线性回归和灰色预测模型案例

预测未来2015年到2020年的货运量

灰色预测模型

是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断.

灰色系统的定义

灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰

色系统?作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统?区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。

建模原理

给定观测数据列

X (O)

= {工⑼⑴卫⑼(2)UM)(N)}

其中是$ U 常数，a 称为发展灰数,IJ 称为内生

控制灰数，是对系统的常定输入?此方程满足初始

条件 (7.3)1

当f =阳时工⑴=X a Xt C )

的解为J C^(O= Z(Gw 十牛

对等间隔取样的离散值(注意到^ = I)则为

√I)(? + l) = [√1?l)-?* += (7.4)

灰色建模的途径是一次累加序列tλ2)通过最小二乘法来估计常薮口与乩

模型的求解

■经一次累加得 K ⑴二{兀⑴(1),兀⑴(2),…,*D(N)} (7.2) 设满足一阶常微分方程￠7.3) dx ⑴ dt + ax (L)= 14

原始序列为：

X(O)=(X(O)(1),…X(O)(6)) =(7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909)

构造累加生成序列

X(I) =(X(I)(1),… X(I)(6)) =(7691,18614,27943,37869,48018, 59085,71580,84567,98469,114250,131159)

归纳上面的式子可写为

X a X D = {f X⑼(j) Ii=I B2-,N}

>■1

称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成

对X(I)作紧邻均值生成

Z(I)(k)=丄(Z(I)(k) Z(I)(k - 1))

k = 2,.…

MATLAB代码如下：

X=[7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159];

Z(I)=X(1);

for i=2:6

z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1));

end

format Iong g

Z =

Colu mns 1 through 3

7691 13152.5 23278.5

Columns 4 through 6

3290642943.5319437.5

CoIUmnS 7 through

331218.578073.5 91518

Colu mns 10 through 11

106359.5 122704.5

因此

Z(I)=(Z(I)(1),…Z(I)(5)) =( 13152.5 23278.5 32906 42943.5 53551.5)

构造B矩阵和Y矩阵；

对参数?进行最小二乘估计，采用matlab编程完成解答如下:

B=[[ -13152.5 -23278.5 -32906 -42943.5 -319437.5 -331218.5 -78073.5 -91518 -106359.5 -122704.5]',o nes(10,1)];

Y=[18614 27943 37869 48018 59085 71580 84567 98469 114250 131159]'; format long g

a=i nv(B'*B)*B'*Y

结果如下：

a =

-0.0850401176809297

59277.2079622774

即：：=-0.085，u=59277 U = -697376.471

则GM(1,1)白化方程为

dx(I)

^dT -0.085x = 59277

预测模型为: