AHP层次分析法示例说明

AHP （层次分析法）示例说明

(The Analgtic Hierarachy Process----AHP)

一. AHP 预备知识

为了更好地理解AHP ，需要准备一些矩阵方面的知识，以下知识都可以从《线性代数》中找到。

1.1 特征根与特征向量

设()

n

m ij

a A ?=为n 阶方阵，若存在常数λ和非零n 维向量),,,(21n g g g g

=，使得

g g A

λ=

(1) 则称，λ是矩阵A 的特征根（或特征值），非零向量g

是矩阵A 关于特征根λ的特征向量。

1.2 特征根的求法

由(1)得()00=-?=-g E A g g A

λλ，这是一个n 元一次线性齐次方程组，该方程组如果

有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即

0=-E A λ

(2)

称(2)式为矩阵A 的特征方程，它是一个一元n 次方程，由线性代数基本定理知，该方程有且只有n 个根。

1.3 重量模型

设n u u u ,,,21 为n 个物体，重量分别是n g g g ,,,21 。但是，我们并不知道物体的重量，只知两两之间重量比的比值：

j i ij g g a =

设准则C 为比较重量，问题是：

已知),1(n j i a ij ≤≤，在准则C 下对元素n u u u ,,,21 排序，也就是按其重量大小排序已知。

()?????????

? ??==?n

n n n n n m

n ij g g g g g g g g g g g g g g g g g g a A

2

1

2221212111 对于以下三个特性： （1）0>ij a （2）ji

ij a a 1=

（3）ik jk ij a a a =?

()ij

a 显然满足（1）与（2），但是，（3）式通常不被满足（因为统计或构造这么完整的数据很难），

满足（1）、（2）的矩阵A 为正互反矩阵；满足（1）、（2）并且（3）也成立时的矩阵A 称为一致性判断矩阵。问题是：已知判断矩阵A ，在准则C 下对n 个物体排序。即按重量大小排序。

如果，j

i

ij g g a =是，i g ，j g 是重量的精确值，此时（3）式必定成立，即A 是一致性判断矩阵。令

()T

n g g g g 21=

则带入计算，ng Ag =。显见n 是方阵A 的特征根，g 是A 的与n =λ对应的特征向量；事实上此时不难验证：n 是方阵A =(a ij )的最大特征根，其余n -1个特征根全为零，而g 是A 的与最大特征根n 对应的特征向量。（证明见附录）g 的n 个分量是物体的相对重量，因此，可按此对n u u u ,,,21 排序。

如果对矩阵A 有一个小的扰动，即ij a 不再是真实重量的比值，这时显然A 不满足一致性条件，此时A 的最大特征根m ax λ不再是n ；因扰动很小，自然m ax λ离n 不远，这时m ax λ对应的特征向量虽然不会是n 个物体的真实重量()T

n g g g g ,,,21

=，但是，变动也不会太大。我们设想：如果扰动

不大，则m ax λ离n 就不远，此时m ax λ对应的特征向量g '与g 差不多，如果g '不改变g 的各分量的大小次序，则g '同样给出n 个物体n u u u ,,,21 按重量大小的真实排序。

这样，对不满足一致性的正互反矩阵n n ij a A ?=)(，我们求其最大特征根m ax λ，再求与m ax λ对应的特征向量g ，则可按g 对n 个物体n u u u ,,,21 按重量大小排序。但是，这一番理论有几个疑点：①当A 不满足一致性时，A 还有没有最大正的特征根；②既使A 有最大特征根，那么，这个最大特征根m ax λ对应的特征向量的全部分量能否还是正数（重量不可能为负数）？这两个问题可以用矩阵代数中Perro —Frobineus 定理回答。

Perro-Frobineus 定理：

正矩阵存在重数为1重的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征向量是惟一的。（证明见itac 的ecmp 平台文档库中Proof_Of_PF_Theorem.pdf ）

Perron 定理明白地告诉我们，对正互反矩阵A ，既使它不满足一致性，也一定存在最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且“归一化”后是惟一的。但是，我们能否按这个“归一化”后是惟一的特征向量对n 个物体按重量大小排序呢？或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A 的最大特征根m ax λ=n 对应的特征向量的各分量间大小的排序呢？这个问题太难了，人们简直难于正面明确地回答，而只能给出一个并不是十分令人满意的简接回答。那就是对判断矩阵()

ij a A =的一致性满意程度进行检验：

我们说过，由于对A 不大的扰动，最大特征根离n 不应太远，所以一致性检验自然与n 有关。我们可以证明：只要A 的一致性不被满足，那么A 的最大特征根m ax λ一定比n 大，即m ax λ–n >0。（对于正互反矩阵最大特征根随扰动的变大而变大的证明没有找到，忘补充）

令

1..max --=

n n

I C λ

显然，我们希望..I C 尽量小；但是，..I C 小到什么程度，才能使

m ax λ与n 对应的特征向量“归

一化”后各分量大小次序不被破坏呢？这仍是一个非常非常困难的问题，可以说，人们难以正面回答这个问题。为此，AHP 发明者Saaty 给出了平均一致性检验值..I R 。我们重复1000次，对随机判断矩阵A 的最大特征根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如下：

阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 R.I . 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 令

.

..

...I R I C R C =

当1.0..0.1时，AHP 不再适用，这时，只能回头考虑，变更递阶层次结构，或对判断矩阵A 重新赋值。

二. AHP 基本步骤

用AHP 解决问题，有四个步骤：

1. 建立问题的递阶层次结构；

2. 构造两两比较判断矩阵；

3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重；

4. 计算各层元素组合权重，并进行一致性检验。

下面通过一个应用实例说明AHP 的每个步骤的实施。

例：某闹市区一商场附近交通拥挤。目标G ：改善该街区交通环境。有三种方案可供选择：1A ：修天桥或修高架桥；2A ：修地道；3A ：商场搬迁。

选择方案的准则有5个：1c ：通车能力；2c ：方便市民；3c ：改造费用；4c ：安全性；5c ：市容美观。

决策步骤：

A. 建立问题的递阶层次结构：

递阶层次结构中，每一层的每一个元素均是下一层中每个元素的准则。

B. 构造两两比较判断矩阵

构造判断矩阵n n ij a A ?=)(，在单准则下分别构造，即在G 下对1c 2c 3c 4c 5c ，构造判断矩阵；分别在1c 2c 3c 4c 5c 下对1A 2A 3A 构造判断矩阵。

在单一准则下，如何具体构造两两比较判断矩阵)(ij a A =呢？即如何具体确定比值ij a 呢？在AHP 中比较常用的是――1-9比例标度法。

关于1-9比例标度法的说明:

n 个元素n u u u ,,,21 ，两两比较其重要性共要比较

2

)

1(-n n 次。第i 个元素i u 与第j 个元素j

u 重要性之比为ij a 。通过使用标度比重，确定ij a ，一下是标度值：

=ij a 1 表示i u 与j u 重量相同，或重要性相同； =ij a 3 表示i u 比j u 稍重； =ij a 5 表示i u 比j u 明显重； =ij a 7 表示i u 比j u 强烈重； =ij a 9 表示i u 比j u 极端重；

数2、4、6、8则为上述判断的中值。 两两比较两个元素的重要性，总是在某种准则（准则层比较是以总目标G 为准则，方案层比较，分别以准则层中各元素为准则）下进行的。至于为什么取1-9比例标度，而不取别的，是因为人们直觉最多只能判断出9个等级的差异，再细的差异，人的直觉是分辨不出来的，而两两比较判断矩阵是领域专家靠感觉去分辨和构造的。从理论上讲，用1-15比例标度也未尝不可，只是人的直觉分辨不出。对n 个物体，两两比较其重要性得判断矩阵n n ij a A ?=)(，显然ij a 满足：

2. 准则层

3. 方案层 1. 目标层

0>ij a ，ji

ij a a 1

=

，1=ii a 共计

)1(2

1

-n n 个判断，所以A 是正的互反矩阵，且对角线上元素为1，这样的n 阶矩阵可表示为上三角或下三角矩阵。但A 的元素ij a 通常不具有传递性，即:

ik jk ij a a a ≠?

这是由事物的复杂性和人的认识的局限性造成的。如果式：

ik jk ij a a a =?

成立，则称A 是一致性矩阵。从判断矩阵A 出发到导出元素在某种准则C 下按重要性大小的排序，矩阵A 的一致性起着至关重要的作用。

按着1–9比例标度的上述说明，具体构造应用举例的六个准则下的两两比较判断矩阵分别为：

3

3

2A

道 2A

搬迁

3A

1/5

1

/5

1

搬迁 3A

1/5

1

/2

1

3

3

3

C. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重 对给出的共6个正互反矩阵，分别求: （1）m ax λ

（2）与m ax λ对应的特征向量并归一化得排序相对权重向量 （3）每个矩阵求m ax λ后，都要进行一致性检验。 例如以1c 作准则的判断矩阵为：

????

? ??=15/15/1511511

A

因阶数低，可直接求出最大特征根。由于A 是一致的，知m ax λ=3，其它的特征根均为0。下面来验证这一点：

λ

λλλ

λλ

λλ

λ---+--=---=

-15/15

1)

(15

/15

/151151115

/15

/1511511||E A

??

?===?=--=-=--+--=0

30)

2()()()2)((00005

1132max 222λλλλλλλλλλ

λ

再例如以准则2c 的判断矩阵为：

????

? ??=12/15/1213/1531

A

显然A 不满足一致性，因为5623132312=≠=?=?a a a 。

?????

? ??=12/15/1213/1531

A 由

λ

λλλ

λ

λ

λλ

λ---+--=---=-12/12

1)

(12

/15

/1213/153112/15/1213

/1531||E A

)2()(30

1

)()

2)((10/103/10

5

3

1222λλλλλλλλλ--=++

-=--+---=

30

1

3)2(30

1

)(2322=++-=-++

=λλλλλ

由于A 出现一个小的扰动而不满足一致性，此时不能再有m ax λ=3，而是m ax λ>3。这时，通常用迭代算法（乘幂法）求解出m ax λ与对应的特征向量，关于乘幂法可baidu 一下。

D. 计算各层元素组合权重，并进行一致性检验

（1）设准则层元素C 相对于总目标G 的排序权重向量为：

T

m a a a a ),,,(112111 = （本例中m =5）

（2）方案层各方案A 对准则层各元素j 的排序向量为：

),,2,1()

,,,(2

22212m j b b b b j j j n j == （本例中n =3，m=5）

令),,,(2

22212m b b b B = (m =5)

则方案层的n (n =3)个方案相对于总目标的组合权重向量为1

22a B a ?=：

????

? ??=??????

?

? ??????? ??*********************** 最后得到的()T

*,*,*就是方案A 、B 、C 在总目标G 下的排序向量。

（3）对于递阶层次组合判断的一致性检验

我们要逐层计算..I C ，设得到准则层针对目标层的计算结果为：1..I C ，1..I R ，1..R C 方案层针对目标层的相应指标为：

()

1

222122..,,..,....a I C I C I C I C m = ()

1222122..,,..,....a I R I R I R I R m =

本例中m =5，则2

2

12........I R I C R C R C +

=（为什么使用加法） 上面i

I C 2..和i

I R 2..分别是方案层针对准则层的第i 个准则下判断矩阵的一致性指标和平均随机一致性指标。

当1.0..2

附录：

关于（n 是方阵A =(a ij )的最大特征根，其余n -1个特征根全为零，而g 是A 的与最大特征根n 对应的特征向量）的证明：

证明1：

对于一致性正互反举证：

????

???????????????

?=n n n n n n W W W W W W W W W W W W W W W W W W A

2

12221

212111

很容易看出，每行成比例，因此矩阵的秩=1，非零特征根有1个。

并且∑λI ＝ ∑a ii ，因此n =∑λI =λ

证明2：

设两两比较相对重量的精确测度为：

?????????

???????????=n n n n n n W W W W W W W W W W W W W W W W W W A

2122212

12

1

11

则特征方程0||=-E A κ，有一重实根n =λ及n –1重0根。

证明：

??

??

????

????

????????---=-=λλ

λλλn n

n n n n n W W W W W W W W W W W W W W W W W W E A f

21

22

2

12

12

11

1

||)( ()()

λλλλλλ112

1

22

2

12121

11

)

()(---+=-+??

??

????

?

?

??????????--=n n n n

n n n n f B f W W W W W W W W W W W W W W W W W W

()()1

12112

1

11000000---=-=????

?

?????

????????????---=n n n W W W W W W W W B λλλλλ ()()()()()()[]

()()()λλλλλλλλλ22

12212------+-=-+--+-=∴n n n n n n f f f

()()()

()

()λλλλ22

1

2f n f n n n ---+--=? ()()λλλλλλ2112211

1

2-=--=??

???????

???--=---n n

n n

n n n n W W W W W W W W f ()()()()()221

1+-?-+--=∴--λλλλn n n n f

()()()01

=-?-=-λλλn f n n

故n =λ为一重特征根，0=λ为n –1重特征根。