高中数学人教A版必修5 2.4.2等比数列的性质学案
高中数学人教A版必修5
第二章数列
2.4等比数列
2.4.2等比数列的性质学案
【课前自主学习】
预习课本P53练习第3、4题，思考并完成以下问题。
等比数列的运算性质是什么是什么？
【新知梳理?夯实知识基础】
等比数列的性质
(1)若数列{a n}，{b n}是项数相同的等比数列，则{a n·b n}也是等比数列．特别地，若{a n}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·a n}也是等比数列．
(2)在等比数列{a n}中，若m＋n＝p＋q，则a m a n＝a p a q.
(3)数列{a n}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．
(4)在等比数列{a n}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q k＋1.
(5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，a m，a n，a p成等比数列．
【学练结合】
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积()
(2)当q>1时，{a n}为递增数列()
(3)当q＝1时，{a n}为常数列()
解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确．
(2)错误，当q>1，a1>0时，{a n}才为递增数列．
(3)正确，当q ＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列． 答案：(1)√ (2)× (3)√
2．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( )
A ．等差数列
B ．以q 为公比的等比数列
C ．以q 2为公比的等比数列
D ．以2q 为公比的等比数列 解析：选C 因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n
＝q 2
为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列．
3．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3
D ．±21 3
解析：选B ∵{a n }成等比数列． ∴a 4，a 6，a 8成等比数列 ∴a 26＝a 4·
a 8，即a 8＝212
7＝63.
4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________.
解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 2
4， ∴a 24＋a 28＝41，
又a 4a 8＝4，
∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49，
∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：7
【学以致用?探究解题方法】 题型一 等比数列的性质
[典例] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )
A ．10n
B ．n 10
C ．100n
D ．n 100
(2)在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________． [解析] (1)设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2， 则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n
2＝10n .
(2)因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213， 又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29. 因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2. 所以a 7＝a 8
q ＝256. [答案] (1)A (2)256
[解题规律总结]
[活学活用]
1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5
D ．－7
解析：选D 因为数列{a n }为等比数列， 所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立???
a 4＋a 7＝2，
a 4a 7＝－8，
解得??? a 4＝4，a 7＝－2或???
a 4＝－2，a 7＝4，
所以q 3＝－1
2或q 3＝－2， 故a 1＋a 10＝a 4
q 3＋a 7·q 3＝－7.
2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且4a 2a 8＝a 24，a 2＝1，则a 6＝( ) A.18 B.116 C.132
D.164
解析：选B 由4a 2a 8＝a 24，得4a 25＝a 24，∴q ＝12，∴a 6＝a 2
q 4
＝116.
题型二 灵活设元求解等比数列问题
[典例] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．
(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．
[解析] (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即
?
??
2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，
2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)， 整理得???
a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6，解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，
其和为45.
[答案] 45
(2)解：法一：设前三个数为a
q ，a ，aq ， 则a q ·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6. 因此前三个数为6
q ，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝2 3.
故所求的四个数为9,6,4,2.
法二：设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为1
4(4－d)
2，由题意知
1
4(4－
d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2. [解题规律总结]
[活学活用]
在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为()
A．－4或35
2B．4或
35
2
C．4 D．171 2
解析：选B设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为a2 2.
由a，a2
2，20成等差数列得2×
a2
2＝a＋20.
∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 2
2＝4. 当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝35
2.
题型三 等比数列的实际应用问题
[典例] 某工厂2016年1月的生产总值为a 万元，计划从2016年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？
[解] 设从2016年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %，
∴a n ＋1
a n
＝1＋m %.
∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列．∴a n ＝a (1＋m %)n －1. ∴2017年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．
[解题规律总结]
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
[活学活用]
如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，
依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.
解析：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×? ????22n ，故a 7＝2×? ??
??226＝14.
答案：1
4
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第二章 数列 2.4等比数列
2.4.2等比数列的性质同步检测
基础达标题
1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )
A ．－24
B ．0
C ．12
D ．24
2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )
A ．a 1，a 3，a 9成等比数列
B ．a 2，a 3，a 6成等比数列
C ．a 2，a 4，a 8成等比数列
D ．a 3，a 6，a 9成等比数列
3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1 a 7 等于( ) A.5 6 B.65 C.23 D.32 4．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以1 2为首项的等比数列，则m n ＝( ) A.23 B.32或23 C.32 D ．以上都不对 5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000 D ．－10 000 6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成 等比数列，则此未知数是________． 7．设数列{a n}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________. 8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 9．在由实数组成的等比数列{a n}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q. 10．在正项等比数列{a n}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{a n}的通项公式． 能力达标题 1．在等比数列{a n}中，T n表示前n项的积，若T5＝1，则() A．a1＝1B．a3＝1 C．a4＝1 D．a5＝1 2．已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于() A．2 B．4 C．8 D．16 3．在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b7·b8＝3，则log3b1＋log3b2＋…＋log3b14 等于() A．5 B．6 C．7 D．8 4．设各项为正数的等比数列{a n}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝() A．230B．210 C．220D．215 5．已知{a n}为公比q＞1的等比数列，若a2 015和a2 016是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2 017＋a2 018的值是______． 6．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实 数成等比数列，则a2－a1 b2＝________. 7．已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，由{a n}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，ab n，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{b n}的通项公式． 8．已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，且a n＋1＝2a n＋3a n－1(n≥2，n∈N*)． (1)设b n＝a n＋1＋a n(n∈N*)，求证{b n}是等比数列； (2)求数列{a n}的通项公式． 高中数学人教A版必修5 第二章数列 2.4等比数列 2.4.2等比数列的性质同步检测解析 基础达标题 1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 解析：选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24. 2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列 解析：选D 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3 ＝a 9 a 6 ＝q 3， 即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D. 3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1 等于( ) A.5 6 B.65 C.23 D.32