无锡数学三角形解答题单元测试卷(解析版)

无锡数学三角形解答题单元测试卷（解析版）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．（问题探究）

将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处.

（1）如图，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出A ∠与1∠之间的数量关系；

（2）如图，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：122A ∠+∠=∠；

（3）如图，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，探索1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，并加以证明；

（拓展延伸）

（4）如图，若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点

A '、D 的位置，请你探索此时1∠，2∠，A ∠，D ∠之间的数量关系，写出你发现的结

论，并说明理由.

【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A ；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）()212360A D ∠+∠=∠+∠+?.

【解析】 【分析】

（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题， （2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题， （3）运用三角形的外角性质即可解决问题，

（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】

解：（1）如图，∠1=2∠A ．

理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A ； ∵∠1=∠A+∠EA′D ，∴∠1=2∠A ．

（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，

由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°， ∴∠A′+∠A=∠1+∠2， 由折叠知识可得∠A=∠A′， ∴2∠A=∠1+∠2．

（3）如图，∠1=2∠A+∠2

理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A ，∠EFA=∠A′+∠2， ∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，

（4）如图，

根据翻折的性质，()3181201∠=-∠，()4181

2

02∠=-∠， ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=?，

∴()()180118023601122

A D ∠+∠+

-∠+-∠=?， 整理得，()212360A D ∠+∠=∠+∠+?． 【点睛】

本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

2．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．

（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；

（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；

（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．

【答案】（1）15°；（2）DCE 2

αβ

-∠=；（3）75°．

【解析】 【分析】

（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数； （2）∠DCE ＝

2

αβ

- ．

（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+1

2

∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】

解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°， 又因为CE 是∠ACB 的平分线， 所以1

352

ACE ACB ∠=

∠=?． 因为CD 是高线， 所以∠ADC ＝90°，

所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，

所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°． （2）DCE 2

αβ

-∠=

．

（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′， 则152

DCE αβ

-'=

=?∠．

因为CE 是∠ACB 的外角平分线，

所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1

(+)2

ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°． 即∠DCE 的度数为75°．

【点睛】

本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．

3．（1）在ABC ?中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，CF AB ⊥，16BC =，3AD =，

4BE =，6CF =，则ABC ?的周长为______.

（2）如图①，在ABC ?中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，BD ，CD 的中点，且

4ABC S ?=2cm ，则AEF S ?等于______2cm .

① ②

（3）如②图，三角形ABC 的面积为1，点E 是AC 的中点，点O 是BE 的中点，连接

AO 并延长交BC 于点D ，连接CO 并延长交AB 于点F ，则四边形BDOF 的面积为______.

【答案】（1）36（2）2（3）16

【解析】 【分析】

(1)利用三角形面积公式，求出AB 、AC 的长，再计算三角形的周长即可； (2)设ABC ?在BC 边上的高为h ，则1

2

ABC S BC h ?=?，根据线段中点的定义以及线段的和差得出1

2

EF BC =

，继而再根据三角形面积公式进行求解即可； (3)设BOF S x ?=，BOD S y ?=，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得

14AOE COE AOB COB S S S S ????====

，从而得14AOF S x ?=-，3

4

ACF S x ?=-，

14BCF S x ?=

+，14COD S y ?=-，34ACD S y ?=-，1

4

ABD S y ?=+，利用等高的两三角形面积之比等于底边之比分别列出关于x 、y 的方程，求出x 、y 的值即可求得答案. 【详解】 (1)111

222

ABC S BC AD AC BE AB CF ?=

?=?=?， ∴BC AD AC BE AB CF ?=?=?， 即16346AC AB ?=?=?， ∴12AC =，8AB =， ∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=36； (2)设ABC ?在BC 边上的高为h ， 则1

2

ABC S BC h ?=

?， ∵E 为BD 中点，∴1

2ED BD =

， ∵F 为DC 中点，∴1

2

DF DC =， ∴111

222

EF BD DC BC =

+=， ∴21111

2cm 2222

AEF ABC S EF h BC h S ??=

?=??==； (3)设BOF S x ?=，BOD S y ?=，

∵点E ，O 分别是AC ，BE 的中点，1ABC S ?=， ∴1

4

AOE COE AOB COB S S S S ????====， ∴14AOF S x ?=

-，34ACF S x ?=-，1

4

BCF S x ?=+， ∴134414x x

x x --=+，即

2213164x x x -=-， 解得1

12x =，

又14COD S y ?=-，34ACD S y ?=-，1

4ABD S y ?=+，

∴141344

y

y y y +=--，得112y =，

故

111

12126 BDOF

S x y

=+=+=

四边形

.

【点睛】

本题考查了三角形面积的应用，三角形的周长，解题关键在于找出等高的两三角形面积与底边的对应关系．

4．数学活动课上，老师提出了一个问题：

我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？

（1）独立思考，请你完成老师提出的问题：

如图所示，已知∠DBC和∠BCE分别为△ABC的两个外角，试探究∠A和∠DBC，∠BCE之间的数量关系.

解：

⑵合作交流，“创新小组”受此问题的启发：分别作外角∠CBD和∠BCE的平分线BF和CF，交于点F（如图所示），那么∠A与∠F之间有何数量关系？请写出解答过程.

【答案】（1）∠DBC+∠BCE－∠A=180o（2）1

2

∠A+∠F=90o

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形内角和定理计算即可.（2）根据角平分线可知∠FBC+∠FCB=1

2

（∠DBC+∠BCE，）再根据三角形内角和定理，结合（1）即可解答.

⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180o.

∠DBC+∠BCE

=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A

=180°+∠A

即∠DBC+∠BCE－∠A=180o.

（2）1

2

∠A+∠F=90°

∵BF和CF分别平分∠CBD和∠BCE，

∴∠CBF=1

2

∠CBD，∠BCF=

1

2

∠BCE.

∴∠CBF+∠BCF=1

2

(∠CBD+∠BCE).

∵∠CBF+∠BCF=180o－∠F，∠DBC+∠BCE=180o+∠A.

∴180o－∠F =1

2

（∠CBD+∠BCE）=

1

2

(180o+∠A)

∴1

2

∠A+∠F=90o.

【点睛】

本题考查了三角形外角性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.

5．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．

（1）∠E= °；

（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．

①依题意在图1中补全图形；

②求∠AFC的度数；

（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若

∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．

【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．

【解析】

（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=1

2

∠DAC，∠ACE=

1

2

∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，

根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案；（2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；

②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=1

2

y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及

∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+45

2

y

+

=∠F+

1

2

y，由此即可求得答案；

（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出

∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+2

3

∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=

22.5

3

α+

，再根据

∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.【详解】

（1）如图1，

∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，

∴∠CAF=1

2

∠DAC，∠ACE=

1

2

∠ACB，

设∠CAF=x，∠ACE=y，

∵∠B=90°，

∴∠ACB+∠BAC=90°，

∴2y+180﹣2x=90，

x﹣y=45，

∵∠CAF=∠E+∠ACE，

∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；

（2）①如图2所示，

②如图2，∵CF平分∠ECB，

∴∠ECF=1

2 y，

∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，

∴45°+∠EAF=∠F+1

2

y ①，

同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，

∴∠EAF=45

2

y

+

②，

把②代入①得：45°+45

2

y

+

=∠F+

1

2

y，

∴∠F=67.5°，

即∠AFC=67.5°；

（3）如图3，设∠FAH=α，

∵AF平分∠EAB，

∴∠FAH=∠EAF=α，

∵∠AFM=1

3

∠AFC=

1

3

×67.5°=22.5°，

∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，∴45+α=67.5+∠FCH，

∴∠FCH=α﹣22.5①，

∵∠AHN=1

3

∠AHC=

1

3

（∠B+∠BCH）=1

3

（90+2∠FCH）=30+2

3

∠FCH，

∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，

∴α+22.5=30+2

3

∠FCH+∠FPH，②

把①代入②得：∠FPH=

22.5

3

α+

，

∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，

α﹣22.5=mα+n

22.5·

3

α+

，

解得：m=2，n=﹣3．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.

6．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．

解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为 .

拓展延伸：

（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为．

（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且

BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为 .

【答案】解决问题：6；拓展延伸：（1）S1=2S2（2）10.5

【解析】

试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结论；

拓展延伸：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积，由此即可得到结论；

（2）连接AO．则可得到△BOD的面积=△BOC的面积，△AOC的面积=△AOD的面积，

△EOC的面积=△BOC的面积的一半，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到结论．

试题解析：解：解决问题

连接AE．∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE

=2，∴S△ADE =2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四边形ADEC的面积=2+4=6．

拓展延伸：

解：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2，∴S1=2S2．

（2）连接AO．∵CO=DO，∴△BOD的面积=△BOC的面积=3，△AOC的面积=△AOD的面积．∵BO=2EO，∴△EOC的面积=△BOC的面积的一半=1.5，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，解得：a=6，b=4.5，∴四边形ADOE的面积为=a+b=6+4.5=10.5．

7．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．

(1)求证：∠OAC＝∠OCA；

(2)如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC

＝1

3

∠AOC，∠PCE＝

1

3

∠ACE，求∠P的大小；

(3)如图③，在(2)中，若射线OP、CP满足∠POC＝1

n

∠AOC，∠PCE＝

1

n

∠ACE，猜想∠OPC

的大小，并证明你的结论(用含n的式子表示)．

【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）45 n

【解析】

试题分析：（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；

（2）根据题干中给出的∠POC=1

3

∠AOC、∠PCE=

1

3

∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，

再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；

（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=1

n

∠AOC、∠PCE=

1

n

∠ACE可以求得

∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．

试题解析：(1)证明：∵A(0，1)，B(4，1)，∴AB∥CO，∴∠OAB＝180°－∠AOC＝90°.

∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝45°，∴∠OCA＝90°－45°＝45°，∴∠OAC＝∠OCA.

(2)解：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝(180°－45°)＝45°.∵∠P＋∠POC＝∠PCE，∴∠P＝∠PCE－∠POC＝15°.

(3)解：∠OPC＝.

证明如下：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝

(180°－45°)＝.

∵∠OPC＋∠POC＝∠PCE，

∴∠OPC＝∠PCE－∠POC＝.

点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC的大小是解题的关键．

8．根据题意解答：（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D．（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．

解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD

∴∠1=∠2，∠3=∠4

由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①，∠P+∠2=∠4+∠D②，①+②，得

2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D

∴∠P= 1

2

（∠B+∠D）=26°．

①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若

∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．

②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．

③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）①∠P=26゜；②∠P=180°﹣1

2

（∠B+∠D）；

③∠P=90°+ 1

2

（∠B+∠D）．

【解析】

试题分析：（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；

（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；

②根据四边形的内角和等于360°，可得

（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；

③根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．

试题解析：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，

∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．

（2）①∠P=26゜．∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角

∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D

①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B

②，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B③，①+③得

∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即

2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴∠P=1

2

（∠B+∠D）=26°．

②如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角

∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，

∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣1

2

（∠B+∠D）

；

③如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角

∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°

﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+ 1

2

（∠B+∠D）．

点睛：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．

9．（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？

（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C(填

“＞”“＜”“=”)，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______.

（3）如图③,是由图①的△ABC沿DE折叠得到的,如果∠A＝30°,则

x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－＝ ,猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为

【答案】见解析. 【解析】 【分析】

试题分析：（1）根据三角形内角是180度可得出，∠1+∠2=∠B+∠C ；（2）△ABC 沿DE 折叠，∠1+∠2=∠B+∠C ，从而求出当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°，（3）根据以上计算可归纳出一般规律：∠BDA+∠CEA=2∠A ． 试题解析：

解：（1）∠1+∠2 = ∠B+∠C ，理由如下： 在△ADE 中，∠1+∠2 = 180°- ∠A 在△ABC 中，∠B+∠C = 180°- ∠A ∴ ∠1+∠2 = ∠B+∠C

（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，∴∠1+∠2=∠B+∠C ，当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°

（3）如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°-300°=60°，所以∠BDA+∠CEA 与∠A 的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A.

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 三角形内角和． 【详解】

请在此输入详解！

10．如图，90CDE CED ∠+∠=?，EM 平分CED ∠，并与CD 边交于点M ．DN 平分

CDE ∠，

并与EM 交于点N ．

（1）依题意补全图形，并猜想EDN NED ∠+∠的度数等于 ； （2）证明以上结论．

证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠， ∴ 1

2

EDN CDE ∠=

∠， NED ∠＝ ． （理由： ） ∵ 90CDE CED ∠+∠=?，

∴EDN NED ∠+∠＝ ×（∠ ＋∠ ）＝ ×90°＝ °．

【答案】（1）45度；

（2）1,2CED ∠ 角平分线的定义， 12 ，CDE,CED, 1

2, 45． 【解析】

试题分析：

（1）按要求画∠CDE 的角平分线交ME 于点N ，根据题意易得∠EDN+∠NED=45°； （2）根据已有的证明过程添上相应空缺的部分即可； 试题解析：

（1）补充画图如下：猜想：∠EDN+∠NED 的度数=45°； （2）将证明过程补充完整如下：

证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠， ∴ 12EDN CDE ∠=

∠，NED ∠＝1

2

∠CED ．（理由：角平分线的定义） ∵ 90CDE CED ∠+∠=?，

∴EDN NED ∠+∠＝

12×（∠CDE+∠CED ）＝ 1

2×90°＝45°． 故原空格处依次应填上：12∠CED 、角平分线的定义、CDE 、CED 、1

2

和45.