初二因式分解习题大全

因式分解进阶

中考要求

例题精讲

一、基本概念

因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项

式分解因式.

因式分解与整式乘法互为逆变形：

()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积

因式分解

式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式 因式分解的常用方法：

提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.

分解因式的一般步骤：

如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.

注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；

②结果一定是乘积的形式；

③每一个因式都是整式；

④相同的因式的积要写成幂的形式.

在分解因式时，结果的形式要求：

①没有大括号和中括号；

②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面；

④每个因式第一项系数一般不为负数；

⑤形式相同的因式写成幂的形式.

二、提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.

确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

三、公式法

平方差公式：22()()a b a b a b -=+-

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；

②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.

完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+

①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：

3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++

33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++

一、因式分解的基本方法

【例1】已知248﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是 、 ．

【巩固】 333333()()()()ay bx ax by a b x y +-++--=_________.

【巩固】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++

【例2】已知整数a 、b 、c 满足不等式a 2+b 2+c 2+43≤ab+9b+8c ，则a 、b 、c 分别等于 ．

模块一 重组分解法

【例1】 分解因式：2222(1)(2)(1)x x x x x x ++-++-

【巩固】 分解因式：3322()()ax y b by bx a y +++

【例2】 分解因式：2222111[()()](2)222

x y x y x y -++-

【巩固】 分解因式：2231()b a x abx +--

【例3】 已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．

【巩固】 已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+=，求证：2b a c =+

模块二 拆、填项法

?利用配方思想拆项与添项

【例 1】分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.

【例 2】分解因式： 12631x x -+

【例 3】分解因式： 841x x ++

【例 4】分解因式： 4224781x x y y -+

【例 5】已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______.

【例 6】分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-

【例 7】分解因式：42222222()()x a b x a b -++-

【例 8】分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++

【例 9】 把444x y +分解因式．

【例 10】分解因式：464x +

【例 11】证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．

【例 12】分解因式：444222222222a b c a b b c c a ---+++

?拆项与添项

【例 13】（“CASIO”杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：4322928x x x x +--+

【例 14】若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( )

A.0

B.1-

C.1

D.3

【例 15】分解因式：323233332a a a b b b ++++++

【例 16】分解因式：51x x ++

【例 17】分解因式：541a a ++

【例 18】分解因式：3333a b c abc ++-.

【例 19】分解因式：22268x y x y -++-

【例 20】分解因式： 224414x y x y -++

【例 21】分解因式：42471x x -+

【例 22】分解因式： 441

4x y +

【例 23】分解因式：441x +=__________.

【例 24】分解因式：432433x x x x ++++

模块三 换元法

【例1】 分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----

【例2】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-

【例3】 分解因式：()()()()26121311x x x x x ----+=

【例4】 分解因式：()()()()461413119x x x x x ----+=

【例5】 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-

【例6】 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-

【例7】 分解因式：()()()2

113212xy xy xy x y x y ??+++-++-+- ???

【例8】 分解因式：4444(4)a a ++-

【例9】 分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---

【例10】 分解因式：43241x x x x +-++

【例11】 分解因式：()()4413272x x +++-

【例 25】分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++

【例 26】分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++

【例 27】分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++

课后作业

1.分解因式：()()()2442111x x x ++-+-

2.若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.

3.分解因式：44(1)(3)272x x +-+-

4.分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z --++-