求二次函数解析式_综合题_练习+答案

2014超越辅导求二次函数解析式：综合题

例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，

1)，求抛物线的解析式．

分析：本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法．

如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，

0)．那么显然有

∴x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．因此，有

ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2) ∴抛物线的解析式为

y=a(x-x1)(x-x2) (*)

(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)

我们将(*)称为抛物线的两根式．

对于本例利用两根式来解则更为方便．

解：∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)

∴设抛物线的解析式为

y＝a(x＋1)(x-1)

又∵抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1

∴函数解析式为y=-x2＋1．

说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：

①三项条件确定二次函数；

②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；

③二次函数的解析式有三种形式：

究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定．

例2 由右边图象写出二次函数的解析式．

分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点．

解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)．

设解析式为y=a(x＋1)2+2

∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为y=-2(x+1)2+2，即y=-2x2-4x．

说明：已知顶点坐标可以设顶点式．

本题也可设成一般式y=ax2+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，

本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为y=a(x+2)2x

再将顶点坐标(1，2)代入求出a．

例3 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x 增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2．

分析：(1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2

解：

(1)设y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)

∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8

∴解析式y=2x2+4x-6

(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．

(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y随x增大而减小

∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n

∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)

说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx＋c，得：

题(2)充分利用对称性可简化计算．

例4 已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，±2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法．解法(一)：

∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，

∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．

故设二次函数式y=a(x＋1)2＋2

或y=a(x+1)2-2

又∵抛物线经过点A(-3，0)

∴0=a(-3＋1)2＋2或0=a(-3＋1)2-2

所求函数式是

解法(二)：

根据题意：设函数解析式为y=ax2＋bx＋c ∵点A(-3，0)在抛物线上

∴0=9a-3b＋c ①

又∵对称轴是x=-1

∵顶点M到x轴的距离为2

解由①，②，③组成的方程组：

∴所求函数的解析式是：

解法(三)：

∵抛物线的对称轴是x=-1

又∵图象经过点A(-3，0)

∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)

∴设函数式为y=a(x+3)(x-1)

把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得2=a(-1＋3)(-1-1)或-2=a(-1＋3)(-1-1)

解关于a的方程，得

∴所求函数式为：

说明：比较以上三种解法，可以看出解法(一)和解法(三)比解法(二)简便．

M点到x轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是-2，不要漏掉一解．

例5 已知抛物线y=x2-6x＋m与x轴有两个不同的交点A和B，以AB为直径作⊙C，

(1)求圆心C的坐标．

(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在⊙C上，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

分析：(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点．

(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在⊙C上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于⊙C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断．解：(1)∵y=x2-6x＋m=(x-3)2+m-9

∴抛物线的对称轴为直线x=3

∵抛物线与x轴交于A和B两点，且AB是⊙C的直径，由抛物线的对称性

∴圆心C的坐标为(3，0)

(2)∵抛物线与x轴有两个不同交点

∴△=(-b)2-4m＞0，∴m＜9

设A(x1，0)，B(x2，0)

∵抛物线的顶点为P(3，m-9)

解得：m=8或m=9

∵m＜9，∴m=9舍去

∴m＝8

∴当m=8时，抛物线的顶点在⊙C上．

说明“存在性”问题是探索性问题的主要形式．解答这类问题的基本思路是：假设“存在”—→演绎推理—→得出结论(合理或矛盾)．例6 已知抛物线y=ax2＋bx＋c，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)．又知方程：ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)两根平方和等于40．

(1)求抛物线的解析式；

(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使

S△PAB=2S△CAB．如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到解析式．第(2)问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在．

解：(1)由题设条件得

∴抛物线顶点为(2，4)．

又A点坐标为(-2，0)，

而△ABC与△PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，△PAB面积最大．

显然，S△PAB=16＜2S△ABC=2312=24．

故在x轴上方的抛物线上不存在点P使S△PAB=2S△CAB．

例7 在一块底边长为a，高为h的三角形的铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边FG在BC边上，矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大．

分析：问题问“矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大”，所以题目的目标是矩形面积(S)而自变量就是EF的长(x)，因此问题的关键就是用EF(x)表示矩形面积S，这就要用EF表示出EH．解：设内接矩形EFGH中，AM⊥BC，

∵EH∥BC，设EF=x(0＜x＜h)

则AN=h-x

设矩形EFGH的面积为S

说明：解决联系实际的问题，又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识，利用相似成比例列出函数式再求最值．

例8 二次函数y=ax2＋bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y 轴相交于点B，

(1)求二次函数的解析式；

(2)求原点O到直线AB的距离．

分析：

为直线x=3，来求系数a，b．注意根与系数关系定理的充分应用．为求原点O到直线AB的距离要充分利用三角形特征和勾股定理．解： (1)如图，

由已知，有

∴(x1+x2)2-2x1x2=26，

∴a=-1．

∴解析式为y=-x2＋6x-5=-(x-3)2＋4．

(2)∵OB=5，OC=4，AC=3，

∴△AOB为等腰三角形，作OD⊥AB于D，

说明：有部分学生把二次函数的顶点坐标记错，也有的学生不会用“根与系数的关系”，得不出解析式．有不少学生没有发现△AOB 是等腰三角形，若发现为等腰三角形，OD是底边AB的高，利用勾股定理就迎刃而解了．

发生错误的原因，没记熟抛物线的顶点坐标公式，有的学生记下来了，但与两个根如何综合使用发生了问题，有些学生求点O到直线AB的距离，没有分析出图形与数量关系，其实△AOB是等腰三角形，知道这一性质求OD的数据就方便多了．

纠正错误的办法，加强抛物线顶点坐标的学习、顶点坐标与巧用“根与系数的关系”的学习；另外，也要加强寻找特殊点的学习．一般说，无论多难的题目，总是有解题规律的．在几何图形中，经过认真分析，有的题目总含等边三角形、等腰三角形、直角三角形．例9 设A，B为抛物线y=-3x2-2x＋k与x轴的两个相异交点，M 为抛物线的顶点，当△MAB为等腰直角三角形时，求k的值．

分析：首先按题意画出图形，再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件，来解答本题，得出解后要分析解的合理性进行取舍．解：∵抛物线与x轴有两个相异交点，故△＞0，即

(-2)2-42(-3)k＞0，

解关于k的不等式，得

根据题意，作出图象，如图

设N为对称轴与x轴的交点，由抛物线的对称性知，N为AB中点．∵∠AMB＝Rt∠，

且MN的长即为M点的纵坐标，

又设A点坐标(x1，0)，B点坐标(x2，0)，

则有

解关于k的方程，得

∴k＝0．

说明：本题有一个重要的隐含条件，即要使抛物线与x轴有两个相异交点，应首先满足△＞0．

(2)本题要求学生会运用抛物线的对称性观察图形，联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理，找到等量关系，列出关于k的方程，如果没有这种灵活运用定理的能力，将得不到关于k 的方程，难以求解．

例10 某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每提价1元(每件)，日销售量就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少时，才能使每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？

分析：此题主要涉及两个量，即售出价和每天获得的利润．而每天获得的利润是随着售出价的改变而改变的，所以要找到二者的函数

关系式，应把售出价设为自变量，把每天获得的利润看作是售出价的函数．这样，再根据已知条件，就可列出二者的函数关系式．解：设该商品的售出价定为x元／件时，每天可获得y元的利润．即每件提价(x-20)(元)，每天销售量减少10(x-20)(件)，也就是每天销售量为[100-10(x-20)](件)，每件利润(x-18)(元) 根据题意，得：

y＝(x-18)[100-(x-20)310]

=-10x2+480x-5400

=-10(x-24)2+360．(20≤x≤30)

y是x的二次函数

∵a=-10＜0，20≤24≤30

∴当x=24时，y有最大值为360．

答：每件售出价为24元时，才能使每天获得的利润最大，每天的最大利润是360元．

例11 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成

45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点F到A点的距离是多少？

分析：要求点F到A点的距离，也就是求A、F两点横坐标的差．又A点横坐标为0，所以只需求出F点横坐标．F点在抛物线上是抛物线与x轴的交点，所以要根据已知条件，求出抛物线的解析式．解：过C点作CD⊥Ox于D，BE⊥CD于E，则有CE=BE＝2，AB=DE=1.5，则B(0，1.5)，C(2，3.5)．

∵C为抛物线的最高点，

例12 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图．地

导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米(即图中E点)．

(1)若导弹运行轨道为一抛物线，求抛物线的解析式；

(2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由．

分析：题中的实际条件转化成数学意义就是已知抛物线的顶点E，而且过点D求抛物线的解析式以及判断C是否在曲线上．解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3

(2)设C(x0，y0)，过C点作CB⊥Ox，垂足为B．在Rt△OBC和Rt△ABC 中，OA=1，