 2 ) 9．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( 1 ) 10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. (1 ) 二、选择题 1．若12532453r s a a a a a 是5阶行列式中带正号的一项，则,r s 的值为（ B ）． A.1,1r s == B.1,4r s == C.4,1r s == D.4,4r s ==
同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，
a b+
21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
线性代数第二章矩阵试题及答案
第二章矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。 两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2 A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严 格单调递增。 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类 计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。 请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零 行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算 （1）加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n 矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵, 记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0 c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质 （1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量 和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
线性代数习题参考答案
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c
线性代数课后习题答案(陈维新)
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。
线性代数第五章答案
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
线性代数习题[第一章]行列式
习题1—1 全排列及行列式的定义 1． 计算三阶行列式123 4 56789 。 2． 写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。 3． 利用行列式的定义计算下列行列式： ⑴0 004003002001 0004 D
⑵0 0000000052 51 42413231 2524232221 151********a a a a a a a a a a a a a a a a D = ⑶0 10000 200 0010Λ ΛΛΛΛΛΛn n D n -= 4． 利用行列式的定义计算210111()0211 1 1 x x x f x x x -= 中34 , x x 的系数。
习题1—2 行列式的性质 1． 计算下列各行列式的值： ⑴ 2141 012112025 62 - ⑵ef cf bf de cd bd ae ac ab --- ⑶ 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
2． 在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛ2 1 222 2111211 = 中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij Λ=-=， 证明：当n 是奇数时，D=0. 3． 计算下列n 阶行列式的值： ⑴x a a a x a a a x D n Λ ΛΛΛΛ= ⑵n n a a a D +++= 11 1 11111121 Λ ΛΛΛΛ()120n a a a ≠L
线性代数第五章作业参考答案(唐明)
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
线性代数第一章行列式试题及答案
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j τ -即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a τ - ∑ ……… a n1 a n2…a nn
线性代数第二章答案
第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 21332123 2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??22 1321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133 2123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=32 1161109412316z z z
所以有?????+--=+-=++-=3 2133 2123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374?? ? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)
最新东北大学线性代数课件第一章_行列式
东北大学线性代数课件第一章_行列式
第一章 行列式 教学基本要求： 1. 1. 了解行列式的定义. 2. 掌握行列式的性质和计算行列式的方法. 3. 会计算简单的n 阶行列式. 4. 了解Cramer 法则. 一、行列式的定义 1. 定义 nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211称为n 阶行列式，记作D (或n D 或||ij n a )，它是n 2个数 (1,2, ,;1,2, ,)ij a i n j n ==的一个运算结果： 11 12121222111112121112 n n n n n n nn a a a a a a D a A a A a A a a a = =+++，(1.1) 其中，(1,2,,;1,2,,)ij a i n j n ==为行列式位于第i 行且第j 列的元素， 111(1)j j j A M +=-(1,2,,)j n =，而1j M 为划掉行列式第1行和第j 列的全部元素后余下的元素组成的1n -阶行列式，即 21 212122231 21 311 11 j j n j j n j n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a -+-+-+= 1j M 称为元素1j a 的余子式，1j A 称为元素1 j a 的代数余子式. 2. 基本行列式： (1)一阶行列式 a a =||. 例如，|106|106=， 2121-=-.
1112112212212122 a a a a a a a a =-. 112233122331132132a a a a a a a a a ++ 132231122133112332a a a a a a a a a ---. (4)三角形行列式 ①对角行列式 11 1122 nn nn a a a a a =. ②下三角行列式 11 1122 1nn n nn a a a a a a =. ③上三角行列式 11 11122 n nn nn a a a a a a =. ④ 1(1)2 121 11 (1) n n n n n n n a a a a a --=-. ⑤ 1(1)2 121 11(1) n n n n n n n nn a a a a a a --=-. ⑥ 11 1(1)2 121 11 (1) n n n n n n n a a a a a a --=-. 3. 行列式的性质 nn n n n n a a a a a a a a a D 2122221 11211 = ，nn n n n n T a a a a a a a a a D 212 2212 12111= 性质1.1 D D T =. (1.2)
线性代数习题集(带答案)
第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1
7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1
线性代数第二章习题答案
习 题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序． 解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵???? ??-=???? ?? +-=2521 ,03231 z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。 习 题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）2 2B A -． 解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ； （2）???? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ； （3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-． 解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 21 323B -A ??? ? ? ??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963 3．设??? ? ? ??----=????? ??=101012121234,432112 122121B A ，求
线性代数第二章矩阵(答案解析)
线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第一节 矩阵及其运算 一．选择题 1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2 1 ,0,0,21( =C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）0 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题： 1．? ?? ? ??---=???? ??--+???? ??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32??? ?? ??--56125252781314 3．=????? ??????? ??-127075321134???? ? ??49635 4．=????? ? ? ??---???? ??-20413121013 143110412???? ? ?---6520876 三、计算题： 设???? ? ? ?--=11 1111 111 A ，4
??? ? ? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T ;2294201722213 2222222222092650850311111111 1215042 132111111111 1323???? ? ??----=???? ? ? ?---????? ??-=?? ??? ??---????? ? ?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111 1???? ? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T T ，则对称，由 线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第二节 逆 矩 阵 一．选择题 1．设* A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1 -* =A A A （B ）1 -* =n A A （C ）* * =A A n λλ)( （D ）0)(=* *A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ） A A λλ= （ B ）A A λλ= （ C ）A A n λλ= （ D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]