2014年电磁场与电磁波期末复习题

2014年第一学期《电磁场与电磁波》复习题

一．填空题

1．已知矢量2z 2y 2x z e xy e x e A ++=，则A ??=z xy x 222++， A

??=2y e z 。

注：

z xy x z

A y A x A A z

y x 222++=??+??+??=

??

222)(y x xy xy y A y z z y

y y =??=??=??=

?? 2．矢量B A

、垂直的条件为0=?。

3．理想介质的电导率为0=σ，理想导体的电导率为∞→σ，欧姆定理的微分形式为σ=。

4．静电场中电场强度E

和电位φ的关系为?-?=，此关系的理论依据为0=??；若已知电位22z 3x y 2+=?，在点（1,1,1）处电场强度=E

()

642z y x e e e ++-。

注：()

z xy y z y x z y x z y x 6422

++-=???

?

????+??+??-=-?=????

5．恒定磁场中磁感应强度B

和矢量磁位A 的关系为??=；此关系的理论依据为0=??。

6．通过求解电位微分方程可获知静电场的分布特性。静电场电位泊松方程为ερ?/2

-=?，电位拉普拉斯方程为02

=??。

7．若电磁场两种媒质分界面上无自由电荷与表面电流，其D E

、边界条件为：()

021=-?n 和()

021=-?n ；H B

、边界条件为：()

021=-?n 和()

021=-?n 。

8．空气与介质)4(2

r =ε的分界面为z=0的平面，已知空气中的电场强度为4e 2e e E z y x 1

++=,则介质中

的电场强度=2E 12z y x e e e

++。

注：因电场的切向分量连续，故有z z y x E e e e E 222

++=，又电位移矢量的法向分量连续，即

1422200=?=?z z r E E εεε

所以122z y x e e e

++=。

9. 有一磁导率为 μ 半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流 I ，柱外是空气（μ0 ），则

柱半径为1ρ处磁感应强度1B =1

2πρμφI e ；柱外半径为2ρ处磁感应强度2B =202πρμφI 。

10．已知恒定磁场磁感应强度为z 4e my e x e B z y x

++=,则常数m= -5 。

注:因为0=??+??+??=??z

B y B x B B z

y x ，所以5041-=?=++m m 。 11．半径为a 的孤立导体球，在空气中的电容为C 0=a 04πε；若其置于空气与介质（ε1 ）之间，球心位于分界面上，其等效电容为C 1=()a 102εεπ+。 解：（1）0

2

4επQ

r E r =

?，2

04r Q E r πε=

，a

Q dr E U a

r 04πε=

=?

∞

，a U

Q

C 04πε==

（2）Q r D r D r r =+2

22122ππ，

1

20

1εεr

r

D D =

，()210012r Q D r εεπε+=

，()2

10122r

Q

D r εεπε+=，()210212r Q

E E r

r εεπ+==，a Q dr E U a

r )(2101εεπ+==?∞

，a U Q

C )(210εεπ+== 12．已知导体材料磁导率为μ，以该材料制成的长直导线单位长度的自感为

π

μ

8。 13．空间有两个载流线圈，相互 平行 放置时，互感最大；相互 垂直 放置时，互感最小。 14．两夹角为n

π

α=

(n 为整数)的导体平面间有一个点电荷q ，则其镜像电荷个数为 （2n-1） 。

15．空间电场强度和电位移分别为D E

、，则电场能量密度w e =

D E ?2

1

。 16．空气中的电场强度)2cos(20kz t e E x -=π ，则空间位移电流密度D J

= ()kz t e x --ππε2sin 400。

注：[]

)2sin(40)2cos(2000kz t kz t t

t D x x D --=-??

=??=

ππεπε（A/m 2）。 17．在无源区，电场强度E

的波动方程为02

2=+?E k E c 。

18．频率为300MHz 的均匀平面波在空气中传播，其波阻抗为)(120Ωπ，波的传播速度为

)/100.3(8s m c ?≈，波长为 1m ，相位常数为)/(2m rad π；当其进入对于理想介质(εr = 4，μ

≈μ0)，在该介质中的波阻抗为)(60Ωπ，传播速度为)/(105.18

s m ?，波长为 0.5m ，相位常数为

)/(4m rad π。

注：有关关系式为

波阻抗ε

μ

η=

（Ω），相速度με

1

=v （m/s ），v f =λ，λ

π

2=

k （rad/m ）

空气或真空中，)(1200Ωπη=，)/(1038

s m c v ?≈=。

19．已知平面波电场为z j y x i e e j e (E E β--=)0

，其极化方式为 右旋圆极化波 。

注：因为传播方向为z +方向，且ym xm E E =，0=x φ，2

π

φ-=y ，02

<-

=-=π

φφφx y ?，故为右旋

圆极化波。

20．已知空气中平面波())

86(,z x j m e E z x E ππ+-=y ，则该平面波波矢量=k

ππ86z x e e + ， 角频率

ω=)/(1039s rad ?π，对应磁场()=

z ,x H

()

)/(36600)86(m A e E z x j z x m

πππ

+-+- 。 解：因为z x z k y k x k z y x ππ86+=++，所有π6=x k ，0=y k ，π8=z k ，π10222=++=z y x k k k k ，

从而ππ86z x +=，)(2.02m k

==

π

λ，)/(1038s m c v f ?===λ，)(105.19Hz f ?=，)/(10329s rad f ?==ππω。相伴的磁场是

()

()

)/(366008*********)86()86(m A e E

e E k z x j z x m z x j m y z x n πππππ

πππ

πηη

+-+-+-=?+?=?=

?=

21．海水的电导率σ=4S/m ，相对介电常数81=r ε。对于f=1GHz 的电场，海水相当于 一般导体 。 解：因为

181

72

8110361101242990<=?????==-π

πεεπσωεσr f 所以现在应视为一般导体。

22．导电媒质中，电磁波的相速随频率变化的现象称为 色散 。

23． 频率为f 的均匀平面波在良导体（参数为εμσ、、）中传播，其衰减常数α=

μσπf ，本征阻抗相

位为4/π，趋肤深度δ=

μσ

πf 1

。

24．均匀平面波从介质1向介质2垂直入射，反射系数Γ 和透射系数τ 的关系为τ=+Γ1。

25．均匀平面波从空气向0,25.2μμε==r 的理想介质表面垂直入射，反射系数Γ= -0.2 ，在空气中合成波为 行驻波 ，驻波比S= 1.5 。 解：πηη12001==，ππ

εηεμη8025

.212020222====

r ，2.01212

-=+-=ηηηηΓ，行驻波， 5.111=-+=

Γ

ΓS

26．均匀平面波从理想介质向理想导体表面垂直入射，反射系数Γ= -1 ，介质空间合成电磁波为 驻波 。 27．均匀平面波从理想介质1向理想介质2斜入射，其入射角为θi , 反射角为θr , 折射角为θt ，两区的相位常数分别为k 1、k 2，反射定律为i r θθ=，折射定律为t i k k θθsin sin 21=。 28．均匀平面波从稠密媒质(ε1)向稀疏媒质(ε2)以大于等于=c θ1

2

arcsin

εε斜入射，在分界面产生全反射，该角称为 临界角 ；平行极化波以=b θ1

2

arctan εε斜入射，在分界面产生全透射，该角称为 布儒斯特角 。

29．TEM 波的中文名称为 横电磁波 。

30．电偶极子是指 几何长度远小于波长的载有等幅同相电流的线元 ，电偶极子的远区场是指 1>>kr 或λ>>r 。 二．简答题

1． 导电媒质和理想导体形成的边界，电流线为何总是垂直于边界？

答：在两种不同导电媒质交界面两侧的边界条件为()

021=-?J J e n ，()

021=-?E E e n ，即n n J J 21=，

t t E E 21=，因此

2

1

2211221121////tan tan σσσσθθ===n n n t n t J J E E E E 显然，当∞→1σ时，可推得02→θ，即电流线垂直于边界。

2．写出恒定磁场中的安培环路定律并说明：磁场是否为保守场？ 答：恒定磁场中的安培环路定律为

???=?S

C

d d ，由斯托克斯定理可得

????=???=?S

S

C

d d d ，因此=??不恒为零，故不是保守场。

3．电容是如何定义的？写出计算双导体电容的基本步骤。

答：电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能力的物理量。孤立导体的电容定义为所带电量q 与其电位? 的比值；对于两个带等量异号电荷（±q ）的导体组成的电容器，其电容为q 与两导体之间的电压U 之比。

单导体的电容为

?

q

C =

双导体的电容定义为

U

q C =

计算双导体的步骤为：

①根据导体的几何形状，选取合适的坐标系； ②假定两导体上分别带电荷+q 和-q ； ③根据假定的电荷求出E ;

④由??=2

1

l E d U 求出电压;

⑤由U

q

C =

求出电容C. 4．叙述静态场解的惟一性定理，并简要说明其重要意义。 答：静态场解的惟一性定理：在场域V 的边界面S 上给定?或n

???

的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有惟一值。

惟一性定理的重要意义：给出了静态场边值问题具有惟一解的条件；为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据；为求解结果的正确性提供了判据。

5．什么是镜像法？其理论依据是什么？如何确定镜像电荷的分布？

答：在适当的位置上，用虚设的电荷等效替代分布复杂的电荷的方法称为镜像法。镜像法的理论依据是唯一性定理。

镜像法的原则为：①所有的镜像电荷必须位于所求场域之外的空间中；②镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足原边界条件来确定。

6．分别写出麦克斯韦方程组的积分形式、微分形式并做简要说明。 答：积分形式：

??

?????

?

???=?=???-=????+?=?????????dV

d d d t d d t d d V S S

S ρS

S C C S D S B S B l E S D

S J l H 0 第一方程说明：磁场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该

闭合曲线为周界的任意曲面的传导电流与位移电流之和。

第二方程说明：电场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的磁通量变化率的负值。 第三方程说明：穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量恒等于0。 第四方程说明：穿过任意闭合曲面的电位移的通量等于该闭合面包含的自由电荷的代数和。

微分形式：

????

????

??

?=??=????-=????+

=??ρ

B B

E D J H 0t t 第一方程对安培环路定理进行修正，表征电流与变化的电场都是磁场的漩涡源；

第二方程为电磁感应定律，说明变化的磁场产生电场； 第三方程说明磁场为无散场； 第四方程说明电荷为电场的源。

7．写出坡印廷定理的积分形式并简要说明其意义。 答：坡印廷定理的积分形式为

????+?+?=??-V V S V V t d d )2

121(d d d )(J E B H D E S H E

物理意义：单位时间，通过曲面S 进入体积V 的电磁能量等于体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。坡印廷定理是表征电磁能量守恒关系的定理。

??+?V V t d )2121(d d B H D E

—— 单位时间体积V 中所增加的电磁能量。 ??V

V d J E ——时间电场对体积V 中的电流所作的功；在导电媒质中，即为体积V 总的损耗功率。

?

??-S

S H E

d )(—— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率。

8．什么是波的极化？说明极化分类及判断规则。

答：电磁波的极化是指在空间给定点处，电场矢量的端点随时间变化的轨迹，分为线极化、圆极化和椭圆极化三类。

电磁波的极化状态取决于Ex 和Ey 的振幅Exm 、Eym 和相位差?φ＝φy －φx ，对于沿+ z 方向传播

的均匀平面波：

线极化： ?φ = 0、±π ，?φ = 0，在1、3象限，?φ = ± π ，在2、4象限； 圆极化：E xm = E ym ，?φ = ±π /2，取“＋”，左旋圆极化，取“－”，右旋圆极化； 椭圆极化：其它情况，?φ ＞0，左旋，?φ ＜0，右旋。 9．分别定性说明均匀平面波在理想介质中、导电媒质中的传播特性。 答：均匀平面波在理想介质中的传播特性：

①电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波； ②电场与磁场振幅不衰减； ③波阻抗为实数，电场磁场同相位； ④电磁波的相速与频率无关，无色散； ⑤平均磁场能量密度等于平均电场能量密度。 均匀平面波在导电媒质中的传播特性：

①电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波； ②电场与磁场振幅呈指数衰减； ③波阻抗为复数，电场与磁场不同相位； ④电磁波的相速与频率有关，有色散； ⑤平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。 10．简要说明行波、驻波、行驻波之间的区别。

答：行波是其振幅不变的波，反射系数0=Γ，驻波系数1=S ；驻波的振幅有零点（驻点），在空间没有移动，只是在原来的位置振动，反射系数1||=Γ，驻波系数∞=S ；而行驻波则是其振幅在最大值和不为零的最小值之间变化，反射系数1||0<<Γ，驻波系数∞<

①远区场是横电磁波，电场、磁场和传播方向相互垂直； ②远区场电场与磁场振幅比等于媒质的本征阻抗； ③远区场是非均匀球面波，电磁场振幅与1/r 成正比； ④远区场具有方向性，按 sin θ变化。 三、分析计算题

1．电场中有一半径为a 的圆柱体，已知圆柱体、外的电位函数为：??

???≥-=<=a

a A a ρφρρ?ρ?cos )(0

2

21

求①圆柱体、外的电场强度；②柱表面电荷密度。 （提示：柱坐标 z

u

e u e u e u z ??+??+??=? φρρφρ ） 解：①圆柱体的电场强度为

011=-?=?

圆柱体外的电场强度为

φρφρ?φρ?ρ??φ

ρφρsin 1cos 122

2222222???

?

??-+???? ??+-=?

??

? ????+??+??-=-?=a A a A z e e e z

②柱表面电荷密度为

()

()

φερρρρcos 22

01

2A a

a

n S -=?=-?===

2． 同心球形电容器的导体半径为a 、外导体半径为b ，其间填充介电常数为ε的均匀介质。已知导体球均匀携带电荷q 。求：①介质的电场强度E ②该球形电容器的电容。

解：① 高斯定理

)3(r

4q e E ,r 4q D ,q S d D 2

r 2分得πεπ

==

=??

② 外导体间电压：

ab

a

b q b a q

r E U b

a

-?

=-=

=?πεπε4)11(4d 由电容的定义U

q

C =

，得到 a

b ab

U q C -=

=

πε4 3． 空气中有一磁导率为 μ半径为a 的无限长均匀导体圆柱，其轴线方向电流强度为 I ，求圆柱外的磁

感应强度B 和磁场强度H 。

解：由I d C

=??

可得圆柱外的磁场强度都是

πρ

φ

2I =

而圆柱外磁感应强度是

???

???

?><=a

I a

I

e B ρπρ

μρπρμφφ220

4．矩形线圈长与宽分别为a 、b ，与电流为i 的长直导线放置在同一平面上，最短距离为d ，如图。①已知i=I ，求：长直导线产生的磁场；线圈与导线间的互感。②已知导线电流i(t)=I 0cos ωt ，求：导线产生的磁场；线圈中的感应电动势。

解：①电流i=I 产生的磁场：

πρ

μφ

20I

= 穿过矩形线圈的磁通量是

d

b

d Ia ad I S d B b

d d

S

+=?=

?=?

?+ln

2200πμρπρμψ 故线圈与导线间的互感为

d

b

d a I

M +=

=

ln

20πμψ

②导线电流i(t)=I 0cos ωt 产生的磁场：

t I ωπρ

μφ

cos 20

0= 穿过矩形线圈的磁通量是

t d

b

d a I ad t I S d B b

d d

S

ωπμρωπρμcos ln 2cos 20000+=?=

?=?

?+ψ 线圈中的感应电动势

t d

b d a I t ωπωμεsin ln 200+=??-

=ψ

上式中约定感应电动势的方向是顺时针。

5．一点电荷q 放置在无限大的导体平面附近，高度为h 。已知空间介质的相对介电常数εr =2，求①点电荷q 受到的电场力；②高度为4h 的P 点的电场强度与电位。

解：镜像法，确定镜像电荷q ’的位置如图和大小q ’=-q 。

①

2

022016

)2(4)(F h

q e h q q e y

y πεπε -=-= ②

h

q

h h q h h q h q e h h q e h h q e y

y y

000212020202130)4(4)4(42254)4(4)4(4E E E πεπεπε???πεπεπε=

+-+-=+==+-+-=+=

6．已知半径为a 的导体球带电荷量为Q ，距离该球球心f=4a 处有一点电荷q ，求q 受到的电场力。

解：4

,422'

'

a f a d a d q q f a q d a q ===-

=-=-= 则q 受到的电场力为

[])576003164()(44)(2

02

202/0/2

0/

a

q a Qq e d f q q e

f q q Q e F x x

x

q πεπεπεπε-=-+-+= 7．海水的电导率σ=4S/m ，相对介电常数 81=r ε。设海水中电场大小为t cos E E m ω=，求频率f=1MHz 时，①海水中的传导电流密度J; ②海水中的位移电流密度J D 。 解：①t E E J m ωσcos 4==

②t E t E E D m m r ωεωεεεcos 81cos 00===

t E t E t E t D J m m m D ωωππ

ωωεsin 458.1sin 101210361

81sin 81690-=?????-=-=??=

- 8．、在理想介质 (1,25.2r r ==με)中均匀平面波电场强度瞬时值为：())t-kz cos(40t ,z ωx e E

=。已知

该平面波频率为10GHz ，求：①该平面波的传播方向、角频率、波长、波数k ；②电场强度复矢量；③磁场强度瞬时值；④平均能流密度矢量v S a

。

解：① 传播方向：+z ；)/(10210102210

9

s rad f ?=??==πππω；

8

8

0010225

.21031

1

?=?=

=

=

=

=r

r

c

v f εεεμμε

λ；)(02.010101029

8

m f v =??==λ )/(10002

.022m rad k ππ

λ

π==

=

。 ② )/(40)(m V e e z E jkz x -= ③ )(8025

.2120000Ωππεηεεμεμη=====

r r ，)/(218040)(1

)(m A e e z z jkz y jkz y

z --==?=

ππη

；)/()cos(21

),(m A kz t t z y -=ωπ

④ )/(102140Re 21Re 212*

*m W e e z jkz y jkz x av

ππ=?

?????????? ???=???????=--

9．已知自由空间中均匀平面波磁场强度瞬时值为：())]43(cos[31

,,z x t-e t z x H +=πωπ

y A/m ，求①该

平面波角频率ω、频率f 、波长λ ②电场、磁场强度复矢量③瞬时坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。

解：① z x z k y k x k z y x ππ43+=++；π3=x k ，0=y k ，π4=z k ；

)/(5)4()3(2222

2m rad k k k k z y x πππ=+=++=；λ

π

2=

k ，)(4.02m k

==

π

λ c v f ==λ（因是自由空间）

，)(105.74

.010388

Hz c

f ?=?==λ；)/(101528s rad f ?==ππω ② )/(31),()

43(m A e z x z x j y

+-=ππ

； )

/()243254331120),(),(),()

43()43(m V e e e e k k z x z x z x z x j z x z x z x j y n +-+--=+?

?=?

=?=πππ

ππππηη（

③ ()

[])/()43(cos 2432),,(m V z x t e e t z x E z x +--=πω

())]43(cos[31

,,z x t-e t z x H +=πωπ

y （A/m ）

()

[]()

[])/()43(cos 322431)]

43(cos[31

)43(cos 243222m W z x t z x t-e z x t z x z x +-+=+?+--=?=πωπ

πωπ

πωy

()

)43(2432),(z x j z x e e e z x E +--=π，)

43(31),(z x j y

e e z x H +-=ππ

()

()

)/(322461312432Re 21Re 212*

)43()43(*m W e e e e z x z x j y z x j z x av

+=?????????????????-=??? ???=+-+-π

πππ

10．均匀平面波从空气垂直入射到某介质(ε=εr ε0，μ≈μ0),空气中驻波比为3，分界面为合成电场最小点，求该介质的介电常数ε。 解：3=S ，Γ

Γ-+=

11S ，5.01

31

311=+-=+-=

S S Γ；分界面为合成电场最小点，0<Γ，5.0-=Γ 01ηη=，r r εη

εεμη0002==，5.01100

00

1212

-=+-=+-=+-=r r r

r εεηεηηεηηηηηΓ，9=r ε 11．已知空气中均匀平面波电场强度的复数表示为()z

j 0e E t ,z β-=x e E ，由z<0区域垂直入射于z>=0区域

的理想介质中，已知该理想介质εr = 4，μ≈μ0，求①反射波的电场强度、磁场强度；②透射波电场强度、磁场强度。③z<0区域合成波的电场强度、磁场强度并说明其性质。 解：① z j x i e E β-=0，z j y

z j x z i e E e e E e e H ββηη--=?=

00

1

01ηη=，200002ηεηεεμη===

r

r ，312

2000

1212

-=+-=+-=ηηηηηηηηΓ，322

2220

00

122=+?

=+=ηηηηηητ z j x z j x r e E e E ββ003

1

-==Γ，z j y z j x z r z r e E e E ββπηη36031)(1

)(1

0000

=???

??-?-=

?-=

②

βεεμωβ2002==r

z j x z jk x t e E e E βτ20032

2--== z j y z j x z t z t e E e E ββπηη202022

9032)(1

)(1

--=??

?

???=

?=

③

?

??

???-=??

????--=??????-=-=-----z e E e e e E e e E e E e E z j x z j z j z j x z j z j x z j x

z j x βββββββββcos 3232313132313000001

??

?

???+=??

?

???+-=??

?

???+=+=-----z j e E e e e E e e E e E e E z j y

z j z j z j y z j z j y

z j y z j y

βπ

ππππββββββββsin 323212031313212031120360120000

001 行驻波，驻波系数23

1131

111=-+

=

-+=ΓΓS 12．已知空气中均匀平面波电场强度的复矢量表示为()z j e E z β-=0x i ，垂直入射于z=0的理想导体板上，求①反射波电场强度、磁场强度复矢量；②导体板上的感应电流密度；③真空中合成电场强度的瞬时值表示式并说明合成波特性。 解：①()z j e E z β-=0x i ，z j y

z j x z i e E e e E e e H ββηη--=?=

00

1

z

j x z

j x r e

E e

E ββ00)1(-=-=，()

z

j y

z j x z r z r e E e E ββπ

ηη120)(1

)(1

000

=-?-=

?-=

②

z E j e E e E x z j x z j x r i βββsin 20001-=-=+=-

z E

e e E e e E e H H H y z j y z j y

r i βπ

ππββcos 601201200001=+=+=- ()

π

π6060000

1

E

E x y

z z n s =?-=?== ③ [

]t z E e t z E e e E t z E x

x

t

j ωβπωβωsin sin 22cos sin 2Re ),(0

11=??

? ??-==

合成电磁波为驻波。

13．已知均匀平面波由空气向位于z=0平面的理想导体表面斜入射。已知入射波电场强度为

())

z 3x (j y e 20z ,x +

-=e E i

，在下图中画出入射波和反射波场强与磁场强度方向并判断该平面波为平行极

化波还是垂直极化波。并求：①波矢量i k

②平面波频率③入射角④反射波电场强度⑤反射波磁场强度⑥

空气中合成电场强度。

解：垂直极化波。

①z x z k y k x k iz iy ix 3+=++；1=ix k ，0=iy k ，3=iz k ；3z x i +=

②231222=+=++=

iz iy ix i k k k k ，λ

π

2=

i k ，ππλ==

i k 2，c f =λ，)(103

8Hz c f ?==π

λ ③ 因为i i ix k k θsin =，所以21sin ==

i ix i k k θ，6

300π

θ==i ④1-=⊥Γ，3z x r e e k -=，z x r k r 3-=?

())

3(20,z x j y e z x -

--=e E r

⑤

(

)()

)

3(0

3(00

310

202

3

11

z x j z x

z

x j y z x r r r e e e e -

--

-+-=-?-=

?=

ηηη

⑥

()

z e j e e jx y z x j y z x j y r i 3sin 402020)

3()

3(1--

-+

--=-=+=