复数的几何意义及应用.
复数的几何意义及应用
、教学目标:
(一) 知识与技能：
通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。
(二) 过程与方法：1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力
2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点；
3、提高知识之间的理解与综合运用能力。
(三) 情感、态度、价值观：通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学, 对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。
二、教学重点
三、教学难点
四、教学工具复平面内两点间距离公式的应用复平面内两点间距离公式的应用计算机、投影仪
探究式教学法、问题解决教学法
(一) 设置情境，问题引入
问题1:复数z的几何意义？设复平面内点Z表示复数z= a+bi (a, b € R),连结OZ,则
点Z , OZ ，复数z= a+bi (a, b€ R)之间具有一一对应关系。
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应一一对应
一一对应
复数z=a+bi ?向量OZ
问题2: I z I的几何意义？若复数z= a+bi (a, b € R)对应的向量是OZ ,则向量是OZ 的模叫做复数z= a+bi (a, b€ R)的模，|z|= 0Z =| a+bi |=J a2b2(a, b€ R)。
问题3：I Z1-Z2 I的几何意义？两个复数的差z1z2z所对应的向量就是连结ZZ2并
且方向指向(被减数向量)的向量，
d z i Z2 Z2Z1 v'(x i X2)2 (y i y2)2
（二）探索研究根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程：
1圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）
设Z（x, y）以Z0（x0,y0）为圆心，r（r 0）为半径的圆上任意一点，
则ZZ0 r （r 0）
（1）该圆向量形式的方程是什么？玄r（r 0）
（2）该圆复数形式的方程是什么？z z0 r （r 0）
（3）该圆代数形式的方程是什么？（x x0）2（y y0）2 r2（r 0）
2. 椭圆的定义:平面内与两定点Z l, Z2的距离的和等于常数（大于乙Z2 ）的点的集合（轨迹）设Z（x, y）是以Z i（x i，y2） Z2&2,曲为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点，
则ZZ, ZZ2 2a （2a 乙Z2）
（1）该椭圆向量形式的方程是什么？|ZZ2 2a （2a 乙Z2）
（2）该椭圆复数形式的方程是什么？z z, z z22a （2a 乙Z2）
变式:以乙（x,, y2）Z2（X2,y2）为端点的线段
（1）向量形式的方程是什么？|ZZ」|ZZ2| 2a （2a Z,Z2）
（2）复数形式的方程是什么？z z, z z2 2a （2a Z,Z2）
3. 双曲线的定义：平面内与两定点Z1, Z2的距离的差的绝对值等于
常数（小于乙Z2）的点的集合（轨迹）
设Z（x, y）是以Z i（x i，y2）Z2&2, g为焦点，2a为实轴长的双曲线的上
任意一点，
则 |ZZ i ZZ 2I 2a (2a ZZ)
(1)该双曲线向量形式的方程是什么
? Z 乙
ZZ 2
2a (2a |Z 1 Z 2) (2)该椭圆复数形式的方程是什么 ?
z
z 1
z z 2|
2a
(2a Z 1Z 2I )
变式：射线
(1)向量形式的方程是什么 ？ 运
ZZ 2
2a (2a 乙Z 2)
(2)复数形式的方程是什么 ？
z z
z
z
2|| 2a (2a
乙Z 2)
变式：以Z i (x 「y 2)Z 2(x 2, y 2)为端点的线段的垂直平分线
z 乙 z z 2
(三) 应用举例
例1 .复数z 满足条件I z+2 I - I z-2 I =4,
则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是( )
(A )双曲线 (B )双曲线的右支
(C )线段 (D )射线
答案：(D ) —条射线 变式探究:
Z 的轨迹是椭圆，复数 z 应满足什么条件？
Z 的轨迹是线段的垂直平分线，复数 z 应满足什么条件? 例2.若复数z 满足条件z 1 ,
求z 2i 的最值。
(1)若复数z 所对应的点 (2)若复数z 所对应的点 (3)若复数z 所对应的点
(4)若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是两条射线，复数 z 应满足什么条件？ Z 的轨迹是线段，复数 z 应满足什么条件？ Z 的轨迹是双曲线的右支，复数
z 应满足什么条件?
Z 的轨迹是双曲线，复数 z 应满足什么条件？ (1)该线段向量形式的方程是什么 2a (2a 0)即Z 乙
(2)该线段复数形式的方程是什么
|z z z z 2| 2a (2a
0)即
(5)若复数z 所对应的点 (6)若复数z 所对应的点
解法1 :（数形结合法）由z 1可知，z对应于单位圆上的点Z ；
z 2i表示单位圆上的点Z到点P （0, 2）的距
离。
解法2 解法3 解法4
由图可知，当点Z运动到A（0，1）点时,
当点Z运动到B(0,-1)点时,
:（不等式
法）
l z纠
1, 2i
z 2i
:（代数法）设z
z 2i
1，即
:（性质
法）
2i
min
1 ,此时z=i ；
2i
max
3,此时z=-i o
z1 Z2 Z2
1，即z
1，即z
2i
2i
z 2i
yi(x, y R)，
yi 2i
时, 2i
i时,
1,即
则x2
x2
min 1
2i
max
(z 2i)(z
z z 2(z
，即z
时,
2i)
z)i
i时,
(y 2)2
3=3,
(z 2i)(z 2i)
2i min
2i
4yi
max
3,
\5 4y
(z 2i)(z 2i)
变式探
究:
(1)
min max
(2)
min max
1 3 ? ____ ____ ；2,2
(3)2i min 2i
max
?2 21;2 .2
(4)
min max
已知Z1、Z2€ C ，且z
若z1z2 2i，则Z1 Z2的最大值是
(A)6(B)5(C)4(D)
解法1 :
Z1 i 解法2 : z1 z2 召（2i召）2召i
max
z2的最大值是4
z1 z2 2i z12i z2
2i z21,即z22i z1 1表示以原点为圆心，以1为半径的圆;
2i 1表示以（o, 2）为圆心，以1为半径的圆。
Z2的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为
（四）反馈演练：
1.复数z 满足条件I z+i I + I z-i I = 2,
贝VI z+i-1 I 的最大值是 ____ —
5
最小值是 ___________ . 1
2.复数z 满足条件I z-2 I + I z+i I = . 5 ,
则I z I 的取值范围是（B ）
(C) 1, 5
(D)
1,2
x y 5 0
3.已知实数 x,y 满足条件
x y 0 , z x yi （i 为虚数单位），
x 3
则|z 1 2i |的最大值和最小值分别是
（五）总结：
1.今天我们探索研究了什么 ？
2?你有什么收获？
(A)
(B)
2.5
5
,2
2、26,二
2