普通高中高一上期末数学试卷(有答案)
2015-2016学年河南省普通高中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共8道小题，每道小题4分，共32分.请将正确答案填涂在答题卡上）
M）∩N=（）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则（C
U
A．{2} B．{3} C．{2，3，4} D．{0，1，2，3，4}
2．函数f（x）=lg（3x﹣1）的定义域为（）
A．R B．C．D．
3．已知函数f（x）=x2+1，那么f（a+1）的值为（）
A．a2+a+2 B．a2+1 C．a2+2a+2 D．a2+2a+1
4．函数y=2|x|的图象是（）
A．B．C．D．
5．已知函数f（x）=，则f（2）=（）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）
A．（﹣∞，1） B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）
7．国内某快递公司规定：重量在1000克以内的包裹快递邮资标准如下表：
如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1300 km的某地，他应付的邮资是（）A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元
8．如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9B．a≤﹣3 C．a≥5D．a≤﹣7
二、填空题（共6道小题，每道小题4分，共24分．请将正确答案填写在答题表中）
9．已知函数y=f（n），满足f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N
，则 f（3）的值为．
+
10．计算的值为．
11．若奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（﹣1）=0，则使得f（x）＞0的x取值范围是．
12．函数f（x）=log
（x2﹣2x+10）的值域为．
3
13．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原的10%，把几块这样的玻璃板重叠起，设光线原的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为．
14．数学老师给出一个函数f（x），甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；
乙：在[0，+∞）上函数单调递增；
丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称；
丁：f（0）不是函数的最小值．
老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为说的是错误的．
三、解答题（分4道小题，共44分）
15．已知函数．
（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．
16．有一个自水厂，蓄水池有水450吨．水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水．问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量．
17．已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0且a≠1）
（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；
（2）比较大小，并写出比较过程；
（3）若f（lga）=100，求a的值．
，18．集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x
1，都有．
x
2
（1）试判断f（x）=x2及g（x）=log
x是否在集合A中，并说明理由；
2
（2）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（0，1），，试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式．
2015-2016学年河南省普通高中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每道小题4分，共32分.请将正确答案填涂在答题卡上）
M）∩N=（）
1．已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则（C
U
A．{2} B．{3} C．{2，3，4} D．{0，1，2，3，4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】本题思路较为清晰，欲求（C
M）∩N，先求M的补集，再与N求交集．
U
【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，
M={3，4}．
∴C
U
∵N={2，3}，
M）∩N={3}．
∴（C
U
故选B．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．
2．函数f（x）=lg（3x﹣1）的定义域为（）
A．R B．C．D．
【考点】对数函数的定义域．
【专题】计算题．
【分析】函数f（x）=lg（3x﹣1）是一个对数函数，故其真数必大于0，由此得到关于自变量x的不等式，解出它的解集，即为所求的函数的定义域，再选出正确选项
【解答】解：由题意，函数f（x）=lg（3x﹣1）是一个对数型函数
令3x﹣1＞0，得x＞，即函数f（x）=lg（3x﹣1）的定义域为
观察四个选项，D选项正确
故选D
【点评】本题考查对数函数的定义域，解题的关键是理解对数的定义﹣﹣﹣真数大于0，从而得出自变量的取值范围即定义域，本题是对数性质考查的基本题，计算题，考查了转化的思想，将求定义域的问题转化成了求不等式的解集．
3．已知函数f（x）=x2+1，那么f（a+1）的值为（）
A．a2+a+2 B．a2+1 C．a2+2a+2 D．a2+2a+1
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由已知得f（a+1）=（a+1）2+1，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=x2+1，
∴f（a+1）=（a+1）2+1=a2+2a+2．
故选：C．
【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
4．函数y=2|x|的图象是（）
A．B．C．D．
【考点】指数函数的图象变换．
【专题】数形结合．
【分析】由已知中函数的解析式，结合指数函数的图象和性质及函数图象的对折变换法则，我们可以判断出函数的奇偶性，单调性，及特殊点，逐一分析四个答案中的图象，即可得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）=2|﹣x|=2|x|=f（x）
∴y=2|x|是偶函数，
又∵函数y=2|x|在[0，+∞）上单调递增，故C错误．
且当x=0时，y=1；x=1时，y=2，故A，D错误
故选B
【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中根据函数的解析式，分析出函数的性质，进而得到函数的形状是解答本题的关键．
5．已知函数f（x）=，则f（2）=（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．
【解答】解：由分段函数可知，f（2）=﹣2+3=1，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可得到结论．
6．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）
A．（﹣∞，1） B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】阅读型．
【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．
【解答】解：由于f（2）＞0，f（3）＜0，
根据函数零点的存在定理可知故函数f （x）在区间（2，3）内一定有零点，其他区间不好判断．
故选c．
【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号．
7．国内某快递公司规定：重量在1000克以内的包裹快递邮资标准如下表：
如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1300 km的某地，他应付的邮资是（）A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】计算题．
【分析】根据表格，写出邮资y与运送距离x的函数关系式，判断出1300∈（1000，1500]得到邮资y的值．
【解答】解：邮资y与运送距离x的函数关系式为
∵1300∈（1000，1500]
∴y=7.00
故选C
【点评】求分段函数的函数值，关键是判断出自变量所属于那一段，然后将其代入那一段的解析式，求出函数值．
8．如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9B．a≤﹣3 C．a≥5D．a≤﹣7
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】求出函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=，令≥4，即可解出a的取值范围．【解答】解：函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=又函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，
可得≥4，，得a≥9．
故选A．
【点评】考查二次函数图象的性质，二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数，本题主要是训练二次函数的性质．
二、填空题（共6道小题，每道小题4分，共24分．请将正确答案填写在答题表中）
，则 f（3）的值为18 ．9．已知函数y=f（n），满足f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N
+
【考点】抽象函数及其应用；函数的值．
【专题】计算题．
，先求出f（2），再利用f（3）=f（2+1）【分析】由f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N
+
=3f（2）可求 f（3）的值．
，
【解答】解：∵f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N
+
∴f（2）=3f（1）=6，
f（3）=f（2+1）=3f（2）=18，
故答案为 18．
【点评】本题考查函数值、抽象函数及其应用，由f（1）的值求出f（2）的值，再由f（2）的值求出f（3）的值．
10．计算的值为0 ．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】将根式化为2的分数指数幂，再利用指指数与对数运算法则可获解．
【解答】解：原式=××+（﹣2）﹣2=﹣4=4﹣4=0．
故答案为0．
【点评】本题考查分数指数幂及对数运算，要注意：
（1）正确化简，一般将根式化为分数指数，
（2）正确运用公式．
11．若奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（﹣1）=0，则使得f（x）＞0的x取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；分类讨论；转化思想．
【分析】根据奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（﹣1）=0，可知函数f（x）在（0，+∞）上的单调性和零点，从而把不等式f（x）＞0利用函数的单调性转化为自变量不等式．【解答】解：∵奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f（﹣1）=0，∴f（1）=0
∴不等式f（x）＞0等价于；
1°x＞0时，f（x）＞f（1）
∴x＞1；
2°x＜0时，f（x）＞f（﹣1）
∴﹣1＜x＜0；
综上x取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．
故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）．
【点评】考查函数的奇偶性和单调性，及根据函数的单调性转化不等式，体现了转化的思想方法，和分类讨论的思想，属中档题．
12．函数f（x）=log
3
（x2﹣2x+10）的值域为[2，+∞）．
【考点】对数函数的值域与最值．
【专题】计算题．
【分析】先求函数的定义域，再求真数的范围，利用对数函数的单调性求出f（x）的值域．【解答】解：令t=x2﹣2x+10=（x﹣1）2+9≥9
故函数变为y=log
3t，t≥9，此函数是一个增函数，其最小值为log
3
9=2
故f（x）的值域为[2，+∞）
故答案为：[2，+∞）
【点评】本题考查二次函数最值的求法、利用对数函数的单调性求函数的最值．
13．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原的10%，把几块这样的玻璃板重叠起，设光线原的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为0.729a ．
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．
【专题】计算题．
【分析】光线原的强度为a，光线每通过一块玻璃板时，强度变为原的0.9倍，故通过n块玻璃板后的强度变为原的 2n倍．
【解答】解：光线每通过一块玻璃板时，强度变为原的0.9倍，则通过3块玻璃板后的强度变为a×0.93=0.729a．
故答案为：0.729a．
【点评】本题考查指数函数的特征，通过n块玻璃板后的强度y=a×2n．
14．数学老师给出一个函数f（x），甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；
乙：在[0，+∞）上函数单调递增；
丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称；
丁：f（0）不是函数的最小值．
老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为乙说的是错误的．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质． 【专题】开放型；反证法．
【分析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确分析，体现了反证法的思想． 【解答】解；如果甲、乙两个同学回答正确， ∵在[0，+∞）上函数单调递增；
∴丙说“在定义域R 上函数的图象关于直线x=1对称”错误，
此时f （0）是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，
所以只有乙回答错误． 故答案为乙．
【点评】解决本题的关键是能根据图象的特点，得到函数应该满足的条件，在解答的过程中应用了反证法的思想，属基础题．
三、解答题（分4道小题，共44分） 15．已知函数
．
（1）设f （x ）的定义域为A ，求集合A ；
（2）判断函数f （x ）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明． 【考点】函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法． 【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）f （x ）为分式函数，则由分母不能为零，解得定义域；
（2）要求用定义证明，则先在（1，+∞）上任取两变量且界定大小，然后作差变形看符号． 【解答】解：（1）由x 2
﹣1≠0，得x≠±1，
所以，函数的定义域为x ∈R|x≠±1（4分） （2）函数
在（1，+∞）上单调递减．（6分）
证明：任取x 1，x 2∈（1，+∞），设x 1＜x 2， 则△x=x 2﹣x 1＞0，
（8分）
∵x
1＞1，x
2
＞1，∴x
1
2﹣1＞0，x
2
2﹣1＞0，x
1
+x
2
＞0．
又x
1＜x
2
，所以x
1
﹣x
2
＜0，故△y＜0．
因此，函数在（1，+∞）上单调递减．（12分）
【点评】本题主要考查函数定义域的基本求法和单调性定义证明函数的单调性．
16．有一个自水厂，蓄水池有水450吨．水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水．问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题．
【分析】先根据题意设t小时后蓄水池内水量为y吨，得出蓄水池中水量y关于t的函数关系
式，再利用换元法求出此函数的最小值即可．本题解题过程中可设，从而
．转化成二次函数的最值问题求解．
【解答】解：设t小时后蓄水池内水量为y吨，（1分）
根据题意，得（5分）
=
=
=（10分）
当，即t=5时，y取得最小值是50．（11分）
答：5小时后蓄水池中的水量最少，为50吨．（12分）
【点评】本小题主要考查建立函数关系、二次函数的性质等基础知识，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．
17．已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0且a≠1）
（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；
（2）比较大小，并写出比较过程；
（3）若f（lga）=100，求a的值．
【考点】指数函数单调性的应用；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的图象与性质．
【专题】计算题；转化思想．
【分析】（1）函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，可得a3﹣1=4，由此求出a；
（2）本题要根据指数函数的单调性比较大小，要解决两个问题一是自变量的大小，由于=﹣2，故自变量大小易比较，另一问题是函数的单调性，由于底数a的取值范围不确定，需对参数a的取值范围进行讨论以确定函数的单调性，在每一类下比较大小．
（3）由f（lga）=100知，a lga﹣1=100，对此类指对结合的不等式不能用常规解法求解，需要借助相关的公式求解，本题这种类型的一般采取两边取对数的方式将其转化为一元二次函数型的方程求解，两边取以10为底的对数可得（lga﹣1）?lga=2，解此方程先求lga，再求a．【解答】解：（1）∵函数y=f（x）的图象经过P（3，4）
∴a3﹣1=4，即a2=4．（2分）
又a＞0，所以a=2．（4分）
（2）当a＞1时，；
当0＜a＜1时，．（6分）
因为，，f（﹣2.1）=a﹣3.1
当a＞1时，y=a x在（﹣∞，+∞）上为增函数，
∵﹣3＞﹣3.1，∴a﹣3＞a﹣3.1．
即．
当0＜a＜1时，y=a x在（﹣∞，+∞）上为减函数，
∵﹣3＞﹣3.1，∴a﹣3＜a﹣3.1．
即．（8分）
（3）由f（lga）=100知，a lga﹣1=100．
100）．
所以，lga lga﹣1=2（或lga﹣1=log
a
∴（lga﹣1）?lga=2．
∴lg2a﹣lga﹣2=0，（10分）
∴lga=﹣1或lga=2，
所以，或a=100．（12分）
【点评】本题考点是指数函数单调性的应用，考查了求指数函数解析式，利用单调性比较大小，以及解指数与对数方程，本题涉及到的基础知识较多，综合性较强，在本题中解指数与对数方程时用到了两边取对数将指数方程转化为一元二次方程求解，这是此类方程求解时专用的一个技巧，要好好总结其运用规律．
18．集合A 是由适合以下性质的函数f （x ）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有
．
（1）试判断f （x ）=x 2及g （x ）=log 2x 是否在集合A 中，并说明理由； （2）设f （x ）∈A 且定义域为（0，+∞），值域为（0，1），，试求出一个满足以上
条件的函数f （x ）的解析式．
【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数单调性的应用． 【专题】计算题；证明题；转化思想．
【分析】（1）f （x ）∈A ，g （x ）?A ．对于f （x ）∈A 的证明只要看是否满足条件
即可，用作差法进行验证．g （x ）?A ，可通过举反例证明，
如取x 1=1，x 2=2，不满足
．
（2）受（1）的启发，可从指数函数中去找，先按照条件“当x ∈（0，+∞）时， 值域为（0，1）且”找到，再证明是否满足条件
条
件即可．
【解答】解：（1）f （x ）∈A ，g （x ）?A ．（2分） 对于f （x ）∈A 的证明．任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，
=
即
．∴f（x ）∈A （3分）
对于g （x ）?A ，举反例：当x 1=1，x 2=2时，
，
，
不满足．∴g（x）?A．（4分）
（2）函数，当x∈（0，+∞）时，
值域为（0，1）且．（6分）
任取x
1，x
2
∈（0，+∞）且x
1
≠x
2
，
则
=
即．
∴．是一个符合条件的函数．（8分）
【点评】本题是一道情境题，主要考查不等式的证明以及不等式的应用，还考查了构造思想，如本题中f（x）构造类型f（x）=a x或（k＞1）很常见．