量子力学论文
量子力学与经典力学异同之我见
摘要：
1.方法与任务
经典力学的任务大致可以分为三类：
（1）初值问题：给定系统初始时刻的状态，即每一个质点的坐标及速度，给定每一个质点的手里函数Fi（t），描写体系未来的状态（位置和速
度）。
（2）定态问题：给定体系的受力条件，描写体系最后达到的平衡条件（质点或刚体的位置）。
（3）逆向问题：已知系统中质点的运动规律反推质点（或由无数质点组成的物体）的受力信息。例如在汽车设计中，需要根据时速确定轮胎所
受的离心力，从而设计所用的材料的强度。
量子力学作为力学也履行经典力学的三个任务。所不同的是,面对初值问题确定系统的初试波函数时，很难用仪器直接测量。通常将能量最低的本征态视为初态，其依据是量子体系特别是由少数粒子组成的体系容易达到统计力学平衡状态，这时系统处于最低能态的几率最大。处理定态问题时由于量子力学引入了力学量算符，导致体系的力学量通常只能取一些分立值，即出现不连续的量子化现象。量子力学将力学的第三个任务处理为散射问题，即由碰撞后粒子的运动状态确定碰撞过程中的作用力形式。
量子力学在履行上述任务时首先根据经典力学关于质点的哈密顿量写出相应的算符，由此确定体统的波函数Ψ(t)随时间的演化，而波函数模平方∣Ψ(t)∣2代表质点在空间某点出现的概率密度。在这种意义上，可以说量子力学描写的东西仍然是质点在微观层次的运动状态，这是与经典力学相同的。所不同的是，经典力学所给出的描写是唯一确定的，而量子力学通常只给出各种时间出现的概率，即便是任意时刻的波函数Ψ(t)已被完全确定。
2.自由电子如何飞翔
与人们日常生活最密切相关的基本粒子是电子。我们所感受到的各种物体的
颜色、体积、软硬程度，都由电子运动状态决定；有关电视电脑等各种电器以及大量测量仪器的设计，其主要处理的物理对象也是电子。如下图所示，电子枪将一个电子以速度v 射入真空室。设电子进入真空室时的位置矢量为零，试问经历时间t 后，电子空间位置如何？
R (t)=v*t
按照速度的定义其测定必须观测粒子在给定时间间隔△t 内所经过的空间距离△s ，由此得到在△s 内的平均速度V=△s ∕△t 。如果选取△s 很小，则必然导致相对大的测量误差；如果增大△s ，则不能保证粒子飞跃此距离时速度始终保持不变。也就是说实验不能验证上式是否严格成立。
（1）式成立的前提是零时刻电子的矢量位置为零。按照量子力学关于动量(亦速度)p 与位置r 测量的不确定关系（△r △p ≧普朗克常数h ∕2），当完全测定了电子的位置△r=0时位置的不确定范围△r 是无限大。无论上述哪种情况，都完全否定（1）式的测量意义。因此，只能采取折中的方法，即在有限空间范围{△≠0，△v=h/2m △r}确定电子初始位置，所以相应于（1）式的表达应该是r(t)=v*t+△r+△v*t 如果仅考虑沿着X 轴的运动，则有X(T)=Vx*T+△X+△Vx*T=VxT+△X+ ht/2m △x 为了使X(t)的不确定范围最小，应使{△X+ ht/2m △x}取最小值，由此可得到测量位置的最优范围是
△Xm=（ht/2m ）^1/2=0.76*√tcm
也就是说，为了以最高精度预测入射到真空室中未来位置，测定其初始位置的误差范围不宜小于△Xm 。
以上的讨论使用了经典或半经典语言。若采用完全的量子力学语言，电子的运动状态应由一波函数Ψ(r ，t)描述，该波函数由含时薛定谔方程
确定。 显然平面波Ψ(r ，t)=Ae^(i*(pr-Et)/h)满足此方程，这里A 为与r 、t 无关的归一化常数，P ，E ，分别为电子的动量和动能。由此得到电子的位置矢量(量子力 学平均) ：
2
2()2i Ψ(,t)V (,t)t m ???=-?+ψ ????
r r r
其中，d r表示空间体积元。积分的结果是电子的平均位置在途所示真空室的中心。其实这很容易理解，因为与平面波相应的空间概率密度分布为常数，即电子
在空间各点出现的概率相同。按照量子力学的诠释，电子进入真空室后便可随机
的跳跃到空间任一点，没有关于电子空间位置岁时间变化的任何信息！所以奥本
海默说:“如果电子的位置是否保持不变，我们必须回答说‘不’；再问电子的
位置是否随时间变化，我们还必须说‘不’。
3.单摆振动有周期吗？
自从伽利略发现单摆的周期运动以来，人们深信单摆有精确不变的用运动
周期。应用牛顿力学，质量为m，半径为r的单摆球可被描写为一个一维（沿x 轴）运动
m(d2x/dt2)=-mw2x （2）
由此得到的运动周期与实验观测完全吻合。然而，应用量子力学且采用类似的等
效质心方法，则由哈密顿算符H=p2/2m+1/2mw2x2不含时，摆球的运动归结为一
维定态谐振子问题，由此得出对应于本征态能量En={n+1/2}hw的本征态为Ψn(x)=(mw/兀h)?(2^n*n!)?exp((-mw/2h)x2)Hn{（√mw/h）x}, n=0,1,2,3,……
其中，Hn(§)为埃尔米特多项式。所以，摆球质心的空间分布概率密度为
Pn(x)= ∣Ψn(x)∣2（3）
虽然随着量子数n的增大，由（3）式所给出的概率分布逐渐接近于（2）式所确
定的空间分布曲线，但是按照量子力学关于波函数的统计诠释，无论摆球的质
量有多大，它只能在空间随机的“跳来跳去”，即可以从x1点突然跃迁到x2
或x3点；仅当把无数这样的随机“跳动”过程做大量的统计后才能与∣Ψn(x)
∣2相吻合的空间概率分布。显然，量子力学与经典力学的结果迥然不同。
4.激光束中的氢原子
在实验室中有一束线（平面）偏振激光，其波长为488nm，光场强度为
10W/cm 2.这时在光束中只存在一个氢原子，那么其中的电子是如何运动?
（一）经典力学方法（牛顿力学）
电子所受的作用分为两部分，一部分为质子对电子的库伦作用，另一部分为交变电场E(t)(激光场)的作用，这里取z 轴方向与E(t)方向平行。
原子核对电子的作用：mx 〞=-(1/4兀ε0)*（e 2/r 2）*(x/r)
my 〞=-(1/4兀ε0)*（e 2/r 2）*(y/r)
mz 〞=-(1/4兀ε0)*（e 2/r 2）*(z/r)
关于激光场作用，首先考虑能否激光束处理为线偏振平面波并用下式描写：
E (t)=E 0* cos(ωt-ky)*z (4)
B (t)=E 0/c* cos(ωt-ky)*x (5)
(4)和(5)式描写的是电场偏振方向与z 轴平行沿y 方向传播的平面波光场。但是我们所见到的激光束都不是（4）和（5）所描写的严格意义上的平面波。所谓平面波，应该是其束宽无限大、波长频率单一、偏振方向单一，这是目前所有的实验室都不能实现的。当电子运动速度v ＜＜c(光速)时，洛伦兹力F B =e ∣v ×B 0≦evB 0=evE 0/c=F E ?v/c,由于v ＜＜c ，所以F B ＜＜F E ，故磁场的作用可忽略不计。因此，氢原子中的电子运动慢满足：
mx 〞=-(1/4兀ε0)*（e 2/r 2）*(x/r)
my 〞=-(1/4兀ε0)*（e 2/r 2）*(y/r)
mz 〞=-(1/4兀ε0)*（e 2/r 2）*(z/r)-eE 0 cos(ωt-ky)
（2）量子力学方法
如果采用波动力学方法，电子波函数Ψ(x ，t)满足薛定谔方程：
E Ψ(x ，t)=H Ψ(x ，t),
其中H=(-h 2/2m)▽2-(e 2/4兀ε0)/r+ezE 0 cos(ωt)
电子轨迹由下式确定：
比较上述两种方法，根据经典力学，激光场辐照下氢原子中的电子主要做圆周运2222(,)(,)(,)(,)22p d i x t E x t x t x t t m m dx ?ψ=ψ=ψ=-ψ?
动，但叠加有沿z轴方向的小幅度的周期振荡，其频率与激光频率w相同。因为量子力学没有轨道概念，故根据电子跃迁来分析，基态的球形电子云在沿z轴方向的振荡电场驱动下沿z方向“极化”。该结论与经典力学的结果不完全矛盾。
参考文献：
《量子力学衍义》宁西京科学出版社