10.2012初三一模题答案-西城

北京市西城区2012年初三一模试卷

数学答案及评分标准 2012. 5

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

A

C

B

C

B

D

B

C

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9 10 11

12 x ≥-2

()223b a -

13 13+-或（各2分）

4，4（各2分）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．解：原式=32133

321++?- …………………………………………………………4分

=32

3

+．…………………………………………………………………… 5分

14．解：

由①得2->x ．……………………………………………………………………1分

由②得x ≤

3

7

． ……………………………………………………………………3分 ∴ 原不等式组的解集是-2< x ≤3

7

．………………………………………………4分

∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 15.（1）证明：如图1.

∵ ∠ABC=90o，D 为AB 延长线上一点，

∴ ∠ABE=∠CBD=90o . …………………………………………………1分 在△ABE 和△CBD 中,

??

?

??=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB

∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分 （2）解：∵ AB=CB ，∠ABC=90o，

∴ ∠CAB =45°. …….…………………… 3分 又∵ ∠CAE=30o，

∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分

∵ △ABE ≌△CBD ，

①

② 图1

?????-+<-21 15)1(3x x x ，≥2x -4，

∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分

16. 解：原式=

()()()()2

a a

b a b a b b a a b ++-?- =()22

b

b a +. ..….….….….….……………………3分 ∵ 2a +b =0，

∴ a b 2-=. ……………………………………………………………………… 4分

∴ 原式=22

224)2()(a a a a =--.

∵ a 不为0，

∴ 原式=4

1

. ..….….….….……………………………………………………… 5分

17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点),2(m A ，

∴ 2m k =，且m ＞0.

∵ AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1，

∴ 1

212

m ??=.

解得 1=m . ……………………………………………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为)1,2(. ………………………………………………… 2分 ∴ 22k m ==. …………………………………………………………… 3分 （2）点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 18．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品.

依题意得 105.112001200+=x x . ……………………………………………………2分

解得40=x . …………………………………………………………………… 3分 经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分

∴ 605.1=x .

答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：（1）2，50；…………………………………2分 （2）5040%20?=，C 组的户数为20. … 3分

补图见图2． …………………………4分 （3）∵ 500(28%8%)180?+=，

∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少 于300元的户数是180．

……………………………… 5分

20．解：（1）∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=?，60C ∠=?，

)0(>=k x

k

y 图2

捐款户数分组统计图1

∴ 90ABC ∠=?，180120ADC C ∠=?-∠=?． 在Rt △ABD 中，∵90A ∠=?，15ABD ∠=?， ∴ 75ADB ∠=?．

∴ 45BDC ADC ADB ∠=∠-∠=?．…… 2分 （2）作BE CD ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（如图3）

在Rt △BCE 中，∵ BC=2，60C ∠=?， ∴ sin 3BE BC C =?=，cos 1CE BC C =?=． ∵ 45BDC ∠=?， ∴ 3DE BE ==．

∴ 31CD DE CE =+=+． …………………………………………… 3分 ∵ BC DF CD BE ?=?， ∴ (31)333

22

CD BE DF BC ?+?+=

==

． …………………………… 4分 ∵ AD ∥BC ，90A ∠=?，DF BC ⊥，

∴ 33

2

AB DF +==

． …………………………………………………… 5分 21．解：（1）作OF BD ⊥于点F ，连结OD ．（如图4） ∵ ∠BAD=60°，

∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB =OD ，

∴ 30OBD ∠=?．……………………… 2分

∵ AC 为⊙O 的直径，AC=4， ∴ OB= OD= 2．

在Rt △BOF 中，∵∠OFB =90°， OB=2，?=∠30OBF ， ∴ 130sin 2sin =?=∠?=OBF OB OF ，

即点O 到BD 的距离等于1. ………………………………………… 3分

（2）∵ OB= OD ，OF BD ⊥于点F ，

∴ BF=DF ．

由DE=2BE ，设BE=2x ，则DE=4x ，BD=6x ，EF=x ，BF=3x ． ∵ cos303BF OB =??=，

∴ 33x =

， EF=3

3

． 在Rt △OEF 中，90OFE ∠=?，

∵ tan 3OF

OED EF

∠==，

图3

F

E

A

D

B

C 图4

F

E D

A

O

C

B

∴ 60OED ∠=?，1

cos 2

OED ∠=． …………………………………… 4分 ∴ 30BOE OED OBD ∠=∠-∠=?．

∴ 90DOC DOB BOE ∠=∠-∠=?． ∴ 45C ∠=?．

∴ 222CD OC ==． ………………………………………………… 5分 22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分

（2）120°；………………………………………………………………………… 3分

27 ． ……………………………………………………………………… 5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，

∴ 22 210p q +++=．…………………………………………………… 1分 整理，得 25q p =--． …………………………………………………… 2分 （2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ?=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，

∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>．

∴ 0?>． ………………………………………………………………… 3分

∴ 抛物线2

y x px q =++与x 轴有两个交点．………………………… 4分

（3）∵ 抛物线2

1y x px q =++与抛物线221y x px q =+++

的对称轴相同，都为直线2p

x =-，且开口大小相同，

抛物线221y x px q =+++可由抛物线2

1y x px q =++

沿y 轴方向向上平移一个单位得到，

（如图5所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1．

∴ 四边形FEMN 是平行四边形． ………………5分

由题意得 22FEMN p

S EF =?-=四边形．

解得4p =±．………………………………………7分

24．证明：（1）如图6．

∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，

CH ⊥AB 于点H ，

直线DE 交直线CH 于点F ，

∴ BF=DF ，DH=BH ．…………………1分 ∴ ∠1=∠2．

图6

图5

y 2y 1

F

E N M

又∵ ∠EDA =∠A ，∠EDA =∠1， ∴ ∠A ＝∠2．

∴ BF ∥AC ．……………………………………………………………… 2分 （2）取FD 的中点N ，连结HM 、HN . ∵ H 是BD 的中点，N 是FD 的中点，

∴ HN ∥BF ． 由（1）得BF ∥AC ， ∴ HN ∥AC ，即HN ∥EM ． ∵ 在Rt △ACH 中，∠AHC =90°， AC 边的中点为M ， ∴ 12

HM AC AM ==．

∴ ∠A ＝∠3． ∴ ∠EDA =∠3． ∴ NE ∥HM ．

∴ 四边形ENHM 是平行四边形．……………………………………… 3分 ∴ HN=EM ．

∵ 在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF 的中点为N ， ∴ 12

HN DF =，即2DF HN =．

∴ 2DF EM =． ………………………………………………………… 4分 （3）当AB =BC 时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与

BE 相等的线段是EF 和CE ． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD ．（如图8）

∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，

∴ BC=CD ，∠ABC ＝∠5． ∵ AB ＝BC ，

∴ 1802ABC A ∠=?-∠， AB ＝CD ．① ∵ ∠EDA =∠A ，

∴ 61802A ∠=?-∠，AE =DE ．② ∴ ∠ABC ＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE 是△ADE 的外角， ∴ 6BDE A ∠=∠+∠． ∵ 45BDE ∠=∠+∠，

图7

图8

∴ ∠A ＝∠4．③

由①，②，③得 △ABE ≌△DCE ．………………………………………5分 ∴ BE = CE ． ……………………………………………………………… 6分 由（1）中BF=DF 得 ∠CFE=∠BFC ． 由（1）中所得BF ∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF ． ∴ ∠CFE=∠ECF ． ∴ EF=CE ．

∴ BE=EF ． ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE =EF =CE ．

（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE =EF 或BE =CE 只得2分）

25．解：（1）∵ 22

44(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，

∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．

∵ 抛物线2

44y ax ax a c =-++与x 轴交于 点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，

∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．

将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分

∴ 此抛物线的解析式为2

43y x x =-+．（如图9）…………………… 3分

（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与

抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）

可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．

∵ 1

APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．

可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．

∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分

∴ 由勾股定理得 5EA =．

∴ 15EP EA ==

． ∴ 点1P 的坐标为1(2,25)P +．…………………………………………… 5分 由对称性得点2P 的坐标为2(2,25)P --． ……………………………… 6分 ∴符合题意的点P 的坐标为1(2,25)P +、2(2,25)P --.

图9

x

y

O 1

D

C

B

A

（3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，

可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11） 若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，

则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上． ∵ 2QA QB -=，

∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA

作A N '⊥x 轴于点N ．

∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin451A N BA ''=??=，cos451BN BA '=??=． ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '． ∵ 点Q 在线段BD 上，

∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<． ∵ QA QA '=，

∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．

解得11

4

x =．

经检验，11

4

x =在23x <<的范围内．

∴ 点Q 的坐标为111

(,)44

Q -． …………………………………………… 7分

此时1115

()2(1)2244

QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''???=+=??+=??+=．… 8分

图10

x

y O 1

F

P 2

E

P 1

D

C

B

A

图11

x

y

O Q

M

A'

D

B A

N