第三章函数的应用自主检测试卷及答案(打印版)

第三章自主检测

(时间:120分钟 满分:150分)

一、选择题(每小题5分，共50分)

1．函数f (x )＝x 2－4的零点是( ) A ．1 B ．－2

C ．2，－2

D ．不存在

2．函数f (x )＝ln x －2

x

的零点所在的大致区间是( )

A ．(1,2)

B ．(2,3)

C.???

?1，1

e D ．(e ，＋∞) 3．

f (x )＝x 2，

g (x )＝2x ，

h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，三个函数的增长速度比较，下列选项中正确的是( )

A ．f (x )>g (x )>h (x )

B ．g (x )>f (x )>h (x )

C ．g (x )>h (x )>f (x )

D ．f (x )>h (x )>g (x )

4．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水的速度如图3-1(1)、(2)．某天0点到6

点，该水池的蓄水量如图3-1(3)(至少打开一个进水口)．给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．

图3-1

则正确的论断是( ) A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 5．某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y (单位:公顷)关于时间x (单位:年)的函数关系较为近似的是( )

A ．y ＝0.2x

B ．y ＝1

10

(x 2＋2x )

C ．y ＝2

x 10

D ．y ＝0.2＋log 16x

6．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )

A ．0,2

B ．0，1

2

C ．0，－12

D ．2，－1

2

7．已知函数f (x )的一个零点x 0∈(2,3)，在用二分法求精确度为0.01的x 0的一个值时，判断各区间中点的函数值的符号最少( )

A ．5次

B ．6次

C ．7次

D ．8次

8．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()

A．(a，b)和(b，c)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

9．某商品零售价2013年比2012年上涨25%，欲控制2014年比2012年只上涨10%，则2014年应比2013年降价()

A．15% B．12%

C．10% D．50%

10．将进货单价为80元的商品按90元出售，能卖出400个，根据经验，该商品若每个涨1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应该为()

A．92元B．94元

C．95元D．88元

二、填空题(每小题5分，共20分)

11．函数f(x)＝2ax＋4a＋6在区间(－1,1)上有零点，则实数a的取值范围是____________．12．某厂2003年的产值为a万元，预计产值每年以增长率为b的速度增加，则该厂到2015年的产值为____________．

13．若方程2ax2－1＝0在(0,1)内恰有一解，则实数a的取值范围是____________．

14．函数f(x)＝2x＋x－2的零点有________个．

三、解答题(共80分)

15．(12分)讨论方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．

16．(12分)函数y＝x2＋(m＋1)x＋m的两个不同的零点是x1和x2，且x1，x2的倒数平方和为2，求m的值．

17．(14分)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(x∈N)的关系式为y＝－x2＋14x－24.

(1)每辆客车从第几年起开始盈利？

(2)每辆客车营运多少年，可使其营运的总利润最大？

18．(14分)函数f(x)＝(x－3)2和g(x)＝x的图象如图3-2所示，设两函数交于点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，且x1

(1)请指出图3-2中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？

(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{0,1,2,3,4,5,6}，指出a，b的值，并说明理由．

图3-2

19．(14分)某工厂现有甲种原料360 kg ，乙种原料290 kg ，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品共50件．已知生产一件A 产品，需要甲种原料9 kg ，乙种原料3 kg ，可获利润700元；生产一件B 产品，需用甲种原料4 kg ，乙种原料10 kg ，可获利润1200元．

(1)按要求安排A ，B 两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来；

(2)设生产A ，B 两种产品获总利润y (单位:元)，其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数性质说明(1)中哪种方案获利最大？最大利润是多少？

20．(14分)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力[f (x )的值越大，表示接受能力越强]，x 表示提出概念和讲授概念的时间(单位:分)，有以下的关系式:

f (x )＝????

?

－0.1x 2＋2.6x ＋43(0

－3x ＋107(16

(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能持续多少分钟？

(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力在哪一个时间段强一些？

(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？

(4)如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值M ＝f (5)＋f (10)＋…＋f (30)

6

，

它能高于45吗？

综合能力检测

(时间:120分钟 满分:150分)

一、选择题(每小题5分，共50分)

1．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]

2．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝?

???

??

y |y ＝1x ，x >2，则?U P ＝( )

A.????1

2，＋∞ B.????0，12 C ．(0，＋∞)

D ．(－∞，0)∪???

?1

2，＋∞ 3．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为1

2

，则a ＝( )

A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4

4．设f (x )＝g (x )＋5，g (x )为奇函数，且f (－7)＝－17，则f (7)的值等于( ) A ．17 B ．22 C ．27 D ．12 5．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( ) A ．－1和－2 B ．1和2 C.12和13 D ．－12和－13

6．下列函数中，既是偶函数又是幂函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝x 2

C ．f (x )＝x －2

D ．f (x )＝x －

1 7．直角梯形ABCD 如图Z-1(1)，动点P 从点B 出发，由B →C →D →A 沿边运动，设点

P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f (x )．如果函数y ＝f (x )的图象如图Z-1(2)，那么△ABC 的

面积为( )

(1) (2)

图Z-1

A ．10

B ．32

C ．18

D ．16

8．设函数f (x )＝????

?

x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，

若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )

＝x 的解的个数为( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

9．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )

A ．幂函数

B ．对数函数

C ．指数函数

D ．一次函数

10．甲用1000元人民币购买了一支股票，随即他将这支股票卖给乙，获利10%，而后

乙又将这支股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了乙，在上述股票交易中( )

A ．甲刚好盈亏平衡

B ．甲盈利1元

C ．甲盈利9元

D ．甲亏本1.1元 二、填空题(每小题5分，共20分)

11．计算:????lg 14－lg25÷10012-＝__________.

12．已知f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的最大值是__________．

13．y ＝f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (2)＝6；则当x ≥0时，f (x )的解析式为__________．

14．函数y ＝2x －1

x ＋1

，x ∈[3,5]的最小值为________；最大值为________．

三、解答题(共80分)

15．(12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2(11－x 2)>1}，B ＝{x |x 2－x －6>0}，M ＝{x |x 2

＋bx ＋c ≥0}．

(1)求A ∩B ；

(2)若?U M ＝A ∩B ，求b ，c 的值．

16．(12分)已知函数f (x )＝bx

ax 2＋1

(b ≠0，a >0)．

(1)判断f (x )的奇偶性；

(2)若f (1)＝12，log 3(4a －b )＝1

2

log 24，求a ，b 的值．

17．(14分)方程3x 2－5x ＋a ＝0的一根在(－2,0)内，另一根在(1,3)内，求参数a 的取值范

围．

18．(14分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为3600时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益为多少元？

19．(14分)已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋

b ，且f (1)＝52，f (2)＝174

.

(1)求a ，b 的值；

(2)判断f (x )的奇偶性；

(3)试判断f (x )在(－∞，0]上的单调性，并证明； (4)求f (x )的最小值．

20．(14分)已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6. (1)证明:函数f (x )在其定义域上是增函数； (2)证明:函数f (x )有且只有一个零点；

(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过1

4

.

第三章自主检测 1．C 2.B

3．B 解析:指数增长最快．虽然当2x 2，且增长速度越来越快．

4．A 解析:由图可知进水速度为1/单位时间，出水量为2/单位时间．由图可观察，3小时水量达到6，所以没有出水.3～4点，只减少1个单位，所以1个进水口进水，1个出水口出水.4～6点可能同时2个进水口与出水口都开．

5．C 解析:因为沙漠的增加速度越来越快，所以排除A ，D ，将x ＝1,2,3分别代入B ，C 可发现，C 中的函数较符合条件．

6．C 解析:由题意，知a ≠0，且b ＝－2a .令g (x )＝－2ax 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝－1

2

.

7．C 8.A 9.B

10．C 解析:设商品涨x 元，则利润为(10＋x )(400－20x )＝－20(x －5)2＋4500，x ∈Z ，－10≤x ≤20，

∴当x ＝5时，获得利润最大，此时售价为90＋5＝95(元)． 11．(－3，－1)

12．a (1＋b )12 解析:共12年，1年后为a (1＋b )，2年后为a (1＋b )2，…，12年后为a (1＋b )12.

13．a >1

2

解析:设函数f (x )＝2ax 2－1，由题意可知，函数f (x )在(0,1)内恰有一个零点．∴

f (0)·f (1)＝－1×(2a －1)<0，解得a >1

2

.

14．1 解析:画出函数y 1＝2x 和y 2＝－x ＋2的图象，如图D35，两函数的交点只有一个，故函数f (x )的零点有1个．

图D35

15．解:令f (x )＝4x 3＋x －15，

∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1,2]上都为增函数， ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数． ∵f (1)＝4＋1－15＝－10<0， f (2)＝4×8＋2－15＝19>0，

∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解．

16．解:∵x 1和x 2是函数y ＝x 2＋(m ＋1)x ＋m 的两个不同的零点， ∴x 1和x 2是方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的两个不同的根． 则?

????

x 1＋x 2＝－m －1，x 1x 2＝m .① 又2＝1x 21＋1x 22＝x 21＋x 2

2

x 21x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2(x 1x 2)2

，

将①代入，得(－m －1)2－2m

m 2

＝2，

解得m ＝1或m ＝－1.

∵Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2＞0， ∴m ≠1，即m ＝－1.

17．解:(1)y ＝－x 2＋14x －24>0，

即x 2－14x ＋24<0，解得2

故当每辆汽车营运7年，可使其营运的总利润最大．

18．解:(1)C 1对应的函数为f (x )＝(x －3)2，C 2对应的函数为g (x )＝x . (2)a ＝1，b ＝4.

理由如下:令φ(x )＝f (x )－g (x )＝(x －3)2－x ， 则x 1，x 2为函数φ(x )的零点， 由于φ(0)＝9>0，φ(1)＝3>0， φ(2)＝1－2<0，φ(3)＝－3<0， φ(4)＝－1<0，φ(5)＝4－5>0.

则方程φ(x )＝f (x )－g (x )的两个零点x 1∈(1,2)，x 2∈(4,5)， 因此a ＝1，b ＝4.

19．解:(1)设安排生产A 种产品x 件，则生产B 种产品(50－x )件，依题意，得 ?

????

9x ＋4(50－x )≤360，3x ＋10(50－x )≤290， 解得30≤x ≤32.

∵x 是整数，∴x 只能取30,31,32.

∴生产方案有3种，分别为A 种30件，B 种20件；A 种31件，B 种19件；A 种32件，B 种18件．

(2)设生产A 种产品x 件，则

y ＝700x ＋1200(50－x )＝－500x ＋60 000. ∵y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝30时，y 值最大，

y max ＝－500×30＋60 000＝45 000.

当安排生产A 种产品30件，B 种产品20件时，获利最大，最大利润是45 000元． 20．解:(1)当0

f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9.

故当0

因此，开讲10分钟后，学生达到最强的接受能力，并能维持6分钟． (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5， f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5，

因此，开讲后5分钟，学生的接受能力比开讲后20分钟强一些． (3)当0

当1055；

当16

3

.

因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1713－6＝111

3

<13，老师来不及在学生一

直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．

(4)∵f (5)＝53.5，f (10)＝59，f (15)＝59， f (20)＝47，f (25)＝32，f (30)＝17，

∴M ＝53.5＋59＋59＋47＋32＋176

≈44.6<45.故平均值不能高于45.

综合能力检测 1．B

2．A 解析:由已知U ＝(0，＋∞)．P ＝????0，12，所以?U P ＝???

?1

2，＋∞.故选A. 3．D 4.C 5.D 6.B 7.D

8．C 解析:由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，可得b ＝4，c ＝2，

所以f (x )＝?

???? x 2＋4x ＋2，x ≤0，

2， x >0，

所以方程f (x )＝x 等价于?????

x >0，x ＝2或?????

x ≤0，

x 2＋4x ＋2＝x .

所以x ＝2或x ＝－1或x ＝－2.故选C. 9．C

10．B 解析:由题意知，甲盈利为1000×10%－1000×(1＋10%)×(1－10%)×(1－0.9)＝1(元)．

11．－20

12．3 解析:∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(m －2)·(－x )2－(m －1)x ＋3＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋3，

∴m ＝1.∴f (x )＝－x 2＋3.f (x )max ＝3. 13．－x 2＋5x

14.54 32 解析:y ＝2x －1x ＋1＝2x ＋2－3x ＋1＝2－3

x ＋1

，显然在(－1，＋∞)单调递增，故当 x ∈[3,5]时，f (x )min ＝f (3)＝54，f (x )max ＝f (5)＝3

2.

15．解:(1)∵?????

11－x 2>0，

11－x 2>2

?－3

∵x 2－x －6>0，∴B ＝{x |x <－2或x >3}． ∴A ∩B ＝{x |－3

(2)?U M ＝A ∩B ＝{x |－3

????

b ＝5，

c ＝6. 16．解:(1)函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－bx

ax 2＋1

＝－f (x )，故f (x )是奇函数．

(2)由f (1)＝b a ＋1＝1

2

，则a －2b ＋1＝0.

又log 3(4a －b )＝1，即4a －b ＝3. 由????? a －2b ＋1＝0，4a －b ＝3，得?

????

a ＝1，

b ＝1. 17．解:令f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则其图象是开口向上的抛物线． 因为方程f (x )＝0的两根分别在(－2,0)和(1,3)内，

故?????

f (－2)＞0，

f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0，

即?????

3×(－2)2－5×(－2)＋a ＞0，

a ＜0，

3－5＋a ＜0，3×9－5×3＋a ＞0，

解得－12＜a ＜0.

故参数a 的取值范围是(－12,0)．

18．解:(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600－3000

50

＝12(辆)．

所以这时租出的车辆数为100－12＝88(辆)．

(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为

f (x )＝????100－x －300050(x －150)－????

x －300050×50

所以f (x )＝－1

50

x 2＋162x －21 000

＝－1

50

(x －4050)2＋307 050.

所以当x ＝4050时，f (x )最大，最大值为307 050，

即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．

19．解:(1)由已知，得?

??

2＋2a ＋

b ＝52，4＋22a ＋

b ＝174

，

解得?????

a ＝－1，

b ＝0.

(2)由(1)，知f (x )＝2x ＋2－

x ，任取x ∈R ，

有f (－x )＝2－x ＋2－(－x )＝2－

x ＋2x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．

(3)任取x 1，x 2∈(－∞，0]，且x 1

＝(12x －22x )＋121122x x ??- ???＝(12x －22x )12

1122

x x ?

?- ???

＝(12x －22x )12

1222

122x x x x -.

∵x 1，x 2∈(－∞，0]且x 1

从而12x －22x <0,12x ·22x －1<0,12x ·22x >0， 故f (x 1)－f (x 2)>0.

∴f (x )在(－∞，0]上单调递减．

(4)∵f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (x )为偶函数，可以证明f (x )在[0，＋∞)上单调递增(证明略)．

∴当x ≥0时，f (x )≥f (0)；当x ≤0时，f (x )≥f (0)． 从而对任意的x ∈R ，都有f (x )≥f (0)＝20＋20＝2， ∴f (x )min ＝2.

20．(1)证明:函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 设0

∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．

(2)证明:∵f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3>0， ∴f (2)·f (3)<0.

∴f (x )在(2,3)上至少有一个零点，

又由(1)，知f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 因此函数至多有一个根，

从而函数f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (3)解:f (2)<0，f (3)>0，

∴f (x )的零点x 0在(2,3)上，

取x 1＝52，∵f ????52＝ln 5

2

－1<0， ∴f ????52·f (3)<0.∴x 0∈???

?52，3. 取x 1＝114，∵f ????114＝ln 114－1

2

>0， ∴f ????52·????114<0.∴x 0∈????52，114. 而????114－52＝14≤14， ∴????52，114即为符合条件的区间．