小学数学 容斥原理之重叠问题(二).教师版

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；

2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进

来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A 类、

B 类与

C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类

的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

教学目标

知识要点

7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）

1．先包含——A B +

重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；

2．再排除——A B A B +-I

把多加了1次的重叠部分A B I 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，

大圆表示C 的元素的个数．

1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I 重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．

模块一、三量重叠问题

【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报

纸，其中甲报30份，乙报34份，丙报40份，那么既订乙报又订丙报的有___________户。

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，1试

【解析】 总共有（30＋34＋40）÷2＝52户居民，订丙和乙的有52－30＝22户。

【答案】22户

【例 2】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共

有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄

两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么

这个班共有多少人？

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答

C

B A

【解析】 如图，用A 圆表示手中有红旗的，B 圆表示手中有黄旗的，C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有

红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：342618943++-++-（）（） 6250?=(人)．

【答案】50人

【巩固】 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4

人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人．根据包含排除法，

4226171994=++-++（）（既爱打篮球又爱打排球的人数0+），得到既爱打篮球又爱打排球的人数为：49427-=(人)．

【答案】7人

【例 3】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，

参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数

的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小

组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A ，参加语文小组的学生组成集合B ，参加文艺小组的学生组成集

合G ．三者都参加的学生有z 人．有A B C U U =46，A =24，B =20，C =3.5，A C I =7A B C I I ，B C I =2A B C I I ，A B I =10． 因为A B C A B C A B A C B C A B C =++---+U U I I I I I ，

所以46=24+20+7x -10-2x -2x +x ，解得x =3，

即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有3?7=21人．

【答案】21人

例题精讲

【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35

人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，

参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，

语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答

C 语文

B 美术

A 自然 【解析】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A ，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人

组成集合C ．

A =25，

B =35，

C =27，B C I =12，A B I =8，A C I =9， A B C I I =4.

A B C U U =A B C A B A C B C A B C ++---+I I I I I .

所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即

这个班有62人．

【答案】62人

【巩固】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，

参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛

的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛

的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人

加起来，共是425533130++=人．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋

和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人

被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：

130********-+++=（）(人)．

或者根据学过的公式：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ，参加棋类比赛的总

人数为：42553318109598++---+=(人)．

【答案】98人

【例 4】 新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍

于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参

加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没

有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】西城实验

【解析】 设只参加合唱的有x 人，那么只参加跳舞的人数为3x ，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳

舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为501040-=人，即

340x x +=，得10x =，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加

三种节目的人比只参加合唱的人少7人”，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中“同时

参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：401010317---=人．

【答案】17人

【巩固】 六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育的55人，爱

好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育

和文艺的17人．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 只是A 类和B 类的元素个数，有别于容斥原理Ⅱ中的既是A 类又是B 类的元数个数．依题意，画图

如下．设只爱好科学和文艺两项的有x 人．由容斥原理，列方程得

55565117154151515100x ++-+-+-++=（）（）（）

即555651174152100

++----?=

x

-=

111100

x

x=只爱好体育的有：551715419

---=(人)．

11

【答案】11人只爱好科学和文艺，19人只爱好体育。

【例 5】在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士

蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：

⑴三种都带了的有几人？

⑵只带了一种的有几个？

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答

A

B

C

【解析】如图，用A圆表示带汉堡的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人．

⑴根据包含排除法，总人数=（带汉堡的人数+带鸡腿的人数+带芝士蛋糕的人数-

）（带汉堡、鸡腿的人数+带汉堡、芝士蛋糕的人数+带鸡腿、芝士蛋糕的人数+

）三种都带了的人数，即（）（）三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10100

-=(人)．-++-+++

10664321

⑵求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数，即103214

（）(人)．只带了一种

-++=

的有4人．

【答案】（1）0人，（2）4人

【巩固】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答

【解析】略

【答案】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数=(要可乐的人数+要雪碧的人数+要橙汁的人数)-(要可乐、雪碧的人数+要可乐、橙汁的人数+要雪碧、橙汁的人数)+三种都要的人数，即至少要了一种饮料的人数为：55532219

-=(人)，所以其中有1人这三种

++-+++=

（）（）(人)．1091

饮料都没有要．

【例 6】全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么，⑴数学成绩优秀的有几个学生？

⑵有几个人既会游泳，又会滑冰？

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答

【解析】⑴有6个数学不及格，那么及格的有：25619

-=(人)，即最多不会超过19人会这三项运动之一．而又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：17138219

（）(人)至少会这三项运动之一．于

++÷=

是，至少会三项运动之一的只能是19人，而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格，所以没有数学成绩优秀的．

⑵上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑

冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会

游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以，全班有19172

-=(人)既会游泳又会滑冰．

【答案】（1）0人，（2）2人

【巩固】五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只

有4人．那么，参加B组的有_______人．

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】填空

【解析】参加B，C，D三组的总人数是3615417

--=(人)，C，D每组至少5人，当C，D每组6人时，

B 组为5人，不符合题意，所以参加B 组的有17557--=(人)．

【答案】7人

【例 7】 五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语文

小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学

参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数

的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人

有多少人？

【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 参加3个小组的人数是一个不为0的偶数，如果该数大于或等于4，那么仅参加语文与自然小

组的人数则大于等于20，而仅参加数学与自然小组的人有6个，这样至少应有30人，与题意

矛盾，所以参加3个小组的人数为2．仅参加语文与自然小组的人数为10，于是仅参加语文与

自然、仅参加数学与自然和参加3个小组的人数一共是18人，剩下的10人是仅参加数学与语

文以及仅参加数学的．由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有5人．

【答案】5人

【例 8】 在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的

人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人

摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100，你能回

答下列问题吗？

① 有 人摘了山莓；

② 有 人同时摘了三种水果；

③ 有 人只摘了山莓；

④ 有 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；

⑤ 有 人只摘了草莓.

草莓李子山莓G

F E

D

C B A

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 如图，根据题意有

2A C =

3G C -=

4B E -=

50A D C ++=

11D =

60C D F G +++=

40A B E ++=

代入求解：26A =，9B =，13C =，11D =，5E =，20F =，16G =

所以①有261151658A D E G +++=+++=(人)摘了山莓；

②有16人同时摘了三种水果；

③有26人只摘了山莓；

④有20人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；

⑤有9人只摘了草莓.

【答案】①有58(人)摘了山莓；②有16人同时摘了三种水果；

③有26人只摘了山莓；④有20人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；

⑤有9人只摘了草莓.

【例 9】 某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪

三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之

一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？

科学51人

文艺56人

17154

体育55人x

【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 由条件可知，参加长跑的人中有2人参加其它项目，参加跳高的人中有3人参加其它项目，参加标

枪的人中有4人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为x ，只参加长跑和标枪的人数为y ，

只参加标枪和跳高的有z 人，三项都参加的有n 人.那么有以下方程组：

由条件可知，参加长跑的人中有2人参加其它项目，参加跳高的人中有3人

参加其它项目，参加标枪的人中有4人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为x ，只参加

长跑和标枪的人数为y ，只参加标枪和跳高的有z 人，三项都参加的有n 人.那么有以下方程组：

2

3 4

x y n x z n z y n ++=??++=??++=? 将3条等式相加则有2（x +y +z ）+3n =9，由这个等式可以得到，n 必须是奇数，所以，n 只能是1或

3、5、7……，如果n ≥3时x 、y 、z 中会出现负数.所以n =1，这样可以求得x =0，y =1，z =2.由此可得

到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.

将3条等式相加则有2（x +y +z ）+3n =9，由这个等式可以得到，n 必须是奇数，所以，n 只能是1或

3、5、7……，如果n ≥3时x 、y 、z 中会出现负数.所以n =1，这样可以求得x =0，y =1，z =2.由此可得

到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.

【答案】40人

模块二、四个量的重叠问题

【例 10】 养牛场有2007头黄牛和水牛，其中母牛1105头，黄牛1506头，公水牛200头，那么母黄牛有

头。

【考点】四个量的重叠问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，1试

【解析】 解：公牛有2007-1105=902头，公黄牛有902-200=702头，母黄牛有1506-702=804头

【答案】804头

【例 11】 一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共35本，且每种书的数量互不相同。其中数学书和

英语书共有l6本，语文书和英语书共有17本：有一种书恰好有9本，这种书是 书。

【考点】四个量的重叠问题 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】迎春杯，四年级，初赛，5题

【解析】 如果数学书有x 本，那么英语书有16-x 本，语文书有17-（16-x ）=x+1本，历史书为

35-(x+16-x+x+1)=18-x 本，其中有可能出现相等的有x 和16-x ，x 和18-x 因为它们奇偶性相同.为了

不相等，x≠8且x≠9，有此得到16-x 不等于8和7，x+1不等于9和10，18-x 不等于10和9，只有

16-x 可以等于9，所以英语书有9本.

【答案】英语