贝叶斯公式论文

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：贝叶斯公式公式在数学模型中的应用

院（系）理学院

专业数学与应用数学

年级2009级

姓名鲁威学号09031213

指导教师张俊超职称讲师

2013 年6月1 日

目录

摘要 (1)

Abstract (2)

前言 (3)

第一章贝叶斯公式及全概率公式的推广概述..................................... 错误！未定义书签。

1.1贝叶斯公式与证明 (5)

1.1贝叶斯公式及其与全概率公式的联系 (5)

1.3贝叶斯公式公式推广与证明 (6)

1.3.1贝叶斯公式的推广 (6)

1.4贝叶斯公式的推广总结 (7)

第二章贝叶斯公式在数学模型中的应用 (8)

2.1数学建模的过程 (8)

2.2贝叶斯中常见的数学模型问题 (9)

2.2.1 全概率公式在医疗诊断中的应用 (9)

2.2.2全概率公式在市场预测中的应用 (11)

2.2.3全概率公式在信号估计中的应用. ...................................... 错误！未定义书签。

2.2.4全概率公式在概率推理中的应用 (15)

2.2.5全概率公式在工厂产品检查中的应用 ................................ 错误！未定义书签。

2.3全概率公式的推广在风险决策中的应用 (17)

2.3.1背景简介 (17)

2.3.2风险模型 (18)

2.3.3实例分析 (18)

第三章总结 (21)

3.1贝叶斯公式的概括 (21)

3.2贝叶斯公式的实际应用 (21)

结束语 (23)

参考文献 (24)

后记 (25)

摘要

贝叶斯公式在概率论这本书中占有很高的位置，在概率论的运算中也有着不可替代的位置。本文详细的对贝叶斯公式进行了深入的探究，而且列举了一些生活中的实例来说明了他的运用以及他所使用的生活模型，便于以后我们更好深入的理解贝叶斯公式我们必须先要了解全概率公式以及它在实际生活中的运用。简单的贝叶斯公式并不能满足生活中的需求，所以我们把贝叶斯公式进行了深入的了解，并用实际例子证明了贝叶斯公式推广后的公式在生产生活中所适合的模型比以前的贝叶斯公式更加的广阔。数学建模是一种科学的思维方法，随着社会的发展，数学模型运用于各学科以及各领域.本文通过对一些典型题的分析研究。总体概括出贝叶斯公式和贝叶斯公式的推广在数学模型中实际运用.构造数学模型更准确的利用贝叶斯公式求解问题的分析问题的方法、解决问题的步骤。

关键词贝叶斯公式；全概率公式；数学模型；

Abstract

The bayes formula is one important formulas in theory of probability, has a important role in the calculation of probability theory. Carefully analyzed in this paper, the bayes formula, and illustrates his usage and the applicable scheme, in order to better understand the bayes formula we need to introduce the whole probability formula. In order to solve practical problems, we will be the bayes formula for promotion, promotion after the formula in practical application is illustrated by an example of the applicable model wider than the original formula. Mathematical modeling is a kind of scientific thinking method, with the development of the society, the mathematical model used in various disciplines, and in various fields. In this article, through analysis and study of some typical questions. Summarizes the bayes formula and bayes formula promotion application in mathematical model. Mathematical model is set up and better using the bayes formula to solve the problem analysis, problem solving steps.

Key words ：The bayes formula; Full probability formula; Mathematical model;

前言

贝叶斯公式在概率论一书中占有很中要的位置，它集中用于计算相对繁琐事件的发生概率,它本质上是乘法公式和加法公式的总体运用。概率论与数理统计是探索随即状况统计规律的一门现代数学学科出现于十几世纪。从出现这一门学科以来，已经开始深入到各个科学领域当中并有着举足轻重的位置。从十七世纪到现在很多国家对这个公式有了很多方面的研究。很长时间以来，由于许多这方面工作人员的积极工作，使概率论与数理统计在理论方面有了更深一步的进展，在实际生活中的应用也更加的宽泛了，促成了大小不一的许多分支，在当代数学中有着不可替代的独特位置。贝叶斯公式是在1763年由贝叶斯（Bayes）这位伟大的数学家发现的，它的实质是观察到事件A已经出现的情况下，寻求致使A出现的每个原因的概率.这个公式在我们的生活中有很多的应用在论文中我将逐一介绍。贝叶斯公式可以有助于人们了解一个结果（事件 A）出现的最大的可能性。运用贝叶斯公式我们可以更加简单明了的计算生活中遇到的一些数学问题，她在数学计算中有着很宽泛的应用。其本质就是在将各种前提引进的情况下，先将所给出的样本空间 分成若干份，并可以简单明了的计算出所需结果的概率，最后加以分析得出结果。

在当今社会中，随着发展的飞速前行，市场需求的突飞猛进，领导者不能在着眼于以前的生产信息，而是应该把过往的和现在的生产信息一同考虑分析，做出个比较全面的决策。决定性概率分析越来越显示其重要性。而在其中贝叶斯公式的主要用途就是用于处理先验概率与后验概率，是进行决策的重要工具。

贝叶斯公式可以用来解决医学、市场预测、信号估计、概率推理以及产品检查等一系列不确定的问题。本文首先分析了贝叶斯公式的概念，再用贝叶斯公式来解决实际中的一些问题。然后将贝叶斯公式推广，举例说明推广后的贝叶斯公式在实际应用中所适用的概型。

概率论对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显著特征。利用数学方法充分利用好贝叶斯公式及其推广形式，定量的对医学问题进行相关分析，使其结论更加有可信度，更有利于促进对病人的对症施治。利用好贝叶斯公式可以用来解决投资、保险、工程等一些列问题中，公式及其推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机实验中目标事件及其条件下诱发事件的概率，有助于把握随机事件相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。灵活使用贝叶斯公式会给我们的解题带来很大方便，而这些推广形式将进一

步拓展贝叶斯公式的适用范围，称为我们解决更复杂问题的有效工具。

本文研究了六类数学模型，阐述了贝叶斯公式及推广的全概率公式在：产品检验模型，销售、决策模型，摸球模型，实际比赛模型，医疗诊断模型，金融保险模型中的应用。财产保险的保险标准的复杂变性,使得保险精算中赔款额的估计异常重要,通过应用推广的全概率公式,本文对存在保险责任判定概率的赔款额进行数学建模,并由计算实例来阐述相关结论.全概率公式在数学模型中的应用远远不止这些，本文只是从他的某些方面做了一个概括，总的说来，全概率公式是概率当中一个非常重要而且实用的一个公式，能够在我们的生产实际中发挥着举足轻重的作用。用数学方法，充分利用好全概率公式在数学模型中的应用与推广形式。定量的对实际生活中的问题进行相关分析，使其结论更具可信度。更有利于促进对病人的对症施治,利用好全概率公式可以用来解决投资,保险,工程等一系列不确定的问题中,全概率及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率,有助于把握随机事件间的相互影响关系,为生产实践提供更有价值的决策信息,灵活使用全概率公式会给我们的解题带很大方便,而这些推广形式将进一步拓展全概率的活用范围,成为我们解决更复杂问题的有效工具。

第一章 贝叶斯公式及全概率公式的推广概述

1.1 贝叶斯公式与证明

设12,...,n B B B 为Ω 的一个分割，即12,...,n B B B 互不相容，且1n

i i B ==Ω ，如果P( A ) > 0 ，

()0i P B = (1,2,...,)i n = ,则1()(/)

(/),1,2,...,()(/)i i i n j j

j P B P A B P B A i n P B P A B ===∑。

证明 由条件概率的定义（所谓条件概率，它是指在某事件B 发生的条件下，求另一事件A 的概率，记为(/)P A B ） ()(/)()

i i P AB P B A P A = 对上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式,

()()(/)i i i P AB P B P A B =

1()()(/)n

i i j P A P B P A B ==∑ 1()(/)

(/),1,2,...,()(/)i i i n j j

j P B P A B P B A i n P B P A B ===∑

结论的证。

1.2 贝叶斯公式及其与全概率公式的联系

在介绍了贝叶斯公式以后还得介绍下全概率公式，因为全概率公式和贝叶斯公式是一组互逆公式接下来先来看下全概率公式的概念。

设n B B B ,,21为样本空间Ω的一个分割，即n B B B ,,21互不相容，且Ω==i n

i B U 1，如果

n i B P i .,2,1.0)( =>，则对任一事件A 有∑==n

i i i B A P B P A P 1)|()()(

证明：因为

)()(11i n

i i n i AB B A A A U U ====Ω=

且n AB AB AB ,,2,1 互不相容，所以由可加性得

∑====n i i i n i AB P AB P A P U 11)

())(()(

再将n i B A P B P AB P i i i ,,2,1),|()()( ==代入上式即得∑==n

i i i B A P B P A P 1

)|()()(

由证明可以知道全概率公式其实就是贝叶斯公式的一种变形，它与贝叶斯公式是互逆应用的。它与贝叶斯公式一样在实际生活中也有很广泛的应用。下面来探讨贝叶斯公式在一下几个方面的应用。

1.3 贝叶斯公式推广与证明

1.3.1贝叶斯公式的推广

设当试验的随机过程不少于两个的时候，在影响目标事件的每一个试验过程中分别建立完备事件组，贝叶斯公式就可以进一步推广.

1.3.2贝叶斯公式推广定理

设(1,2,)i A i n = 和(1,2,,)j B j n = 是先后两个试验过程中的划分，

C 为目标事件.当()0,P C >()0,i P A >()0i P B >,()0i j P AB >,1,2,,,1,2,,i n j m == 时，则

有：

（1）1()(|)(|)(|),1,2,()m

i j i i j j i P A P B A P C A B P A C i n P C ==

=∑

（2）1()(|)(|)(|),1,2,()

n i

j i i j i j P A P B A P C A B P B C j m P C ===∑ （3）()(|)(|)

(|),1,2,,1,,()

i j i i j i j P A P B A P C A B P A B C i n j m P C === 证明：（1）：1()()(|)()()m i j j i i P A B C P AC P A C P C P C ===∑=1

()(|)(|)

()m

i j i i j j P A P B A P C A B P C =∑

同理可以证明（2）、（3）.

1.4 贝叶斯公式推广总结

整理文献之后，能把贝叶斯公式归为两种形式，事件型和随机变量型，这是就样本本身的性质而言的。

上述推广结论，是由不同的技巧推广而来的。从公式的条件出发，讨论拓宽公式应用的面。在经典的贝叶斯公式当中要求事件列是“互不相容”的，这方面削弱了这一条件给出广义的贝叶斯公式，无论相容与否都可以直接计算。从公式的形式出发，增加公式的灵活度。例如：在经典的贝叶斯公式中，样本是离散的，但是实际计算当中，遇到复杂事件的时候，就不太实用了，这时候可以把全概率公式推广到随机变量的情形。当然，随机变量有可能是离散的，或者是连续的，也可能是混合型随机变量，所以我们就可以再利用分布律来求解有关问题。从公式的计算辅助出发，创新的利用公式的推广。用在风险模型的改进、风险计算和风险过程的分析当中。但是，我们可以发现，随机变量的贝叶斯公式的推广结论，要明显少于事件型的推广结论。这一方面是，随机过程是一门很深很难的学科，另一方面，贝叶斯公式还是局限在概率的计算这个问题当中，用于例子的一般计算，采用

事件型就能够完成。

不过，随着各个学科的相互渗透，事件型概率虽然已经有这么多的推广形式值得我们学习和借鉴，但是当遇到实际问题时，还是要对贝叶斯公式形式作一些新的变化，使之能更好的为我们的计算和研究服务。

第二章贝叶斯公式在数学模型中的应用

数学是一切科学和技术的基础，是研究现实世界数量关系，空间形式的科学。随着社会的发展，电子计算机出现和不断完善，数学不但运用于自然科学各学科，各领域，而且渗透到经济，管理以至于社会科学和社会活动的各领域，众所周知，利用数学解决实际问题，首先要建立数学模型，然后才能在该模型的基础上对实际问题进行分析，计算和研究。

数学建模活动是讨论建立数学模型和解决实际问题的全过程，是一种数学思维方式。

2.1数学建模的过程

数学建模的过程是通过对现实问题的简化，假设，抽象提炼出数学模型，然后运用数学方法各计算机工具等，得到数学上的解答，再把它反馈到现实问题给出解释，分析，并进行检验，若检验结果符合实际或基本符合，就可以用来指导实践否则再假设，再抽象，再修改，再求解再应用，构造数学模型不是一件容易的事，其建模过程和技巧具体主要包括以下步骤

模型准备

在建模前要了解实际问题的背景，明确建模的目的和要求深入调研，去粗取精，去伪存真，找出主要矛盾，并按要求收集必要的数据。

模型假设

在明确目的，掌握资料的基础上，抓住复杂问题的主要矛盾，舍去一些次要因素，对实际问题做出几个适当的假设，使复杂的实际问题得到必要的简化。

建立模型

首先根据主要矛盾确定主要变量，然后利用适当的数学工具刻画变量间的关系，从而形成数学模型模型要尽量简化，不必复杂，以能获得实际问题的满意解为标准。

模型检验

建模后要对模型进行分析，用各种方法求得数学结果，将所求得的答案返回到实际问题中去检验其合理性，并反复修改模型的有关内容，使其更切合实际，从而更具有实用性。

模型应用

用建立的模型分析，解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。总之数学建模是一种创造性劳动，成功的模型往往是科学与艺术的结晶，一个好的数学模型应该具有以下特点:考虑全面，抓住本质；新颖独特，大胆创新，善于检验，结果合理。而模型检验一般包括下列几个方面，稳定性和敏感性分析，统计检验和误差分析新旧模型的比较实际可行性检验因此数学建模的分析方法和操作途径不可能用一些条条框框规定得死板，下面通过实例探析建模过程与技巧。

2.2 贝叶斯中常见的数学模型问题

贝叶斯公式可以作如下解释：假定有n 个两两互斥的“原因” 12,,...,n A A A 可引起同一

种“现象”B 的发生，若该现象已经发生，利用贝叶斯公式可以算出由某一个原因(1,2,...,)i A j n =所引起的可能性有多大，如果能找到某个i A ，使得

{}(/)=max (/)j i P A B P A B

1i n ≤≤

则j A 就是引起“现象” B 最大可能的“原因”。 生活中经常会遇到这样的

情况，事件A 已发生,我们需要判断引起A 发生的“原因”这就需要用到贝叶斯公式来判断引起A 发生的“原因”的概率。贝叶斯决策就是在不完全情报下，对部分未知的状态用主观概率估计，然后用贝叶斯公式对发生概率进行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最优决策。

2.2.1贝叶斯公式在医疗诊断上的应用

例1 某地区肝癌的发病率为0.0004，先用甲胎蛋白法进行普查。医学研究表明，化验结果是存在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病）。现某人的检查结果呈阳性，问他真患肝癌的概率是多少？

解 记B 事件“被检查者患有肝癌”， A 为事件“检查结果为阳性”，有题设知

()0.0004P B = ()0.9996P B =

(/)0.99P A B = (/)0.001P A B =

我们现在的目的是求(/)P B A ，由贝叶斯公式得 ()(/)(/)()(/)()/)P B P A B P B A P B P A B P B PA B =

+ 0.00040.990.00040.990.99960.001

??+?= 0.284=

这表明，在检查结果呈阳性的人中，真患肝癌的人不到30%。这个结果可能会使人吃惊，但仔细分析一下就可以理解了。因为肝癌发病率很低，在10000人中越有四人，而约有9996人不患肝癌。对10000个人中，用甲胎蛋白法进行检查，按其错检的概率可知，9996个不患肝癌者中约有约有9996?0.001?90996个呈阳性。另外四个真患肝癌者的检查报告中约有4?0.99?3.96个呈阳性，仅从13.956个呈阳性者中看出，真患肝癌的3.96人约占28.4%。

进一步降低错检的概率是提高检验精度的关键，在实际中由于技术和操作等种种原因，降低错检的概率有事很困难的。所以在实际中，常采用复查的方法来减少错误率。或用另一些简单易行的辅助方法先进行初查，排除了大量明显不是肝癌的人后，再用甲胎蛋白法对被怀疑的对象进行检查，此时被怀疑的对象群体中，肝癌的发病率已大大提高了，譬如，对首次检查得的人群再进行复查，此时()P B =0.284，这时再用贝叶斯公式计算得 0.2840.990.2840.990.7160.001

(/)P B A ??+?= 0.997=

这就大大提高了甲胎蛋白法的准确率了。

在上面的例子里面，如果我们将事件B (“被检查者患有肝癌”)看作是“原因”，将事件A （“检查结果呈阳性”）看作是最后“结果”。则我们用贝叶斯公式在已知“结果”的条件下，求出了“原因”的概率(/)P B A 。而求“结果”的（无条件）概率()P A ,用全概率公式。在上例中若取()P B =0.284，则

()()(/)()/)P A P B P A B P B PA B =+

0.2840.990.7160.001=?+?

0.2819=

条件概率的三公式中，乘法公式是求事件交的概率，全概率公式是求一个复杂事件的概率，而贝叶斯是求一个条件概率。

在贝叶斯公式中，如果()i P B 为i B 的先验概率，称(/)i P B A 为i B 的后验概率，则贝叶

斯公式是专门用于计算后验概率的，也就是通过A 的发生这个新信息，来对i B 的概率作出

的修正。

评注：此例子是现实生活中很常见的一个例子。用了两次贝叶斯公式，第一次利用贝叶斯公式计算出检出是阳性然后患肝癌的概率，第二次利用贝叶斯公式计算出利用甲胎蛋白检测的准确率。通过计算出来的概率，人们采用有效的方法降低错检的概率。使人们的生命财产得到更多的保障。

2.2.2 贝叶斯公式在市场预测中的应用

例2、我们知道，国外的旧车市场很多。出国留学或访问的人有时花很少的钱就可以买一辆相当不错的车，开上几年也没问题。但运气不好时，开不了几天就这儿坏那儿坏的，修车的钱是买车钱的好几倍，经常出毛病带来的烦恼就更别提了。

为了帮助买旧车的人了解各种旧车的质量和性能，国外出版一种专门介绍各品牌旧车以及各年代不同车型各主要部件质量数据的旧车杂志。比如有个买主想买某种型号的旧车，他从旧车杂志上可发现这种旧车平均有30%的传动装置有质量问题。除了从旧车杂志上寻找有关旧车质量的信息外，在旧车市场上买旧车时还需要有懂车的内行来帮忙。比如可以找会修车的朋友帮助开一开，检查各主要部件的质量。因为旧车杂志上给出的是某种

车辆质量的平均信息，就要买的某一辆来讲可能是好的传动装置，也可能会有问题。比较常见的方法是花一点钱请个汽车修理工帮助开几圈，请他帮助判断一下传动装置和其他部件的质量。当然，尽管汽车修理工很有经验，也难免有判断不准的时候。假定从过去的记录知道某个修理工对于传动装置有间题的车，其中90%他可以判断出有问题，另有10%他发现不了其中的问题。对于传动装置没问题的车，他的判断也差不多同样出色，其中80%的车他会判断没问题，另外的20%他会认为有问题，即发生判断的错误。根据这些已知信息请你帮助买主计算如下的问题：

1、若买主不雇用修理工，他买到一辆传动装置有问题的车的概率是多少?

2、若买主花钱雇修理工帮他挑选和判断，当修理工说该车“传动装置有问题”时该车传动装置真有问题的概率是多少?

3、当修理工说该车“传动装置没问题”时而该车传动装置真有问题的概率是多少?

解 1、问题是简单的，即有30%的可能性买到一辆有传动装置间题的旧车，我们在这里只利用旧车杂志的信息。

第2问和第3问是贝叶斯估计或者利用贝叶斯公式进行决策的问题。

2、我们知道，贝叶斯公式是个条件概率的公式，即

1

()(/)

(/)()(/)i i i k j

j j P A P B A P A B P A P B A ==∑

其中(/)i P A B 称为事件i A 的后验概率，即在已知事件B 发生条件下事件i A 发生的概

率；()i P A 是事件i A 的先验概率；(/)i P B A 称为样本信息，即在i A 发生条件下事件B 的概

率。对于第2问，我们不妨令：

1A =实际有问题，2A =实际没问题

1B =修理工判断“有问题”， 2B =修理工判断“没问题”

则可将贝叶斯公式改写成：

(/P 实际有问题修理工判断“有问题”）

((/=((/+((/P P P P P P 实际有问题）修理工判断“有问题”实际有问题）

实际有问题）修理工判断“有问题”实际有问题）实际没问题）修理工判断“有问题”实际没问题）

111111212()(/)=()(/)()(/)

P A P B A P A P B A P A P B A + 根据已知条件，计算式中各项的概率分别为：

1()(=0.3P A P =实际有问题）

2()(=0.7P A P =实际没问题）

11(/)(=0.9P B A P =修理工判断“有问题”/实际有问题）

12(/)(=0.2P B A P =修理工判断“有问题”/实际没问题）

21(/)(=0.1P B A P =修理工判断“没问题”/实际没问题）

22(/)(=0.8P B A P =修理工判断“没问题”/实际没问题）

代入上式

(/P 实际有问题修理工判断“有问题”） 111111212()(/)=()(/)()(/)

P A P B A P A P B A P A P B A + 0.30.9=0.30.9+0.70.2

??? =0.66

这个结果表明，当修理工判断某辆车的传动装置“有问题”时，实际有问题的概率为0.66，即修理工的判断有问题使得真有问题的概率由0.30增长到0. 66。

3、(/P 实际有问题修理工判断“没问题”）

((/=((/+((/P P P P P P 实际有问题）修理工判断“没问题”实际有问题）

实际有问题）修理工判断“没问题”实际有问题）实际没问题）修理工判断“没问题”实际没问题）

111121222()(/)=()(/)()(/)

P A P B A P A P B A P A P B A + 由问题2知道

(/P 实际有问题修理工判断“没问题”）

121121222()(/) =()(/)()(/)

P A P B A P A P B A P A P B A + 0.10.3=0.30.1+0.70.8

???

=0.05

这个结果表明，当修理工判断某辆车的传动装置“没问题”时，实际有问题的概率为0.05，即修理工的判断没问题而实际上有问题的概率由0.3下降到0.05。

评注 这是一个生活中很常见的问题。利用贝叶斯公式计算出买主花钱雇修理工帮他挑选和判断，当修理工说该车“传动装置有问题”时该车传动装置真有问题的概率，当修理工说该车“传动装置没问题”时而该车传动装置真有问题的概率。如果买主没有请修理工，他买到的旧车有质量问题的概率高达0.3，但是如果请修理工帮忙试车的话买到的旧车有质量问题的概率却可以降到0.05。这样不仅为买主剩下较多修车的钱，还帮助买主避免了日后的很多麻烦。

2.2.3 贝叶斯公式在信号估计中的应用

例3 背景：1948年，美国科学家香农发表了著名的论文《通信的数学理论》。世界上第一个给通信系统建立了数学模型。他认为通信系统由以下几个基本要素组成：信源、信道、编码、译码和干扰源。

信源指产生信息的来源。信道指传递信息的通道。将噪声统一为干扰源。编码是从消息到信号的函数，而译码是从信号到消息的函数。

因为信源发出什么消息是随机的，所以信源发出的消息可用随机变量来表示，于是可以用随机变量的分布律来描述信源。

信道由三个因素构成：输入信号，输出信号，以及输入信号与输出信号间的统计联系转移概率。转移概率一般用转移概率矩阵表示。

当信源发出某个消息后，由编码转变为信号，信号通过信道，因为信道中存在干扰，所以进入信道的是某个信号，从信道出来的可能不再是这个信号。那么自然我们要问，当接收到一个信号后，进入信道的信号是什么？

解 建模：有一个通信系统，假设信源发射0、1两个状态信号（我们将编码过程省略），其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。无论信源发送的是什么，接收端可能接收到的是0，1，或“不清”。它的转移概率矩阵为：

0.90.050.050.050.850.1??????

分析: 利用贝叶斯公式求解， 设事件A 表示信源发出“0”的信号，A 表示信源发出“1”的信号，B 表示接收到一个“1”的信号。当B 发生后，分别计算事件A 与事件A 的概率。 由贝叶斯公式：

()(/)(/)()(/)()(/)

P A P B A P A B P A P B A P A P B A =+ 0.067=

()(/)(/)()(/)()(/)

P A P B A P A B P A P B A P A P B A =+ 0.933=

因为 (/)(/)P A B P A B <，即接收到信号“1”后，信源发出的是“0”的可能性

比信源发出的是“1”的可能性小得多，所以我们应该判断信源发出的信号是“1”。 评注 某一信号在传输后得到各种信号的概率称为转移概率（包括得到它自身）。此例子运用贝叶斯公式，求得当B 发生后，分别计算事件A 与事件A 的概率，人们通过此概率可以做出最好的决策。

2.2.4 贝叶斯公式在概率推理中的应用

例4、有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4，而他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机迟到的概率分别是0.25，0.3，0.1，0，实际上他是迟到了，推测他坐那种交通工具来的可能性大。

解 设1{A =做火车来｝ 2{A =坐船来｝

3{A =坐汽车来｝ 4{A =坐飞机来｝

{B =迟到｝

1()0.3P A = 2()0.2P A =

3()0.1P A = 4()0.4P A =

1(/)0.25P B A = 2(/)0.3P B A =

3(/)0.1P B A = 4(/)0P B A =

由贝叶斯公式分别可以算得 11141

()(/)

(/)()(/)i i

i P A P B A P A B P A P B A ==∑

0.30.250.30.250.20.30.10.10.40

?=?+?+?+? 0.30.250.51720.145?=

≈

22241()(/)

(/)()(/)i i

i P A P B A P A B P A P B A ==∑

0.20.30.41840.145

?=

≈ 333411()(/)

(/)()(/)i

i P A P B A P A B P A P B A ==∑

0.10.10.06900.145

?=

≈ 33441()(/)

(/)0()(/)i i

i P A P B A P A B P A P B A ===∑

比较以上四个概率值，可见他坐火车和坐船的概率大，坐汽车的可能性很小，且不可能是坐飞机过来的。

评注 此例子运用了四次贝叶斯公式，用所求出的概率判断某人迟到了，选择了何种交通工具的可能行最大。由果索因,果是某人迟到了，因是某人选择了那种交通工具。

2.2.5 贝叶斯公式在工厂产品检查中的应用

例5、某厂生产的产品次品率为0.1%，但是没有适当的仪器进行检验，有人声称发明一种仪器可以用来检验，误判的概率仅为5%.试问厂长能否采用该人所发明的仪器?

分析：“5%的误判率”给检验带来怎样的可信度，这是厂长决策的依据，即弄清“被检验出的正(或次)品中实际正(或次)品率”.

解：设事件A 表示“客观的次品”，事件B 表示“经检验判为次品的产品”，由题意知： ()0.001P A =,()0.999P A =，(|)0.95P B A =,(|)0.05P B A =.

由贝叶斯公式可计算“被检验出的次品中实际次品率”为： ()(|)

(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A =+ 0.0010.950.0010.950.9990.05

?=?+?

0.018664≈

同理，“被检验出的正品中实际正品率”为： (|)0.999947P A B ≈

由(|)0.018664P A B =可知，如果产品的成本较高，厂长就不能采用这

仪器，因为被仪器判为次品的产品中实际上有98%以上的是正品，这样导致损耗过高.同时，我们也注意到该仪器对正品的检验还是相当精确的，若检验对产品没有破坏作用，倒是可以在“被认定次品”的产品中反复检验，挑出“假次品”，这就降低了损耗，又保证了正品具有较高的可信度.

2.3贝叶斯公式的推广在风险决策模型中的应用

2.3.1背景简介

信息是决策的基础。由于市场环境中存在大量不确定因素和决策者本身知识能力的限制，再加上统计信息的不充分，决策者往往无法掌握与决策有关的所有信息，的决策必然

会给决策者带来某种程度的风险。信息是减少风险的有力手段。!信息越充分，决策环境的不确定性越小，风险也就越小。于是贝叶斯公式在风险决策中作为判断风险大小的工具就显的尤为重要。

2.3.2风险模型

以离散情况为例，设风险决策问题为：（),,Q A Ω），状态集=Ω{},i x n i ,,2,1Λ=,行动集{}n k a A k ,,2,1,Λ==，收益/损失函数为().,k a x Q Q i =状态变量的先验分布为

().,,2,1,s i x P i Λ=，决策信息值为.,,2,1,s j y j Λ=。决策信息值的准确率为：()i j x y p ，即在状态值i x 的条件下，信息值j y 的准确率。则状态变量的后验分布的贝叶斯公式为：()i j x y p =()()

()()∑=n i i i j i i j x p x y

p x p x y p 1.

2.3.3实例分析

某厂商要确定下一计划期内产品的生产批量，有三种方案可供选择，即大批量生产（A ）、中批量生

产（B ）、小批量生产（C ）。市场的销路状态有三种：销路好（1x ）、销路一般（2x ）、销路差（3x ），根据以前的资料，销路状态分布为()3.01=x p ，(),5.02=x p ()

2.03=x p 三种生产方案在不同需求状态下的收益如下表所示：