高中数学导数与函数知识点归纳总结,推荐文档
? ? ? 高中导数与函数知识点总结归纳
一、基本概念 1. 导数的定义：
设 x 0 是函数 y = f (x ) 定义域的一点，如果自变量 x 在 x 0 处有增量?x ，则函数值 y 也引起相应的增量
?y = f (x + ?x ) - f (x ) ；比值 ?y =
f (x 0 + ?x ) - f (x 0 )
称为函数 y = f (x ) 在点 x 到 x + ?x 之间的平均变化 0 0 0 ?x ?x
0 率；如果极限 lim ?y
= lim f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) 存在，则称函数 y = f (x ) 在点 x 处可导，并把这个极限叫做
?x →0 ?x ?x →0 ?x 0 y = f (x ) 在 x 0 处的导数。
f (x )
x y '
在点
处的导数记作
= f '(x ) = lim
f (x 0 + ?x ) - f (x 0 )
x = x 0
?x →0
?x
2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）
函数 y = f (x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y = f (x ) 在点(x 0 , f (x )) 处的切线的斜率，也就是说，曲线 y = f (x ) 在点 P (x 0 , f (x )) 处的切线的斜率是 f ' (x 0 ) ，切线方程为 y - y 0 = f ' (x )(x - x 0 ).
3．基本常见函数的导数:
① C ' = 0;（C 为常数） ② (x n )'
= nx n -1; ③ (sin x )' = cos x ;
④ (cos x )' = -sin x ;
⑤ (e x )' = e x ; ⑥ (a x )' = a x ln a ; ⑦ (ln x )' = 1 ;
⑧ (l o g x
a
x )' = 1
log e .
x
a
二、导数的运算
1. 导数的四则运算：
法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
? f (x )± g (x )?' = 即：
f '(x )±
g '(x )
法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
f (x )?
g (x ) ' = f '(x )g (x )+ f (x )g '(x )
函数乘以第二个函数的导数，即：
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cf (x ))' = Cf ' (x ). ( C 为常数)
法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
? f (x )?' =
f '(x )
g (x )- f (x )g '(x ) ? ? 2 (g (x )≠ 0)
? g (x )? ? g (x )?
。
2.复合函数的导数
形如y =f [(x)]的函数称为复合函数。法则：f '[(x)]=f '()*'(x) .
三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
（1）设函数y =f (x) 在某个区间(a, b) 可导，
如果f ' (x) > 0 ，则f (x) 在此区间上为增函数；
如果f ' (x) < 0 ，则f (x) 在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有f ' (x) = 0 ，则f (x) 为常函数。
2.函数的极点与极值：当函数f (x) 在点x0处连续时，
①如果在x0 附近的左侧f ' (x) ＞0，右侧f ' (x) ＜0，那么f (x0 ) 是极大值；
②如果在x0 附近的左侧f ' (x) ＜0，右侧f ' (x) ＞0，那么f (x0 ) 是极小值.
3.函数的最值：
一般地，在区间[a, b] 上连续的函数f (x) 在[a, b] 上必有最大值与最小值。函数f (x) 在区间
[a, b]上的最值只可能在区间端点及极值点处取得。
求函数f (x) 在区间[a, b]上最值的一般步骤：①求函数f (x) 的导数，令导数f ' (x) = 0 解出方程的
跟②在区间[a, b] 列出x, f ' (x), f (x) 的表格，求出极值及f (a)、f (b)的值;③比较端点及极值点处的函数值
的大小，从而得出函数的最值。
4.相关结论总结：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
四、函数的概念
1.函数的概念
①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有
唯一确定的数f (x) 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合
A 到
B 的一个函数，记作f : A →B ．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
五、函数的性质
1.函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
性质
定义图象判定方法
如果对于属于定义域 I 内某
y y=f(X)
f(x2)
f(x1)
o x x x
1 2 （1）利用定义
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数图象（在某个区间图
象上升为增）（4）利用复合函数
个区间上的任意两个自变量
的值 x1、x2,当x1< x2时，
都有f(x1) f(x)在这个区间上是增函 数． 函数的 单调性 y y=f(X) f(x1) f(x2) o x x x 1 2 （1）利用定义 如果对于属于定义域 I 内某 （2）利用已知函数的个区间上的任意两个自变量的 单调性 值x1、x2，当x1< x2时， 都有f(x1)>f(x2)，那么就说 （3）利用函数图象 f(x)在这个区间上是减函 （在某个区间图 数． 象下降为减） （4）利用复合函数 ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数， 减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数y =f [g(x)]，令u =g(x) ，若y =f (u) 为增，u =g(x) 为增，则y =f [g(x)] 为增； 若y =f (u) 为减，u =g(x) 为减，则y =f [g(x)] 为增；若y =f (u) 为增，u =g(x) 为减，则 y =f [g(x)] 为减；若y =f (u) 为减，u =g(x) 为增，则y =f [g(x)] 为减． a （2）打“√”函数f (x) =x +(a > 0) 的图像与性质 x o f (x) 分别在(-∞, - a ]、[ a , +∞) 上为增函数，分别在[- a ,0) 、(0, a ] 上为减函数． 2.最大（小）值（较常用导数求函数最值，类比记忆函数的极值） ①一般地，设函数y =f (x) 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有 f (x) ≤M ； （2）存在x0∈I ，使得f (x0 ) =M ．那么，我们称M 是函数f (x) 的最大值，记作 f max (x) =M ． ②一般地，设函数y =f (x) 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有 f (x) ≥m ；（2）存在x0 ∈I ，使得f (x0 ) =m ．那么，我们称m 是函数f (x) 的最小值，记作 f max(x) =m ． 3.奇偶性 ①定义及判定方法 ②若函数f (x) 为奇函数，且在x = 0 处有定义，则f (0) = 0 ． ③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数） 的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． “” “” At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!