因式分解的一般步骤
因式分解的一般步骤：○1看能否提公因式，能提则提；○2看是几项式，若是二项式，则考虑用平方差公式，立方和或者立方差公式；若是三项式，则考虑用完全平方公式或者十字相乘法；若是三项以上，则用分组分解法；○3对于某些多项式，不能直接因式分解，要考虑先作适当变形，再因式分解；
例一、（1）在下列各式中：○1()()x y y x +-22；○2()()x y y x --22；○
3()()y x y x 22+--；○
4()()y x x y 22+-，符合平方差公式的是__________ （2）下列各式中，形如222b ab a +±的多项式有___________
○1412+-x x ； ○222b ab a ++； ○314
11612++x x ； ○42242025y xy x +-； ○514
1
224+-y x y x ； ○6ab b a 4422-+ 例三、运用乘法公式计算：
（1）()()
()y y y 2114122++-； （2）99×101×10001； （3）12009200720082
+?；
（4）()()z y x z y x ++-+； （5）
()22c b a +-
例四、把下列各式分解因式：
（1）xy y x
123622+--； （2）()()222516y x y x --+；
（3）
()()2521022++-+x x ； （4）()()142-+-+b a b a
例六、选择适当的方法对下列各式因式分解：
（1）3223y xy y x x
--+； （2）22865y xy x --； （3）822--x x ；
（4）2532-+x x ； （5）2229y xy x -+-
（6）4222-++y xy x ；
（7）322--x x ； （8）()()4422-+++x x x ；
（9）()()2224m n n m m ---； （10）22484y y x x -+- （11） 2732+-x x
（12）214327x x +- （13）225112x xy y ++
第九讲 因式分解 (添拆项与最值)
第八讲 因式分解（添拆项与最值） 知识点回顾： 1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。 2、因式分解的方法： （1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式： ()()b a b a b a -+=-2 2 ； 完全平方公式：222b ab a ++=()2 b a +和)(b a b ab a -= +-2 222 （3）十字相乘法：对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使, ,a b p a b q +=???=? 则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++． 注：若q 为正，则a ，b 同号；若q 为负，则a ，b 异号； 立方和差公式： 典型例题： 例1（1）计算 29982 +2998×4+4= 。 （2）若442 -+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是________。 例2：分解因式： 2 2 288a axy a y x -+ 4a 2(x -y )+9b 2(y -x ) 例3：已知a –b = 1 ，252 2 =+b a 求ab 和a+b 的值。 例4 代数式2x 2+4x+5有最 值，是 ；﹣x 2 +3x 有最 值，是 例 5 题目：分解因式：x 2﹣120x +3456． 分析：由于常数项数值较大，则常采用将 x 2﹣120x 变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行． （1）x 2﹣140x +4875 （2）4x 2﹣4x ﹣575． 三、强化训练： 1、已知x +y =6，xy =4，则x 2 y +xy 2 的值为 . 2、分解因式： (2a -b )2-(a +b )2 -3ma 3+6ma 2-3ma a 2(m -n )+b 2 (n -m ) 4416n m - （8）4224817216b b a a +- 4、已知：a=2999，b=2995，求65522 2 -+-+-b a b ab a 的值。 5、利用因式分解计算 ?? ? ??-??? ??-??? ??-??? ??-??? ?? -2222211......511411311211n 6、已知a 为任意整数，且()2 2 13a a -+的值总可以被n 整除(n 为自然数，且n 不等于1)，则n 的值为 。 7、已知x(x-1)-(y x -2 )=-2, xy y x -+2 2 2的值。 8、把下列各式分解因式： （1）4x 3﹣31x +15； （2）2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2﹣a 4﹣b 4﹣c 4； （3）x 5+x +1； （4）x 3+5x 2+3x ﹣9；
因式分解法(提公因式法、公式法)
因式分解法(提公因式 法、公式法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是 正的，并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公 因式，这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【典例分析】 例1.分解下列因式： （1）2 2321084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+
因式分解基础练习
因式分解基础练习公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
2 2y 2-xy -x 3因式分解练习题 （一）选择题 1、下列各式的变形中，是因式分解的为（ ） A 、bx ax b a x -=-)( B 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- C 、)1)(1(12-+=-x x x D 、c b a x c bx ax ++=++)( 2、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ） A 、46-b B 、64b - C 、46+b D 、46--b 3、下列各式是完全平方式的是（ ） A 、41 2+-x x B 、21x + C 、1++xy x D 、122-+x x 4、把)2()2(2a m a m -+-分解因式是（ ） A 、 ))(2(2m m a +- B 、 ))(2(2m m a -- C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1) 5、下列多项式中，含有因式)1(+y 的是（ ） A 、2232x xy y -- B 、22)1()1(--+y y C 、)1()1(22--+y y D 、1)1(2)1(2++++y y 6、分解因式14-x 得（ ） A 、)1)(1(22-+x x B 、22)1()1(-+x x C 、)1)(1)(1(2++-x x x D 、3)1)(1(+-x x 7、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b 8、c b a 、、是△ABC 的三边且bc ac ab c b a ++=++222，则△ABC 的形状是 （ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等边三角形 （二）分解因式（每题10分，共60分） (1) 2m(a-b)-3n(b-a) （2）
因式分解分类练习经典全面
因式分解练习题(提取公因式) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
活用配方法分解因式
活用配方法分解因式 陈怀东 配方法是数学中极其重要的一个方法。在代数式中，利用添项的方法，给原多项式配上适当的部分，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法。 配方法的难点是配方，要求学生必须熟练掌握公式2 22b ab a +±，判断什么是：“a ”或“b ”，或“ab ”，怎样从ab a 22、这两项去找出“b ”，或“从22b a 、这两项去找出ab 2”，或“从ab 2去找出2a 和2 b ”。同学们要熟练掌握这些基本方法，从而做到心中有数，配方有路可循。 应用配方法分解因式，常能将多项式配成2 2N M -的形式并应用开方差公式分解。 例1 分解因式8612942 2+++-b a b a 分析 第一、三项，第二、四项分别结合后再配以恰当的常数分别构成完全平方公式，进而两者又构成一平方差，因此拆常数项198-=即可。 解：原式)169()9124(2 2 +--++=b b a a ) 432)(232()13()32(2 2+-++=--+=b a b a b a 例2 分解因式4 2 2 4 n n m m ++ 分析 此式中各项均为平方式，可采用添项法将式中某一部分配方，构造平方差公式。 解：原式2 2 4 2 2 4 )2(n m n n m m -++= 2 2 22 )()(mn n m -+= ))((2 2 2 2 mn n m mn n m -+++= 例3 分解因式 )2)(2()(22+--+-n m mn t n m t 分析 将多项式中前两项t n m t )(22 +-进行配方，添上2 2 )()(n m n m +-+即可分组分解。 解：原式)2)(2()()()(22 2 2 +--+-+++-=n m mn n m n m t n m t ]4)(2)[()]([2 2 2 2 mn n m mn n m n m n m t --+++-+-= ) 2)(2() ()(] )()(2)[()(2 2 222mn m t mn n t mn n m n m t mn mn n m n m n m t --+-=+----=+?-+----= 例4 分解因式 42224)()()(b a b a b a -+-++ 分析：此题中只含b a +和b a -两个式子，可分别运用和差换元后再考虑配方。 解：设t b a s b a =-=+，，则 原式2242244224 )2(t s t t s s t t s s -++=++= )] )(()())][()(()()[() )(()()(222222222 222b a b a b a b a b a b a b a b a st t s st t s st t s -+--++-++-++=-+++=-+= )3)(3(2 2 2 2 b a b a ++=
因式分解一_提取公因式法和公式法_超经典
因式分解（一） ——提取公因式与运用公式法 【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解； （2）因式分解与整式的区别； （3）提公因式与公式法的技巧。 【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的， 并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式， 这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中的公因式： (1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式 。 (2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x －y)，2xy(y －x) 的公因式 。
因式分解基础习题
因式分解 提公因式法 提公因式法常用的变形：a －b ＝－(b －a)， (a －b)n ＝??? (b －a)n (n 为偶数)－(b －a)n (n 为奇数). 例1： (1)ma+mb (2)4kx －8ky (3)5y 3+20y 2 (4)a 2b －2ab 2+ab 同步练习 (1)2a －4b; (2)ax 2+ax －4a; (3)3ab 2－3a 2b; (4)2x 3+2x 2－6x; (5)7x 2+7x+14; (6)－12a 2b+24ab 2; (7)xy －x 2y 2－x 3y 3; (8)27x 3+9x 2y.
例2： (1)a(x－3)+2b(x－3)；(2)4(x+y)3-6(x+y)2同步练习 (1)x(a+b)+y(a+b) (2)3a(x－y)－(x－y) (3)6(p+q)2－12(q+p) (4)8(a-b)4+12(a-b)5 例3： (1)2－a=__________(a－2); (2)y－x=__________(x－y); (3)b+a=__________(a+b); (4)(b－a)2=__________(a－b)2; 同步练习 (1)a(x－y)+b(y－x)； (2)6(m－n)3－12(n－m)2. (4)2(y－x)2+3(x－y) (5)mn(m－n)－m(n－m)2
(6)1.5(x－y)3+10(y－x)2
平方差公式法平方差公式：a2－b2=(a+b)(a-b) 例1：把下列各式分解因式： (1)x2－16； (2)9 m 2－4n2；(3)9a2－ 1 4 b2. 同步练习 (1)a2b2－m2 (2)25－16x2; (3)a2－81 (4)36－x2 (5)1－16b2 (6)m 2－9n2 (7)0.25q2－121p2 (8)169x2－4y2
一元二次方程配方法-公式法-因式分解法
一元二次方程的根 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解． 例1：下面哪些数是方程0121022 =++x x 的根？ —4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 复习 ()222 2b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 根据公式完成下面的练习： (1)()2 2____________8-→+-x x x (2)()2 2 ______3______129+→++x x x (3)()2 2____________+→++x px x (4) ()2 2 ____________6+→++x x x (5)()2 2____________5-→+-x x x (6) ()2 2 ____________9-→+-x x x 例2：解方程：2963=++x x 2532 =-x x 解：由已知，得：()232 =+x 解：方程两边同时除以3，得3 2352 =- x x 直接开平方，得：23±=+x 配方，得2 2 2 65326535??? ??+=?? ? ??+-x x 即23=+x ，23-=+x 即 3649652 =??? ? ? -x ，6765±=-x ，6765±=x 所以，方程的两根231+ -=x ，232--=x 所以，方程的两根267651=+= x ，3 167652-=-=x 像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。 练一练： (1)982=+x x (2)015122 =-+x x (3)044 12 =--x x (4) 03832=-+x x (5)08922 =+-x x (6) ()x x 822 =+
因式分解经典题与解析
2013组卷 1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中，运用了_________的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3； （3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5． 2．请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2） 人们为了纪念菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照菲?热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab． 3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________． A、提取公因式B．平方差公式 C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底_________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数围）的整数值a，并且将其进行因式分解． 5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．
《公式法因式分解》教学设计
《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解
（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2
因式分解基础测试题含答案
因式分解基础测试题含答案 一、选择题 1．下列分解因式正确的是（ ） A ．24(4)x x x x -+=-+ B ．2()x xy x x x y ++=+ C ．2()()()x x y y y x x y -+-=- D ．244(2)(2)x x x x -+=+- 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底． 【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()2 1x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2 x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确； D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底． 2．下列各式中，由等式的左边到右边的变形是因式分解的是( ) A ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－9 B ．x 2＋x －5＝(x －2)(x ＋3)＋1 C ．a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b) D ．x 2＋1＝x 1()x x + 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A 、是整式的乘法，故A 错误； B 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误； C 、把一个多项式转化成了几个整式积的形式，故C 正确； D 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误； 故选：C ． 【点睛】 本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 3．下列各式分解因式正确的是（ ） A ．22()()()(1)a b a b a b a b +-+=++- B ．236(36)x xy x x x y --=-
青岛版九年级数学上册用因式分解法解一元二次方程练习题
4.4 用因式分解法解一元二次方程 一、填空题 1.如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________. 2.方程x 2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程___________或 ___________，分别解得：x 1=_________,x 2=_________. 3.填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程 解：3x(x+5)__________=0 (x+5)(__________)=0 x+5=__________或__________=0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 4.用因式分解法解一元二次方程的关键是 （1）通过移项，将方程右边化为零 （2）将方程左边分解成两个__________次因式之积 （3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程 （4）分别解这两个__________，求得方程的解 5.x 2－(p+q)x ≠qp=0因式分解为____________. 6.用因式分解法解方程9=x 2－2x+1 (1)移项得__________； （2）方程左边化为两个平方差，右边为零得__________； （3）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________； （4）分别解这两个一次方程得x 1=__________,x 2=__________. 二、选择题 1.方程x 2－x=0的根为 A.x=0 B.x=1 C.x 1=0,x 2=1 D.x 1=0,x 2=－1 2.方程x(x －1)=2的两根为 A.x 1=0,x 2=1 B.x 1=0,x 2=－1 C.x 1=1,x 2=－2 D.x 1=－1,x 2=2 3.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是 A.(2x －2)(3x －4)=0 ∴2－2x=0或3x －4=0 B.(x+3)(x －1)=1 ∴x+3=0或x －1=1 C.(x －2)(x －3)=2×3 ∴x －2=2或x －3=3 D.x(x+2)=0 ∴x+2=0 4.方程ax(x －b)+(b －x)=0的根是 A.x 1=b,x 2=a B.x 1=b,x 2=a 1 C.x 1=a,x 2=b 1 D.x 1=a 2,x 2=b 2 5.已知a 2－5ab+6b 2=0，则a b b a 等于 21331D.2 31 321C.2 31B.3 21A.2或或
公式法因式分解知识点讲解及练习
公式法因式分解知识点讲解及练习 1．平 方 差公式： )b a )(b a (b a 22-+=- 因式分解 22)b a )(b a (b a -=-+ 整式乘法 2、分解因式的一般步骤为： （1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式。 （2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式。 （3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止。 3、分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分 解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目 的。例如：22a b a b -+-= 22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 4、原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 5、有些多项式用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。 题型一 公式法因式分解 例 1将下列各式因式分解 225-36x 22916b a - 点评：：能用平方差公式因式分解的多项式的特征：（1）有且只有两个平方项： （2）两个平方项异号。 知识梳理
巩 固1、计算 （1）22758258- （2）22429171- （3）223.59 2.54?-? 2、已知0001.03,100003=-=+b a b a ，求229a b -的值。 3、把多项式()()2 249b a b a --+分解因式 * 平方差公式中字母b a 、不仅可以表示数，而且也可以表示其他代数式。 例2判断下列各式是不是完全平方式 （1） 222y xy x ++ （2）2244y xy x ++ （3）226b ab a +- （5）222y x xy ++- （6）2242b ab a ++ （4） 412++x x
因式分解基础练习(1)
提公因式法 提公因式法常用的变形：a －b ＝－(b －a)， (a －b)n ＝??? (b －a)n (n 为偶数)－(b －a)n (n 为奇数). 例1：【基础题型】 （1）ma+mb （2）4kx －8ky （3）5y 3+20y 2 （4）a 2b －2ab 2+ab 【巩固练习】 （1）2a －4b ; （2）ax 2+ax －4a ; （3）3ab 2－3a 2b ; （4）2x 3+2x 2－6x ; （5）7x 2+7x +14; （6）－12a 2b +24ab 2; （7）xy －x 2y 2－x 3y 3; （8）27x 3+9x 2y . 例2：【培优题型一】 （1）a （x －3）+2b （x －3）； （2）4(x+y)3-6(x+y)2 【巩固练习】： （1）x （a+b ）+y （a+b ） （2）3a （x －y ）－（x －y ） （3）6（p+q ）2－12（q+p ） （4）8(a-b)4+12(a-b)5 例3：【培优题型二】 （1）2－a =__________（a －2）; （2）y －x =__________（x －y ）; （3）b +a =__________（a +b ）; （4）（b －a ）2=__________（a －b ）2; 【巩固练习】： （1）a （x －y ）+b （y －x ）； （2）6(m －n)3－12(n －m)2. （3）a （m －2）+b （2－m ） （4）2（y －x ）2+3（x －y ） （5）mn （m －n ）－m （n －m ）2 （6）1.5（x －y ）3+10（y －x ）2 （7）m （m －n ）（p －q ）－n （n －m ）（p －q ） （8）（b －a ）2+a （a －b ）+b （b －a ）
配方法因式分解
配方法因式分解集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
§2.3运用配方法的因式分解法 【学习目标】 1. 理解掌握运用配方法进行因式分解； 2. 能根据具体情况灵活运用各种方法进行因式分 解。 【重点、难点】 1. 配方法的运用方法； 2. 根据具体情况灵活选择方法进行因式分解 【新课引入】 1. 把下列各多项式因式分解： 1）962-+x x ；2）2842--x x 小结：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法。 说明：配方法的关键是将二次三项式变形为：A 2—B 2 的形式，然后要平方差公式继续分解。 【例题选讲】 例1. 把下列各多项式因式分解： 1）12366+--x y x ；2）422497y y x x +-；★3） ab b ax x 2222+--
例2.把下列各多项式因式分解： 1）362025422--+ab b a ；2）16)5(6)5(222--+-x x x x 说明：把一个多项式因式分解的基本步骤： 1） 如果多项式各项有公因式，那么先提取公 因式； 2） 如果多项式各项没有公因式，那么可以尝 试运用公式来分解； 3） 如果上述两种方法不能分解，那么可以尝 试分组或十字相乘法或配方法来分解； 4） 分解因式时，必须进行到每一个多项式因 式都不能再分解为止。 【巩固练习】 把下列各多项式因式分解： 1）18724--x x ；2）22484n mn mx x -+- 【小结】 把一个多项式因式分解的基本方法： 提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法和配方法 【课后练习】
因式分解与配方法练习题
分解因式 1、1522--x x ； 2、2 265y xy x +-． 3、3522--x x ； 4、3832-+x x ． 5、91024+-x x ； 6、 22157x x ++ 7、 2384a a -+ 8、2 61110y y -- 9、2252310a b ab +- 10、222231710a b abxy x y -+ 11、 22 712x xy y -+ 12、 42718x x +- 13、 22483m mn n ++ 14、532 51520x x y xy -- 15、672+-x x ； 16、1232-+x x ； 17、652-+x x ； 18、9542--x x ； 19、823152+-x x ； 20、121124-+x x 21、6724+-x x ； 22、36524--x x ； 23、4 22416654y y x x +-； 24、633687b b a a --； 25、234456a a a --； 26、2224)3(x x --； 27、9)2(2 2--x x ； 28、 2222)332()123(++-++x x x x 29、60)(17)(222++-+x x x x ； 30、8)2(7)2(2 22-+-+x x x x ； 31、48)2(14)2(2++-+b a b a ． 32、 2576x x +-)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；
33、120)8(22)8(222++++a a a a ． 34、90)242)(32(2 2+-+-+x x x x ． 35、653856234++-+x x x x ． 36、655222-+-+-y x y xy x 37、 a 2－7a+6； 38、8x 2+6x －35； 39、18x 2－21x+5； 40、 20－9y －20y 2； 41、2x 2+3x+1； 42、2y 2+y －6； 43、6x 2－13x+6； 44、3a 2－7a －6； 45、6x 2－11x+3； 46、4m 2+8m+3； 47、10x 2－21x+2； 48、8m 2－22m+15； 49、4n 2+4n －15； 50、6a 2+a －35； 51、5x 2－8x －13； 52、4x 2+15x+9； 53、15x 2+x －2； 54、6y 2+19y+10； 55、7(x －1) 2+4(x －1)－20； 56、．=-+1032x x __________． 57．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 58．=--3522 x x (x －3)(__________)． 59．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 60．22____)(____(_____)+=++a m n a ． 61．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．
45.3.2因式分解公式法(第1课时)
14．3．2公式法导学案（第1课时） 备课时间： 主备：张洪波 高永爱 审核：高永爱 使用时间： 【学习目标】 1.运用平方差公式分解因式，能说出平方差公式的特点. 2.会用提公因式法与平方差公式法分解因式． 3.会两次运用平方差公式分解因式，知道因式分解必须进行到不能分解为止. 【学习重难点】 学习重点:用平方差公式法进行因式分解. 学习难点:把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式分解因式 【自主学习】 1、对于等式x 2+x = x (x+1)： 1) 如果从左到右看，是一种什么变形？ 2) 什么叫因式分解？这种因式分解的方法叫什么？ 3) 如果从右到左看，是一种什么变形？ 4) 因式分解和整式乘法是两种互为_______的变形. 【合作探究】 探究一： 1.计算：（1）（x-1）(x+1)=_________;(2)(y+4)(y-4)=_______ 2.根据1题的结果分解因式：（1）21_____x -=;(2)216________y -= 3.你能将22a b -进行因式分解吗？你是如何思考的？ 分析：要将22a b -进行因式分解，可以发现它_________公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的 ____________ 形式，所以用平方差公式可以写成如下 形式：
结论：多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法。 拓展延伸： 1．把一个单项式写成平方的形式： （1）24a =（ ）2；（2）40.16a =（ ）2；（3）221.21a b =（ ）2； 例1：分解因式：（１）；249x -； （２）22()()x p x q +-+ （３）．22221.1b b a - 结论：（1）中的_______（2）中的________和（３）中的________相当于平方差公式中的a ；（1）中的______（2）中的_________和（３）中的__________相当于平方差公式中的b ，这说明公式中的a 和b 可以表示一个数，也可以表示一个单项式，或是多项式，只要符合公式的特点( )()22-，就可以运用公式分解因式． 总结平方差公式的特点： ①左边是二项式，每项都是 的形式，两项的符号 . ②右边是两个多项式的 ，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 . 例2：因式分解：（1）44x y - ； （2）3a b ab -； 【尝试应用】 1．口答：①24x -=_________ ②29t -= ③21649____m -= ④2254______x -+= 2．因式分解： （1）22125 a b -； （2）2294a b -； （3）24x y y -；
配方法因式分解
配方法因式分解(总2页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
3 §2.3运用配方法的因式分解法 【学习目标】 1. 理解掌握运用配方法进行因式分解； 2. 能根据具体情况灵活运用各种方法进行因式分解。 【重点、难点】 1. 配方法的运用方法； 2. 根据具体情况灵活选择方法进行因式分解 【新课引入】 1. 把下列各多项式因式分解： 1）962-+x x ； 2）2842 --x x 小结：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法。 说明：配方法的关键是将二次三项式变形为：A 2—B 2的形式，然后要平方差公式继续分解。 【例题选讲】 例1. 把下列各多项式因式分解： 1）12366+--x y x ； 2）422497y y x x +-； ★3）ab b ax x 2222+-- 例2. 把下列各多项式因式分解： 1）362025422--+ab b a ； 2）16)5(6)5(2 22--+-x x x x 说明：把一个多项式因式分解的基本步骤： 1） 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； 2） 如果多项式各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； 3） 如果上述两种方法不能分解，那么可以尝试分组或十字相乘法或配方法来分解； 4） 分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 【巩固练习】
4 把下列各多项式因式分解： 1）18724--x x ； 2）2 2484n mn mx x -+- 【小结】 把一个多项式因式分解的基本方法： 提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法和配方法 【课后练习】 把下列各多项式因式分解： 1）y xy x x 621552-+-； 2 ） 432234ab b a b a b a --+； 3）142222---+xy y x y x
因式分解—公式法
14.3.2 公式法(平方差公式) 授课时间： 教学目标： 1．知识与技能：会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力。 2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性。 3．情感、态度与价值观： 培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值。 教学重点：掌握平方差公式的特点及运用平方差公式进行因式分解的方法。 教学难点：提取公因式与平方差公式结合进行因式分解的思路和方法。 教学过程： (一) 复习提问： 1. 讲评上节课作业，复习用提取公因式法分解因式。 2. 计算：（1）))((b a b a -+； （2）)3)(3(-+a a ； （3）)35)(35(y x y x -+； （4）)43 1)(431(n m n m +-。 （设计意图：通过以上练习，复习用平方差公式进行整式的乘法计算，进一步引导学生理解整式的乘法与因式分解的关系） （二）讲解新课： 我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用这种关系，可以得到因式分解的方法，如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做运用公式法，今天我们学习公式中的一种。 板书“平方差公式”。 把乘法公式22))((b a b a b a -=-+，反过来，就得到))((22b a b a b a -+=-， 这就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 公式特征：二项式、差的形式、两项分别是平方数或平方式，符合此特征的二项式可用平方差公式进行因式分解，分解为这两个底数的和与这两个底数的差的积。解题的关键在于找出这两项的底数，相当于公式中的a 、b 。 如：把22925y x -进行因式分解，因为22)5(25x x =，22)3(9y y =，底数分别为x 5、y 3，则22925y x -分解为)35)(35(y x y x -+。 下面我们举例说明，如何利用平方差公式分解因式：