各类函数图像
正比例函数
一次函数
反比例函数即拓展
正比例函数
对构函数（耐克曲线）
指数函数
立方函数
高中各种函数图像及其性质(精编版)
一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）
(2) 必过点：（0，0）、（1，k ） (3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数 一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（- k b ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1） 解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k 0)
一次函数的图像和性质专题讲义(含知识点练习题作业)
一次函数的图像和性质专题讲义 一次函数 知识精讲 一．一次函数的概念 若两个变量x，y的关系可以表示成：y kx b 、为常数，且0 =+（k b k≠）的形式；那么y就叫做x的一次函数；其中，x是自变量，y是因变量． 1．一次函数的解析式的形式是y kx b =+，判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． 2．当0 =仍是一次函数． k≠时，y kx b=，0 3．当0 k=时，它不是一次函数． b=，0 4．正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
1．一次函数的图象及性质： 2．一次函数的图象及其画法 （1）一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线． （2）由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两 个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00， ，()1k ，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ??- ??? ，，即直线与两坐标轴的交点． （3）由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+．所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+． 三．解析式求法 （1）定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法． （2）用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值； ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式． 例题讲解 一：概念 例1.1.1下列说法中不正确的是（ ） A ．一次函数不一定是正比例函数 B ．不是一次函数就一定不是正比例函数 C ．正比例函数是特殊的一次函数 D ．不是正比例函数就一定不是一次函数
高中数学常见函数图像
高中数学常见函数图像1. 2.对数函数：
3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．
函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴
由函数图像求解析式
由函数y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 的 图象求解析式 一、知识回顾 1、五点作图：y ＝Asin(ωx ＋φ) 2、图像变换: y=sinx 到 y=Asin(ωx+?) 方法1:(按φ、ω、A 顺序变换) 方法1:(按ω、φ、A 顺序变换) 3. 巩固练习： 【练习1】已知函数 2sin(2x )3y π =+ (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3) 3 2sin(2x )y π=+的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得？ 要得到y=cos2x 的图象,只需把函数y=sin(2x -π/3 ) 的图象向______平移______个单位得到. 二、探究新知： 例1、函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A>0，ω>0， 0<φ<π)的部分图象如图所示，则函数的解析式？ 小结：知图求式的方法 （1)由最值确定A; (2)由T 确定ω； (3)由图象上的对应点确定φ. 变式训练 1、如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一段，求其解析式． 例2 sin()(0,0,)2y A x B A πωφωφ=++>>< 如图是函数的部分图像，求它的解析式
例3 已知函数()sin(),0,0 2 f x A x x R π ω?ω? ?? =+∈><< ? ?? 的部分图象如图所示.求函 数的解析式； 三、课堂小结：谈谈你的收获！ 四、课后思考： sin()(0,0,)2, 212 y A x A P Q PQ ππ ωφωφ =+>>< 设函数图像上一最高点的坐标为（，），且与它相邻的最低点又
专题 一次函数的图像和性质
初中数学竞赛辅导专题讲座 一次函数的图象和性质 1.（2000，“新世纪杯”广西初赛题）直线y=3x+4与坐标轴围成的三角形的面积 是 . 2.（1999，江苏省竞赛题）已知一次函数中，，则这样的一次函数的图像必经 过的公共象限有 个，即第 象限. 3. 写出一个关于的一次函数，使得当时，当时. . 4.（2001，天津市初赛题）若x+y+z=30,3x+y-z=50,x,y,z均为非负数，则 M=5x+4y+2z的取值范围是（ ） （A）100≤M≤110 （B）110≤M≤120 （C）120≤M≤130 （D）130≤M≤140 5. (2003,太原市竞赛题)当时,关于的函数的值恒为正.则的取值范围是 . 6.（1998，全国联赛题）已知abc≠0，并且，那么直线y=px+p一定通过（ ） （A）第一、第二象限 （B）第二、第三象限 （C）第三、第四象限 （D）第一、第四象限 7.（2001，湖北省黄冈市竞赛题）已知，且，则关于自变量的一次函数的图象一 定经过第 象限. 8.（2000，全国竞赛题）(2000，广西“新世纪”杯复赛题) 一个一次函数的图象与直线平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（-1,-25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）个（A）4（B）5（C）6（D）7 9．已知一次函数y=ax+b（a为整数）的图像过点（98，19），它与x轴的交点为（p,0），与轴的交点为(O,q).若p是质数,q是正整数,那么满足条件的所有一次函数的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)大 于2的整数 10.（2000，绍兴市竞赛题） 在一次函数y=-x+3的图象上取点P，作PA⊥x轴，垂足为A；PB⊥y 轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积为2，则这样的点P共有（ ） （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个 9.（1998，江苏省竞赛题）如果一条直线l经过不同的三点A（a,b），
高考中所有的函数图像大汇总
专项二 高考用到的函数图像总结 高考中用到的函数图像是指：一次函数图像、反比例函数图像、二次函数图像、幂函数图像（五种）、对勾（也称对号）函数图像、指数函数图像、对数函数图像、简单的三角函数图像、简单的三次函数图像 一、一次函数图像 （1）函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，它的定义域是R ，值域是R ； （2）一次函数的图象是直线，这条直线不能竖直，所以一次函数又叫线性函数； （3）一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 叫直线的斜率，b 叫直线在y 轴上的截距； 0>k 时，函数是增函 数，0 一次函数复习专题一 待定系数法求解析式 方法：依据两个独立的条件确定k,b 的值，即可求解出一次函数y=kx+b （k ≠0）的解析式。 ☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b （k ≠0）； ☆ 若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。 1、若函数y=3x+b 经过点（2，-6），求函数的解析式。 2、直线y=kx+b 的图像经过A （3，4）和点B （2，7）， 3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y （升）与行驶时间x （小时）之间的关系．求油箱里所剩油y （升）与行驶时间x （小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x 的取值范围。 4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点（-2,0）求解析式。 5、若一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-2≤x ≤6，相应的函数值的范围是-11≤y ≤9，求此函数的解析式。 6、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于y 轴对称，求k 、b 的值。 7、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于x 轴对称，求k 、b 的值。 8、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于原点对称，求k 、b 的值。 一次函数复习专题二 一次函数的平移 方法：直线y=kx+b 与y 轴交点为（0，b ），直线平移则直线上的点（0，b ）也会同样的平移，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。 直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。 1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。 2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 3. 直线y= 21 x 向右平移2个单位得到直线 4. 直线y=22 3 +-x 向左平移2个单位得到直线 5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 7. 直线x y 31 = 向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。 8. 直线14 3 +-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________。 9. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。 10. 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是___________. 11．把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是____________； 12．直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________； 一次函数复习专题三 一次函数与方程不等式 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线 y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =- ，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元 一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。 三、一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。 几何图形中函数解析式的求法 函数是初中数学的重要容，也是初中数学和高中数学有相关联系的细节，在历年的中考试题中都占有重要的份量，而求函数的解析式则成为中考的热点。求函数的解析式的方法是多种多样的，但是学生往往把思维固定在用“待定系数法”去求函数的解析式。而使用待定系数法去求函数的解析式的大前提是必须根据题目的条件，选用恰当函数（如正、反比例函数，一次、二次函数）的表达式。如果题目中能根据直接条件或间接条件给出函数的类型，当然是选用待定系数法求函数的解析式。 但我们发现，在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见题、压轴题。同时我们也发现，在几何图形中求函数解析式往往是无法确定所求函数的类型，因此用待定系数法进行解题是行不通的。我们知道，函数的解析式也是等式，要建立函数解析式，关键是运用已知条件在几何图形中找出等量关系，列出以变量有关的等式。下面以几个例子来探求在几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。 一、 用图形的面积公式确立等量关系 例1、如图1，正方形ABCD 的边长为2，有一点P 在 BC 上运动，设PB=x ，梯形APCD 的面积为y （1）求y 与x 的函数关系式； （2）如果S △ABP =S 体型APCD 请确定P 的位置。 分析：本题所给的变量y 是梯形的面积，因此可根据梯形面积公式 B C A D P 图1 A D C B E F G N 图2 S=2 1（上底+下底）×高 ，分别找出上底、下底、高问题可获解决。因为上底CP=x -2，下底AD=2，高CD=2，于是由梯形面积公式建立两个变量之间的等量关系，2)22(2 1 ?+-=x y ，整理得：22 2 +-=x y 。（2）略 例2、如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，AD=a ，BC=2a ，CD=2，四边形EFCG 是矩形，点E 、G 分别在腰AB 、CD 上， 点F 在BC 上。设EF=x ，矩形EFCG 的面积为y 。（2002年中考题） （1）求y 与x 的函数关系式； （2）当矩形EFCG 的面积等于梯形ABCD 的面积的一半时，求x 的值； （3）当∠ABC=30°时，矩形EFCG 是否能成正方形，若能求其边长，若不能试说明理由。 分析：本题所给的变量y 值是矩形的面积，因此根据矩形面积公式S=长×宽，若能算出长FC 与宽EF ，或者用变量x 、y 表示FC 和EF ，则问题可获解决。其中宽EF=x ，问题归结为求出长FC ，从而两个变量x 、y 之间的关系通过矩形面积公式建立了。 解：（1）过点A 作AN ⊥BC 于N ，因为在矩形EFCG 中，EF ⊥BC ， ∴EF ∥AN ∴ AN EF BN BF = 即 22x a a BF =-， 得BF=2 ax 1 / 3 一次函数解析式的确定练习题 第1题?如图所示，直线I 是一次函数y 二kx ? b 的图象，看图填空: 则y 与x 之间的函数关系式是 第5题.已知直线y = _5x ? a 与直y = 5x ? b 的交点坐标为 （m,8）， 贝H a b 的值是 _________________ . 1 第6题.若直线y x ? n 与直线y = mx -1相交于（1, - 2），则（ ） 2 第7题.已知下表是y 与x 的一次函数，请写出函数表达式， x -2 -1 0 2 3 y 4 第8题.如图所示，直线I 是一次函数y 二kx ?b 的图象. （1 ）图象经过（0, _ ）和（ _ -）点; （2）贝廿 k 二 ___ - b 二 _________ 第9题.某一次函数的图象经过点 （-1,2）-且函数y 的值随自变量2 出一个符合上述条件的函数关系式是 _____________________ 1 第10题.已知y-m 与3x+6成正比例关系（m 为常数当帚 -1 -2 第11题.已知一次函数y 二kx ? b 的图象经过点 A （2,5）和点E ,点E 是一次函数y = 2x -1 的图象与y 轴的交点，则这个一次函数的表达式是 ___________________ . 1 第12题.直线y =kx ? b 过点（-2,5）且与y 轴交于点P ，直线y x 3与y 轴交于Q - (1) b = k 二 ; (2 )当 x = 6 时， y = ； (3 )当 y =6时， X 二 . 第 2题. 一次函数 y =bx 2的图象经过点A （_1,1） ,I 则 b Y 第3题.正比例函数的图象经过点 A （-2,-3），求正比例函数的关系式. 第4题.y ?3与x 1成正比例，且当x = 1时，y =1 -T O k y / I /的增大而减小，请你写 I | 4 时，a yp4，当 x = 3 时, y =7，那么y 与x 之间的函数关系式是 1 2 3 2 高中数学常见函数图像 1.指数函数： 定义 函数 (0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 2.对数函数： 定义 函数 log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数 图象 1a > 01a << 定义域 (0,)+∞ 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数 x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y =x y O (1,0) 1 x =log a y x =x y O (1,0) 1 x =log a y x = 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 4. 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ? ?++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 一次函数考点归纳及例题详解 【考点归纳】 考点1：一次函数的概念. 相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数. 【例题】 1.下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=2x-1 B ．y= 3 x C ．y=2x 2 D ．y=-2x+1 2.已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，?该函数的解析式为_________． 3.已知一次函数k x k y )1(-=+3,则k = . 4.函数n m x m y n +--=+1 2)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ，n 时为一次函数． 考点2：一次函数图象与系数 相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0 5. 关于x 的一次函数y=kx+k 2+1的图像可能是（ ） 6.已知一次函数y =x +b 的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）. A.-2 B.-1 C.0 D.2 7.若一次函数m x m y 23)12(-+-=的图像经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是 ． 8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A.m ＞0,n ＜2 B. m ＞0,n ＞2 C. m ＜0,n ＜2 D. m ＜0,n ＞2 9．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示，则||n m -可化简为__ __. 10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是_ _。 考点3：一次函数的增减性 相关知识：一 次函数)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0 一次函数全集汇编附答案解析 一、选择题 1．一次函数y kx b +＝的图象与正比例函数6y x ＝﹣ 的图象平行且经过点A （1，-3），则这个一次函数的图象一定经过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第一、二、四象限 D ．第二、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 由一次函数y kx b +＝的图象与正比例函数6y x ＝﹣ 的图象平行可得k=-6，把点A 坐标代入y=-6x+b 可求出b 值，即可得出一次函数解析式，根据一次函数的性质即可得答案． 【详解】 ∵一次函数y kx b +＝的图象与正比例函数6y x ＝﹣ 的图象平行， ∴k=-6， ∵一次函数6y x b =-+经过点A （1，-3）， ∴-3=-6+b ， 解得：b=3， ∴一次函数的解析式为y=-6x+3， ∵-6＜0，3＞0， ∴一次函数图象经过二、四象限，与y 轴交于正半轴， ∴这个一次函数的图象一定经过一、二、四象限， 故选：C ． 【点睛】 本题考查了两条直线平行问题及一次函数的性质：若直线y=k 1x+b 1与直线y=k 2x+b 2平行，则k 1=k 2；当k ＞0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过 二、四象限，y 随x 的增大而减小；当b ＞0时，图象与y 轴交于正半轴；当b ＜0时，图象与y 轴交于负半轴． 2．一次函数y kx b =+是（,k b 是常数，0k ≠）的图像如图所示，则不等式0kx b +<的解集是（ ） A ．0x > B ．0x < C ．2x > D ．2x < 【答案】C 【解析】 由B x A y ++=)sin(?ω的图像求解析式 知识点归纳: 1. 利用“五点法”作sin()y A x ω?=+图像，设X x ω?=+，令X =30,,, ,2 2 2 π π ππ 求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象 特 征 图像上升时与x 轴的交点 图像上的“峰点” 图像下降时与x 轴的交点 图像上的“谷点” 图像上升时与x 轴的交点 x 1x 2x 3x 4x 5x ?ω+x 0 2π π 2 3π π2 sin()A x ω?+ A A - 注： 1x 、2x 、3x 、4x 、5x 分别为所给图像上的五个关键点（第一个点至第五个点），要注意x 和?ω+x 之间的对应系 2．函数B x A y ++=)sin(?ω表达式的确定：A （B ）由最值确定；ω由周期确定；?由图象上的特殊点（上面的关键点）确定 ①由图像观察最高点、最低点，B A y +=max 、B A y +-=min ，解这个关于A 和B 的二元一次方程组即得A 和B ②由图像观察周期，再利用T π ω2= ，求得ω 【由图像观察周期时,常见形式有: 1x 与5x 之间是一个周期T ；1x 与3x 、2x 与4x 之间是半个周期 2T ；1x 、2x 、3x 、4x 、5x 中相邻两个之间是四分之一的周期4 T .】 ③?的确定，一般要用图像的关键点来求，但要注意该关键点是“五点法”中的第几个点，如01=+?ωx ，2 2π ?ω= +x ，π?ω=+3x ，2 34π ?ω= +x ，从而根据以上等式，解出 ? 考点 确定函数解析式问题 例1.⑴若函数sin()y A x ω?=+的图像（部分）如下图所示，则ω和?的取值是（ ） A 、1,3 π ω?== B 、1,3 π ω?==- C 、1,26πω?== D 、1,6 πω?==- ⑵已知函数sin(),y A x x R ω?=+∈(其中0,0A ω>>)的图像在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为() 2,22M ,与x 轴在原点右侧的第一个交点为()6,0N ,则这个函数的解析式是 . ⑶若函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R （其中0ω>，2 ?π < ）的最小正周期是π，且(0)3f =，则（ ） A ．126 ω?π ==， B ．123 ω?π= =， C ．26 ω?π ==， D ．23 ω?π ==， 例2.⑴某港口水的深度y （米）是时间t (240≤≤t ,单位：时)的函数，记作()y f t =, 下面是某日水深的数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 经常期观察，()y f t =的曲线可以近似的看成函数b t A y +=ωsin 的图象，根据以上的数据，可得函数()y f t =的近似表达式为 . ⑵一个大风车的半径为8m ,每12min 旋转一周,最低点离地面2m ,风车翼片的一个端点P 离地面的距离()h m 与时间()min t 之间的函数关系式是()sin h A t B ω?=++,0t =时端 一次函数中考专题 一．选择题 1．如图，是某复印店复印收费y（元）与复印面数（8开纸）x（面）的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费（）A．0.4元 B．0.45 元C．约0.47元D．0.5元 2．如图，函数y=kx（k≠0）和y=ax+4（a≠0）的图象相交于点A（2，3），则不等式kx＞ax+4的解集为（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞2 D．x＜2 3．如图，已知：函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 4．甲、乙两汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a=40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t=3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（） A．0个B．1个 C．2个 D．3个 【解答】①由函数图象，得a=120÷3=40故①正确， ②由题意，得5.5﹣3﹣120÷（40×2），=2.5﹣1.5，=1． ∴甲车维修的时间为1小时；故②正确， ③如图：∵甲车维修的时间是1小时，∴B（4，120）． ∵乙在甲出发2小时后匀速前往B地，比甲早30分钟到达． ∴E（5，240）．∴乙行驶的速度为：240÷3=80， ∴乙返回的时间为：240÷80=3，∴F（8，0）． 设BC的解析式为y1=k1t+b1，EF的解析式为y2=k2t+b2，由图象，得 ，解得，， ∴y1=80t﹣200，y2=﹣80t+640， 当y1=y2时，80t﹣200=﹣80t+640，t=5.25． ∴两车在途中第二次相遇时t的值为5.25小时，故弄③正确， ④当t=3时，甲车行的路程为120km，乙车行的路程为80×（3﹣2）=80km， ∴两车相距的路程为：120﹣80=40千米，故④正确，故选：A．5．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论：（1）a=40，m=1；（2）乙的速度是80km/h；（3） 甲比乙迟h到达B地；（4）乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1 )如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G. (1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH,GP,求关于的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量的取值范围). (3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长. 解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=NH=OP=2. (2)在Rt△POH中, , ∴. 在Rt△MPH中, . ∴=GP=MP= (0<<6). (3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH时,,解得. 经检验, 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH时, ,解得. 经检验, 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH时,. 综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为或2 二、应用比例式建立函数解析式 例2 如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=. (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定与之间的函数解析式； (2)如果∠BAC的度数为,∠DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中与之间的函数解析式还成立?试说明理由. 解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB∽△EAC, ∴, ∴, ∴. (2)由于∠DAB+∠CAE=,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=,且函数关系式成立, ∴=, 整理得. 当时,函数解析式成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F. (1)求证: △ADE∽△AEP. (2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP的长. 解:(1)连结OD. 根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP. 根据三角函数图像求解析式经典20题 1是函数π 2sin()2 y x ω???? =+< ?? ?的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π 116ω?==， Ｂ．10π116 ω?= =-， Ｃ．π 26 ω?==， Ｄ．π 26 ω?==-， 2、若函数k x A y ++=)sin(?ω的最大值为5，最小值为－1，则函数A =____k =_______。 3、下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( ) （A ）sin()6y x π=+ （B ）cos(2)6y x π=- （C ）cos(4)3y x π =- （D ）sin(2)6y x π=- 4、已知函数()?? ? ? ? <>+=2,0sin π?ω?ωx y 的部分图象如右上图所示，则（ ） A. 6 ,1π ?ω== B. 6 ,1π ?ω- == C. 6 ,2π ?ω== D. 6 ,2π ?ω- == 5、将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移 6 π 个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A ．sin()6 y x π =+ B ．sin()6 y x π =- C ．sin(2)3y x π =+ D ．sin(2)3 y x π =- .6、设函数)(x f = )2sin(?+x （0<<-?π），)(x f 图像的一条对称轴是直线8 π = x ， 则? 的值为（ ）A ．2π B ．π C ．2π D ．4 π 7、函数)20,0,)(sin(π?ω?ω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 A ．4 ,2 π ?π ω= = B ．6 ,3 π ?π ω= = C ．4,4π?πω== D ．4 5,4π ?πω== 8、函数),2 ,0)(sin(R x x A y ∈π ω?+ω=的部分图象如图 所示，则函数表达式为） （A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π -π=x y （C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)4 8sin(4π +π=x y 9、函数()?ω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。（其中 π?πω<<->>,0,0A ） 10、已知函数k x A y ++=)sin(?ω (A >0，ω>0，|?|<π)在同一周期内，当9 π =x 时取 得最大值1，当9 4π =x 时，取得最小值0，求函数的表达式。 11、已知函数)sin(?ω+=x A y (A >0，ω>0，|?|<π) 的图象的一段如图，求它的解析式。 12、已知函数)sin(?ω+=x A y (A >0，ω>0，|?|< 2 π )的图象如图，求函数的解析式。 y x π 6 - 2 3 π 3 2 y x 2 1 -1 -2 π 12 11 O 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ） (3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数分类专题复习
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