线面、面面平行的判定和性质随堂练习[附含答案解析]

线面、面面平行的判定与性质

基础巩固强化

1.(文)(2011·北京海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α内不同

于l的直线，那么下列命题中错误

．．的是( )

A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β

C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β

[答案] D

[解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．

(理)(2011·泰安模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是( )

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β

[答案] D

[解析]A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．

2．(文)(2011·邯郸期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( )

A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β

B．若m∥α，m∥n，则n∥α

C．若m∥α，n∥α，则m∥n

D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β

[答案] D

[解析]选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．

(理)(2011·浙江省温州市测试)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．α∥β，m?α，n?β?m∥n

B．l⊥β，α⊥β?l∥α

C．m⊥α，m⊥n?n∥α

D．α∥β，l⊥α?l⊥β

[答案] D

[解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l?α这种情形；对于选项C，可能出现n?α这种情形．故选D.

3．(2011·宁波模拟)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的假命题是( )

A．若α∥β，l?α，则l∥β

B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β

C．若l∥α，m?α，则l∥m

D．若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，则m⊥β

[答案] C

[解析]对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C.

4．(2011·广东揭阳模拟)若a 不平行于平面α，且a ?α，则下列结论成立的是( )

A ．α内的所有直线与a 异面

B ．α内与a 平行的直线不存在

C ．α内存在唯一的直线与a 平行

D ．α内的直线与a 都相交

[答案] B

[解析] 由条件知a 与α相交，故在平面α内的直线与a 相交或异面，不存在与a 平行的直线．

5．(2012·石家庄二模)三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长分别为2、m 、n ，其中m 2＋n 2＝6，则该三棱锥体积的最大值为( )

A.12

B.8327

C.33

D.23

[答案] D

[解析] 令m ＝n ，由m 2＋n 2＝6得m ＝n ＝3，取AB 的中点E ，

则BE ＝22，PB ＝3，∴PE ＝102，CE ＝102

，∴EF ＝2， ∴V P －ABC ＝13S △PEC ·AB ＝13×(12×2×2)×2＝23，∵23>12

，∴23>33，23>8327，故选D.

6．(2011·苏州模拟)下列命题中，是假命题的是( )

A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面

B．平面α∥平面β，a?α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a

C．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a∥b∥c∥d

D．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件

[答案] D

[解析]三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平行，从而第三边也与这个平面平行，∴A真；假设在β内经过B点有两条直线b、c都与a平行，则b∥c，与b、c都过B点矛盾，故B真；∵γ∥δ，α∩γ＝a，α∩δ＝b，∴a∥b，同理c

∥d；又α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c∥d，故C真；正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与平面AA1D1D和平面CC1D1D 所成角相等，但平面AA1D1D∩平面CC1D1D＝DD1，故D假．7．(2012·北京东城区综合练习)在空间中，有如下命题：

①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；

②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；

③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；

④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β.

其中正确命题的序号为________．

[答案]②

[解析]①中，互相平行的两条直线的射影可能重合，①错误；

②正确；③中，平面α与平面β不一定垂直，所以直线n就不一定垂直于平面β，③错误；④中，若平面α内的三点A、B、C在一条直线上，则平面α与平面β可以相交，④错误．

8．(2011·福建文，15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF 的长度等于________．

[答案] 2

[解析] ∵EF ∥平面AB 1C ，

平面ABCD 经过直线EF 与平面AB 1C 相交于AC ，

∴EF ∥AC ，

∵E 为AD 的中点，∴F 为CD 的中点，

∴EF ＝12AC ＝12

×22＝ 2. 9．(2011·郑州一检)已知两条不重合的直线m 、n ，两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m ∥n ，n ?α，则m ∥α；

②若n ⊥α，m ⊥β，且n ∥m ，则α∥β；

③若m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β＝m ，n ?β，n ⊥m ，则n ⊥α.

其中正确命题的序号是________．

[答案] ②④

[解析] 对于①，直线m 可能位于平面α内，此时不能得出m

∥α，因此①不正确；对于②，由n ⊥α，m ∥n ，得m ⊥α，又m ⊥β，所以α∥β，因此②正确；对于③，直线m ，n 可能是两条平行直线，此时不一定能得出α∥β，因此③不正确；对于④，由“如果两个平面相互垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面”可知，④正确．综上所述，其中正确命题的序号是②④.

10．(文)(2012·辽宁文，18)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．

(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；

(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积(锥体体积公式V ＝13

Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)．

[分析] (1)欲证MN ∥平面A ′ACC ′，须在平面A ′ACC ′内找到一条直线与MN 平行，由于M 、N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点，B ′C ′与平面A ′ACC ′相交，又M 为直三棱柱侧面ABB ′A ′的对角线A ′B 的中点，从而M 为AB ′的中点，故MN 为△AB ′C ′的

中位线，得证．(2)欲求三棱锥A′－MNC的体积，注意到直三棱柱的特殊性和点M、N为中点，可考虑哪一个面作为底面有利于问题的

解决，视A′MC为底面，则S△A′MC＝1

2

S△A′BC，∴V A′－MNC＝

1

2

V N－A′BC，

又V N－A′BC＝V A′－NBC，易知A′N为三棱锥A′－NBC的高，于是易得待求体积．

[解析](1)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，

AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，

所以M为AB′中点．

又因为N为B′C′的中点，

所以MN∥AC′.

又MN?平面A′ACC′，

AC′?平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′.

(2)连结BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面