讲义反比例函数1

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一般地，形如k

y x

=

(k 为常数，k 不等于零)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数或叫因变量，k

y x

=

也可以写成:,

.

要点诠释：

1、y=

k x 中分母x 的指数为1，如，2k

y x =就不是反比例函数； 2、y= k x

()可以写成()的形式，自变量x 的指数是-1，在解决有关自

变量指数问题时应特别注意系数这一条件；

3、y=

k x

()也可以写成

的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的

k ，从而得到反比例函数的解析式。两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键。

典例分析

1．下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数

2

3y x =

（ ）1

2y x -=（ ）1y x =（ ）31y x =-（ ）6xy =（ ）k y x

=（ ） 思楷教育学生辅导讲义

期末复习专题：反比例函数

32y x =

（ ）4x y =（ ） 12y x -=（ ）1

1y x =-（ ） 11y x

=- （ ） 2.下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 ( )

A.()12x y -=

B.12y x =

- C.21y x = D.1

7y x

=- 3.若函数()2

2

1n

y n x -=-是反比例函数，则n 的值是 ( )

A. ±1

B. -1

C. 1

D. 2

4.已知函数2

21

1k

k y k x --=-（）是反比例函数,你知道k 的值是多少吗

5.已知函数()21

1m y m x

-=-.请你探求当m 取何值时:

(1)该函数是正比例函数 (2)该函数是反比例函数

反比例函数 y=

x

k

(k ≠0) k 的符号 k>0 k<0

图象

性质 ①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0.

①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0.

1、点（3，4）在反比例函数

x

m

m

y

1

2

2-

+

=的图像上，则此函数还过点（）

A．（2，6） B．（2，-6） C．（4，-3） D．（3，-4）

2、已知反比例函数的图象经过点(2)

m，和(23)

-，，则m的值为．

要点诠释：

（1）反比例函数的图象是一条双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；

（2）若点(a,b)在反比例函数y=

k

x

的图象上，则点(－a,－b)也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；

（3）在反比例函数中由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．

典例分析：

1、如果反比例函数12m

y

x

-

=（m为常数）的图象在第二、四象限内，那么m的取值范围是（）

A．0

m< B．

1

2

m< C．

1

2

m> D．m≥

1

2

2、已知一次函数y = kx + b（0

k≠）的图象经过第一、二、四象限，则函数

kb

y

x

=的图象有（）

A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限

典例分析： 1. 函数1k

y x

-=

的图象过点P （1，2），则该函数图象在其所在的每个象限内，y 随x 的增加而 ．

2．反比例函数12k y kx -=，当x ＞0时，y 随x 而增大。 3．反比例函数2

2

(21)m

y m x -=-，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值是 ．

4.已知反比例函数1

y x

=-的图象上有两点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，且x 1

确的是( )

>y 2 =2 C

5．点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数2

y x

=-的图象上，若x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小

关系为（ ）．

A ．y 1＞y 2

B ．y 1＜y 2

C ．y 1 = y 2

D ．y 1与y 2的大小关系不能确定

6. 若点(x 1，y 1)、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）都是反比例函数1

y x

=-的图象上的点，并且x 1<0

则下列各式中正确的是（ ）

y 2>y 3

7.若点()12,y -、()21,y -、()31,y 都是反比例函数1

y x

=

的图象上的点,则下列各式中正确的是（ ）

>y 2>y 3 >y 1>3 C>y 1>y 2 >y 2>y 1

8. 反比例函数k

y x

=（k ＞0）的图象上的三个点（x 1，-1）（x 2，2）（x 3，3），则下列成立

的是（ ）

A ．x 1＜x 2＜x 3

B ．x 2＜x 1＜x 3

C ．x 1＜x 3＜x 2

D ．x 3＜x 2＜x 1

9．已知函数

21

a

y

x

--

=（a为常数）的图象上有三点（

-4，y1）（-1，y2）（2，y3）则函数值y1，y2，y3的大小关系是（）

A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2

10.已知反比例函数

2

y

x

=

，下列结论中，不正确的是（）

A．图象必经过点

(12)

， B．y随x的增大而减少

C．图象在第一、三象限内 D．若1

x>，则2

y<

11.在函数

3

k

y

x

--

=(k为常数，且0

k≠)的图象的一支在第四象限.

(1)图象的另一支在第几象限你能求出符合题意的k的取值范围吗

(2)图象上有三点(-1,y1)、

2

1

,

4

y

??

- ?

??

、

3

1

,

2

y

??

?

??

,你会比较y1、y2、y3的大小吗

要点诠释：

如图所示，过双曲线上任一点作轴、轴垂线段PM、PN，所得矩形PMON的面积。

∵

k

y

x

=，

y

A B

C

D O x

y

A B

C

D

x

∴ 。

∴

，即反比例函数()0k

y k x

=

≠中的比例系数k 的绝对值表示过双曲线上任意一点，作x 轴，y 轴的垂线所得的矩形的面积。

如图所示，过双曲线上一点Q 向x 轴或y 轴引垂线，则所得的三角形的面积

2AOQ

k S

=

，即反比例函数()0k

y k x

=≠中的比例系数k 的绝对值的一半表示过双曲线上任意一点，作x 轴（或y 轴）的垂线，并连接原点，所得的直角三角形的面积。

典例分析：

1.如图，点A 、B 是函数k

y x

=

(0k <)图象上的两点，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别是C 、D ，已知点O 是坐标原点，则△AOC 、△BOD 的面积S 1、S 2的大小关系是( )

>S 2 =2 C

y x

=

的图象上任意两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，过C 作y 轴的垂线交y 轴于D ，记Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则（ ）

=S 2 和S 2的大小关系不能确定

、B 是函数1

y x

=的图象上关于原点对称的任意两点，AC ∥y 轴，

交x 轴于点C ，BD ∥y 轴，交x 轴于点D ，设四边形ADBC 的面积为S ，则（ ）

=1 =2 ＜S ＜2 ＞2

4．如图，A 、B 是函数1y x

=的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平

行于y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积为S ，则（ ）

A ．S = 1

B ．1＜S ＜2

C ．S = 2

D ．S ＞2

要点诠释：

(1)、待定系数法，由于在反比例函数关系式k

y x

=

中，只有一个待定系数k ，只要确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入k

y x

=

中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式。 (2)用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：k

y x

=

(k ≠0)； ②根据已知条件，列出含k 的方程； ③解出待定系数k 的值； ④把k 值代入函数关系式k

y x

=

中。 典型例题：

1．一个反比例函数的图象经过点()3,4-，则其函数关系式是 .

2. 若函数y m m x m m =+--()23

2

是反比例函数，求其函数解析式。

点拨：反比例函数可写成y kx =-1

，在具体解题时应注意这种表达形式，应特别注意

对k ≠0这一条件的讨论。

3. 已知：y 与2x 成反比例，且当2x =-时，2y =，那么当4x =时，y 等于 ( ).

A. 0.5

B.2

C. -2

4. 已知：12y y y =-，1y 与2x 成反比例，2y 与1x -成正比例，且当1x =时1y =；当2

x =

时5

4

y =，求1x =-时y 的值.

5. （1）已知y y y =+12，而y 1与x +1成反比例，y 2与x 2

成正比例，并且x =1时，y =2；

x =0时，y =2，求y 与x 的函数关系式；

（2）直线l ：y kx b =+与y x =2平行且过点（3，4），求l 的解析式。

1. 函数y=

x

k

与y=kx+1(k ≠0)在同一坐标系内的大致图象是 （ ）

【解析】 列表分析如下：

2.在同一坐标系中，正比例函数y=(m-1)x 与反比例函数y=x

m

4的图象大致位置不可能是（ ）

。

【解析】 列表分析如下：

【点拨】 没有明确告诉系数符号，而要求选择确定函数图象的大致位置的问题，在中考试题中经常出现．不少同学对解答这类题感到困难．以上两例介绍一种简便易行的方法——列表分析法，即通过对所供选择的图象中代表的函数系数的符号列表分析，排除某些结论，进而得到正确答案．

3.已知反比例函数k

y x

=与一次函数y = 2x + k 的图象的一个交点的纵坐标是4-，则k 的

值为 ．

4.如图，反比例函数k y x

=与直线2y x =-相交于A 、B 两点，A 点的横坐标为-1，则两函数

图象另一个交点B 的坐标为（ ）

5.已知一次函数y ＝3x+m 与反比例函数y ＝

x

m 3

-的图像有两个交点. (1)当m 为何值时，有一个交点的纵坐标为6 (2)在(1)条件下，求两个交点的坐标.

点拨：(1)两个函数图像如果有交点，那么它们的交点坐标就是两个函数解析式联立方程组的解.(2)要求函数图像的交点坐标，解方程组即可.

6. 已知一次函数y=2x-k 的图象与反比例函数y=x k 5

+的图象相交，其中有一个交点的纵

坐标为-4，求这两个函数的解析式．

点拨：这是关于一次函数和反比例函数的综合题，解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾，它既在一次函数图象上，又在反比例函数图象上，从而转化为解二元一次方程组，问题得以解决．

1.如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m

y x

=

的图象交于()2,1A -、()1,B n 两点.(1)求两个函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围.

2. 如图14，已知(4)A n -，，(24)B -，

是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x

=的图象的两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式

(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求方程0=-

+x

m

b kx 的解（请直接写出答案）

； (4)求不等式0<-+x

m

b kx 的解集（请直接写出答案）.

3.函数1

k y x

=

与2y k x =（k 1，k 2为非零常数）的图象的如图所示，由图象可知：关于x 的不等式

1

2k k x x

<的解集是（ ） A ．2x > B ．22x -<< C ．20x -<<或2x > D ．2x >或2x <

4.已知反比例函数3m

y x

=-

和一次函数1y kx =-的图象都经过点(),3P m m -. (1)求点P 的坐标和两个函数的解析式；

(2)若点()

211,A a y --、()

223,B a y --是反比例函数图象上的点，请比较y 1与y 2.

5. 已知一次函数25y x =-的图象与反比例函数k

y x

= (0k ≠)的图象交于第四象限的一

点(),3P a a -.(1)求这个反比例函数的解析式.(2)当-6

1．如图，已知一次函数y = kx + b 的图象与反比例函数8y x

=-的图

象交于A 、B 两点，且A 的横坐标和点B 的纵坐标都是-2，则阴 影部分的面积是（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

2．已知一次函数8y x =-+和反比例函数k y x

=的图象在第一象限内有两个不同公共点A 、

B ，且△AOB 的面积S = 24，则该反比例函数的图象必过点（ ）

D

B

A

y

x

O

C A ．（2，4） B ．（-1，-7） C ．（1，6）

D ．（-1，7）

3．已知直线22y x =-与坐标轴交于A 、B 两点，反比例函数k

y x

=

的图象与该直线交于C 点，CD ⊥x 轴于点D ，若OAB BCD S S ??=，则k 值为（ ）

4. 如图,直线22y x =--与双曲线k

y x

=交于点A ，与x 轴、y

轴分别交于点B 、C ，AD ⊥x 轴于点D ，如果S △ADB =S △COB ,那么

k =______.

5. 已知点A （0，2）和B （0，2-），点P 在函数1

y x

=-的图象上，如果△PAB 的面积是6，

则P 点的坐标是 ．

6．如图所示，如果函数y x =-与4y x

=-的图象交于A 、B 两点，过点A

作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为 ．

7. 如图，已知双曲线(0)k y k x

=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的

中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ）

A ．12

B ．9

C ．6

D ．4

8. 如图，Rt ABC ?的锐角顶点是直线y x m =+与双曲线m

y x

=

在第一象限的交点，且S AOB ?=3 （1）求m 的值（2）求S ABC ?的值

9. 如图，已知反比例函数k

y x

=

的图象经过点()

3,A b -，过点A 作x 轴的垂线，垂足为O

y

A

B C

D

x

B ，△AOB

求k 和b 的值；(2)若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，且

与x 轴交于点C ，求△AOC 的面积.

10. 双曲线5

y x

=

在第一象限的一支上有一点()1,5C ，过点C 的直线y kx b =+(0k >)与x 轴交于点(),0A a .（1）求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式；（2）当该直线与双

曲线在第一象限内的另一交点D 的横坐标是9时，求△COA 的面积.

11. 已知：如图，一次函数y x b =+()0b ≠的图象与两坐标轴交于A 、B 两点，与函数2

y x

=

的图象交于C 、D 两点，由点C 向x 轴做垂线，垂足为E . （1）若△AOB 的面积是△OCD 的面积的一半，求C 点的坐标； （2）证明：不论b 取任何不为零的实数，AC ?BC 为定值； （3）延长CO 交函数2

y x

=的图象于M 点，试判断△CDM

1、某市的一处道路因受强降雨而造成1200cm3的塌方，某部队受命来重新修建好．

（1）重新修好所需的时间t（天）与每天完成的土石方V（m2）有怎样的关系

（2）部队共有官兵60人，每天最多完成土石方300 m3，预计部队最快可在几日内完成（3）部队连续工作了两天后，天气预报说未来的几天还可能会有强降雨，市里要求次日完成余下的任务，需要增加多少人才能按时完成

2、制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃），从

加热开始计算的时间为x（分钟），据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，y与时间x成反比例关系（如图），已知该材料操作加工前温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．

（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式．

（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么开始加热到停止操作，共经历了多长时间

3、为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系为t

a

y （a 为常数）。如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米和含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么

从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室