(完整版)八年级数学培优——平行四边形(可编辑修改word版)
第20 讲平行四边形
考点?方法?破译
⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.
⒉理解三角形中位线定理并会应用.
⒊了解平行四边形是中心对称图形.
经典?考题?赏析
【例1】已知:如图在□ABCD 中,过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA 的延长线AB、DC、BC 的延长线于点E、M、N、F．
⑴观察图形并找出一对全等三角形：△≌△，请加以证明；
⑵在⑴中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变
换得到？
【变式题组】
01.如图，在□ABCD 中，∠BAD＝32°．分别以BC、CD 为边向外作△BCE 和△DCF，
使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB 交边EC 于点上，点H 在E、C 两点之间，连接AE、AF．⑴求证：△ABE≌△FDA；
⑵当AE⊥AF 时，求∠EBH 的度数．
02.如图，已知在□ABCD 中，E、F 是对角线BD 上的两点，BE＝DF，点G、H 分别在BA
和DC 的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．
求证：四边形GEHF 是平行四边形．
03.如图，在△ABC 中，AB＝AC，延长BC 至D，使CD＝BC．点E 在边AC 上，以CD、CE
为邻边作□CDFE．过点C 作CG∥AB 交EF 于点G，连接BG、DE．
⑴∠ACB 与∠DCG 有怎样的数量关系？请说明理由；
⑵求证：△BCG≌△DCE．
【例2】如图，□ABCD 的周长为20，BE⊥AD，BF⊥CD，
BE＝2，BF＝3.则□ABCD 的面积为．
【变式题组】
01.如图，□ABCD 中，BE⊥AD，BF⊥CD，∠EBF＝60°,AE＝3,DF＝2.求EC 的长．
02.在□ABCD 中，M 是AD 的中点,N 是DC 的中点，BM＝1,BN=2，∠MBN＝60°
求BC 的长．
03.平行四边形ABCD 中,AD＝a,CD＝b,过点B 分别作AD 边上的高H a和CD 边上的高H b,
已知H a≥a, H b≥b,对角线AC＝20 厘米,求平行四边形ABCD 的面积.
【例3】
如图:在平面直角坐标系中,有A（0,1）,B（－1,0）,C
（1,0）
三点.
⑴若点D 与A、B、C 三点构成平行四边形，请写出所
有符合条件的点D 的坐标；
⑵选择⑴中符合条件的一点D，求直线BD 的解析式．
【变式题组】
01.如图，直线l :y＝－3
x ＋3 与y 轴交于点A，与直线l 交于x 轴上同一点B，直线l
1 2 2 2
交y 轴于点C，且点C 与点A 关于x 轴对称．
⑴求直线l2的解析式；
⑵设D（0，－1），平行于y 轴的直线x＝t 分别交直线l1和l2于点E、F．是否存在t 的
值，使得以A、D、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出t 的值；若
不存在，请说明理由．
1
02.如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），P 是y 轴上一动点，在直线y＝x 上
2 是否存在点Q，使A、B、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
k
03.若一次函数y＝2x－1 和反比例函数y＝的图象都经过点（1，1）．
2x
⑴求反比例函数的解析式；
⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标；
⑶利用⑵的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．
【例4】如图1.在四边形ABCD 中,AB＝CD,E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA、CD 的延长线交于点M、N,则∠BME＝∠CNE（不需证明）(温馨提示:在图1 中，连接BD,取BD 的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．) 问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O,AB＝CD,E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF,分别交DC、AB 于M、N，判断?OMN 的形状，请直接写出结论．问题二:如图3，在?ABC 中，AC>AB,D 点在AC 上，AB＝CD,E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G,若∠EFC＝60°,连接GD,判断?AGD 的形状并证明.
【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．
【变式题组】
01.如图，已知四边形ABCD 中，R、P 分别是BC、CD 上的点，
A
E
F R E 、F 分别是 AP 、RP 的中点，当点 P 在 CD 上从 C 向 D 移动而点 R 不
动时，那么下列结论 成立的是 （ )
A 、线段 EF 的长逐渐增大
B 、线段 EF 的长逐渐减小
C 、线段 EF 的长不变
D 、线段 EF 的长与点 P 的位置有关
D
P
B
C
02. 如图，在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AD 是∠A 的平分线， BD ⊥AD 于 D ,AB ＝12,AC ＝22,
则 MD 的长为（ ）.
A .3
B .4
C .5
D .6
【例 5】如图 1，在△ABC 中，∠C ＝90°,点 M 在 BC 上，且 BM ＝AC ,点 N 在 AC 上， 且 AN ＝MC ,AM 与 BN 相交于点 P ,求证：∠BPM ＝45°.
【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．
【变式题组】
01．如图，在等腰△ABC 中， AB ＝AC ,延长边 AB 到点 D ,延长 CA 到点 E ,连接 DE ，若 AD ＝ BC
＝CE ＝DE ,求∠BAC 的度数．
演练巩固 反馈提高
01.如图，□ABCD 中，已知AD＝8cm,AB＝6cm,DE 平分∠ADC 交BC 边于点E,则BE
等于（）
A.2cm
B.4cm
C.6cm
D.8cm
02.如图，□ABCD 中，AC,BD 为对角线，BC＝6,BC 边上的高为 4，则阴影部分的面积为
（）
A.3
B.6 C .12 D.24
03.如图，在四边形ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于点F,AB
＝BF,添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形，你认为四个条件中可选择的是
（）
A．AD＝BC B.CD＝BF C.∠A＝∠C D.∠F＝∠CDE
04.如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB≠AD,AC,BD 相交于点O,OE⊥BD 交AD 于
点E,则△ABE 的周长为（）
A.4cm
B.6cm
C.8cm
D.10cm
05.某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6 得颜色的花，
如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD, 那么下列说法错误的是A．红花，绿花种植面积一定相等B.紫花，橙花种植面积一定相等
C.红花，蓝花种植面积一定相等
D.蓝花，黄花种植面积一定相等
06.如图，l1∥l2BE∥CF, BA⊥l1DC ⊥l2,下面四个结论中①AB＝DC; ②BE＝CF
③S△ADE＝S△DCF④S□ABCD＝S□BCFE,其中正确的有（）
A.4 个 B .3 个C.2 个 D .1 个
07.已知四边形ABCD,有以下四个条件：①AB∥CD ②AB＝CD ③BC∥AD ④
BC＝AD 从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法种数有
（）
A.6 种
B.5 种
C.4 种
D.3 种
08.如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E,F 分别是AB,CD 的中点，AD＝
BC,∠PEF＝180,则∠PFE 的度数为
09．.如图，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 中，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 恰好落在CD 上的F 点，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为
10.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,将△ABC 沿直线BC 向右平移2.5 个
单位得到△DEF,AC 与DE 相交于点G,连接AD,AE,则下列结论中成立的是
①四边形ABED 是平行四边；②△AGD≌△CGE
③△ADE 为等腰三角形④AC 平分∠EAD
11.如图□ABCD 中，E 是BC 边上一点，且AB＝AE.
(1).求证:△ABC≌△EAD
(2).若AE 平分∠DAB,∠EAC＝25°,求∠AED 的度数．
12.如图，□ABCD 内一点E 满足ED⊥AD 于D,且∠EBC＝∠EDC,∠ECB＝45°,找出图中一
条与EB 相等的线段，并加以证明．
13.已知，如图，△ABC 是等边三角形，D是AB 边上的点，将线段DB 绕点D 顺时针旋转60°
得到线段DE，延长ED 交AC 于点F,连接DC,AE.
⑴求证：△ADE≌△DFC
⑵过点E 作EH∥DC 交DB 于点G ,交BC 于点H,连接AH,求∠AHE 的度数．