平面直角坐标系经典讲义全

七年级数学学案

平面直角坐标系

知识点概述

1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系

2、已知点的坐标找出该点的方法：分别以点的横坐标、纵坐标在数轴上表示的点为垂足，作x 轴的垂线，两垂线的交点即为要找的点。

3、已知点求出其坐标的方法：由该点分别向x 轴y 轴作垂线，垂足在x 轴上的坐标是改点的横坐标，足在y 轴上的坐标是该点的纵坐标。

4、各个象限点的特征:

第一象限：(+, +) 点P (x,y ),则x> 0,y >0;

第二象限：(-,+) 点P (x,y ),则x v 0,y >0;

第三象限：(-,-) 点P (x,y )，贝U x v 0,y v 0；

第四象限： ( +，- ) 点P( x,y )，则x> 0,y v 0;

两坐标轴的点不属于任何象限。

6、点的对称特征：已知点P(m,n),

7、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：

平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等; 平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

8、各象限角平分线上的点的坐标特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

点P(a,b) 关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b, a)第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。

点P(a,b) 关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b,-a)

9、点P( x,y )的几何意义：点P( x,y )到x 轴的距离为|y| ，点P( x,y )到y 轴的距离为|x|

10、点的平移特征：在平面直角坐标系中，

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。y 轴的垂

5、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，纵坐标为零; y 轴上的点，横坐标为零;原点的坐标为( 0 , 0）。

关于x 轴的对称点坐标是(m,-n),横坐标相同，纵坐标反号

关于y 轴的对称点坐标是(-m,n)纵坐标相同，横坐标反号

关于原点的对称点坐标是(-m,-n)横，纵坐标都反号

将点（x,y向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点( x-a ，y);

将点( x,y 将点( x,y 将点( x,y 向左平移

向上平移

向下平移

a 个单位长度，

b 个单位长度，

可以得到对应点( x+a ，y);

可以得到对应点( x，y＋b);

可以得到对应点( x，y－b)。

例题精讲

例1、象限的点的特征

1、原点0的坐标是 ______ ，点M( a, 0)在 _________ 轴上。

2、已知mn 0，则点(m , n )在___________________________________ 。

3、若点B(a，b)在第三象限，则点C( —a+1, 3b—5)在第________________ 象限。

4、如果点A的坐标为(a2+i, —1 —b2),那么点A在第几象限？为什么？

例2、点到坐标轴的距离

1、点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标是________________________ 。

2、点A在x轴上，位于原点左侧，距离坐标原点7个单位长度，则此点的坐标为 __________ ;

3、若x轴上的点P到y轴的距离为3,则点P的坐标为( )

A . (3, 0)

B . (3, 0)或(-3, 0)

C . (0, 3)

D . (0, 3)或(0，- 3) 例3、平行于坐标轴上的点的特征

1、在平面直角坐标系，有一条直线PQ平行于y轴，已知直线PQ上有两个点，坐标分别为(—a, —2)

和(3, 6)，则 a ______________ 。

2、已知AB// x轴，A点的坐标为(3, 2),并且AB= 5,则B的坐标为_______________ 。

3、A (- 3 , - 2 )、B (2,-2 )、C (- 2 , 1 )、D (3, 1)是坐标平面的四个点，则线段AB与CD 的关系是_____________ 。

4、在坐标系，点P (2, —2)和点Q (2, 4)之间的距离等于___________ 个单位长度。线段PQ的中点的坐标

是___________ 。

例4、关于坐标轴对称的点的特征

1、点A(- 1, 2)关于y轴的对称点坐标是_______________;点A关于x轴对称的点的坐标为________________ 点A关于原点的对称点的坐标是______________ 。

2、已知点M x, y与点N 2, 3关于x轴对称，则x y _______________ 。

3、已知点P (a+1, 2a-1 )关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值围.

例5、图形的平移与点的坐标的变化

1、在平面直角坐标系，把点P (—5, —2)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐

标是__________________ 。

2、如图，将△

ABC

向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的△ A I B I C I，在图中画

出并写出点Ai、Bi、Ci的坐标.

例6、如图，在平面直角坐标系中，直线I是第一、三象限的角平分线

实验与探究：

1、由图观察易知A( 0, 2)关于直线I的对称点A的坐标为(2,0)，请在图中分别标明B(5,3) 、C(-2,5)

关于直线I的对称点B、C的位置，并写出他们的坐标：B _________________

归纳与发现：

巩固练习

一.选择题

1. 如果点M( a-1 , a+1 )在x轴上，则a的值为( )

A.a=1

B. a=-1

C. a>0

D. a 的值不能确定

2. 点P的横坐标是-3，且到x轴的距离为5,则P点的坐标是( )

A. ( 5, -3 )或(-5 , -3 )

B. (-3 , 5)或(-3 , -5 )

C. (-3 , 5)

D. (-3 , -5 )

3. 若点P ( a, b)在第四象限，则点M(b-a , a-b )在( )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

4. 已知正方形ABCD勺三个顶点坐标为A (2 , 1), B ( 5 , 1) , D(2 , 4),现将该正方形向下

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2、结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面任一点

的对称点P的坐标为_______________ (不必证明)；

运用与拓广：

3、已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线I上

确定一点Q使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点

坐标.

P(a,b)关于第一、三象限的角平分线I

(第22题

图)

平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，则C'点的坐标为（

A. （5，4）

B. （5，1）

C. 5?点M（ a, a-1 ）不可能在（

）

A. 第一象限

B. 第二象限

（1，1） D. （-1，-1）第三象限 D. 第四象限

6.到x轴的距离等于2的点组成的图形是（

）A.过点（0，2）且与x轴平行的直线B.

C.过点（0，-2且与x轴平行的直线

填空题

过点（2，0）且与y轴平行的直线

分别过（0，2）和（0，-2 ）且与x轴平行的两条直线

7. 直线a平行于x轴，且过点（-2，3）和（5，y ），则y= __________

8. 若点M（ a-2，2a+3）是x轴上的点，贝U a的值是______________

9. 已知点P的坐标（2-a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ________________

10. 若P （x，y）是第四象限的点，且x 2, y 3，则点P的坐标是 _________________

三.解答题

11. 在平面直角坐标系，已知点（1-2 a，a-2 ）在第三象限的角平分线上，求a的值及点的坐标?

12.如图为风筝的图案.

（1）若原点用字母O表示，写出图中点A，B, C的坐标.

（2）试求（1 ）中风筝所覆盖的平面的面积.

13.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（一1，0 ），（3，0），现同时将点A, B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C, D,连接AC, BD, CD.

（1）求点C, D的坐标及四边形ABDC勺面积S四边形ABDC

⑵在y轴上是否存在一点P,连接PA, PB,使S PAB = S四边形ABDC，若存在这样一

点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由.

⑶点P是线段BD上的一个动点，连接PC, PO当点P在BD上移动时（不与B, D重合）给出下列结论:

① DCP

BOP的值不变，② DCP__CPO的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结CPO BOP

论并求其值.