2021年大连市数学竞赛试题B卷

)12n

+

+++1

sin

二、（本题8分）计算极限

3

sin sin(sin) lim

x

x x

x

→

-

．

三、（本题8分）已知

2

1

lim()0

1

x

x

ax b

x

→∞

+

-+=

+

，求常数a和b．

考生注意：考试时间150 分钟试卷总分100 分共三大页第1页

四、（本题10分）设函数()

f x有二阶连续导数，()4

fπ=，0

(()())sin d5

f x f x x x

π

''

+=

?，求(0)

f．

五、（本题10分）求函数

2

2

()(4)d

x t

f x t e t

-

=-

?的极值点，并指出是极大值点还是极小值点．

六、（本题10分）求由曲线2lim

1nx n x y x e →+∞=++，2

x

y =

及1x =围成的

平面图形的面积．

七、（本题8分）设函数()f x 满足关系2()(())f x x f x '''=-，且(0)0f '=．

证明：点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点．

共三大页 第 2 页

八、（本题8分）设函数()f x 在[0,)+∞上可导，且(0)0f =，

()f x '单调增加．证明：

()

f x x

在(0,)+∞上单调增加．

九、（本题8分）设(1)sin d n n n x

a x x

ππ

+=?

，n 为正整数，证明： （1）1n n a a +<； （2）lim 0n n a →+∞

=． ．

共三大页 第 3页