等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法
证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、定义法
1.证明数列是等差数列的充要条件的方法：
{}
1
()
n n n
a a d a
+
-=?
常数是等差数列
{}
2222
()
n n n
a a d a
+
-=?
常数是等差数列
{}
3333
()
n n n
a a d a
+
-=?
常数是等差数列
2.证明数列是等差数列的充分条件的方法：
{}
1
(2)
n
n n
a
a a d n
-
-=≥?是等差数列
{}
11
(2)
n n n n n
a n a
a a a
+-
-=-≥?是等差数列
3.证明数列是等比数列的充要条件的方法：
{}
1(00)
n
n
n
a
q q a
a
+=≠≠?
1
且为常数，a为等比数列
4.证明数列是等比数列的充要条件的方法：
1
n
n
a
q
a
-
=（n>2，q为常数且≠0）{}n a
?为等比数列
注意事项：用定义法时常采用的两个式子
1
n n
a a d
-
-=和
1
n n
a a d
+
-=有差别，前者必须加上“2
n≥”，否则1
n=时
a无意义，等比中一样有：2
n≥时，有
1
n
n
a
q
a
-
==（常数0
≠）；②
n *∈N 时，有
1
n n
a q a +==（常数0≠）． 例1. 设数列12,,
,,
n a a a 中的每一项都不为0。
证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有
1223
111
11
1n n n n
a a a a a a a a +++++
=
。 证明：先证必要性
设{}n a 为等差数列，公差为d ，则 当d =0时，显然命题成立 当d ≠0时， ∵
111111n n n n a a d a a ++??
=- ???
再证充分性：
∵
122334111
a a a a a a ++???111
1n n n n
a a a a ++++
=?? ………① ∴
122334
111
a a a a a a ++???11212
111
n n n n n n a a a a a a +++++++
+=??? ………② ②﹣①得：
121211
11n n n n n n
a a a a a a +++++=-???
两边同以11n n a a a +得：112(1)n n a n a na ++=+- ………③ 同理：11(1)n n a na n a +=-- ………④
③—④得：122()n n n na n a a ++=+
即：211n n n n a a a a +++-=- {}n a 为等差数列
例2. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试证}{n a 为等差数列的充要条件是
)(,2
)
(*1N n a a n S n n ∈+=
。 证：?）若}{n a 为等差数列，则
=+=+=+--23121n n n a a a a a a ……，
故
)(.......)()(21221a a a a a a S n n n n ++++++=-
2
)
(1n n a a n S +=
（?）当n ≥2时，由题设，2
)
(,2))(1(1111n n n n a a n S a a n S +=+-=
--
所以2
)
)(1(2)(11211--+--+=
-=n n n n a a n a a n S S a 同理有2
)
(2))(1(1111n n n a a n a a n a +-++=
++
从而2
)
)(1()(2))(1(111111-+++-++-++=
-n n n n n a a n a a n a a n a a
整理得：a n +1－a n =a n －a n －1，对任意n ≥2成立. 从而{a n }是等差数列.
例3.已知数列{}n a 是等比数列（1q ≠-），n S 是其前n 项的和，则232k k k k k S S S S S --，，，…，仍成等比数列。
证明一：
（1）当q =1时，结论显然成立；
（2）当q ≠1时， (
)()()2311123111,,111k k k k k k a q a q a q S S S q q
q
---=
=
=
---
()()21121111k k k k a q a q S S q
q
---=
-
--()111k k a q q q -=
-
()()3211321111k k k k a q a q S S q
q
---=
-
--()2111k k a q q q
-=
-
()()2
222
122
1(1)k k k k a q q S S q -∴-=
-()()2113211()11k k k k k k a q a q q S S S q q
--?-=?
--()
2
22121(1)k k a q q q -=- ∴()2
2k k S S -=32()k k k S S S ?- ∴232k k k k k S S S S S --，，成等比数列. 证明二：2k S －k S =1232()k a a a a +++－123()k a a a a +++
=1232k k k k a a a a ++++++
=123()k k q a a a a +++=k k q S 0≠
同理，3k S －2k S =2122233k k k k a a a a ++++++= 2k k q S 0≠
∴232k k k k k S S S S S --，，成等比数列。
练习：
二、中项法
(1).(充要条件)
若{}1
22n n n n a a a a ++=+?是等差数列
(注：三个数c b a ,,为等差数列的充要条件是:c a b +=2)
(充分条件)
211-++=n n n a a a (2≥n ){}n a ?是等差数列，
（2）.(充要条件)
若 2
21(0)n n n n a a a a ++=≠ {}n a ?是等比数列
(充分条件)
1
12-+?=n n n a a a （n ≥1）{}n a ?是等比数列，
注:
(0)b a c =?>?是a 、b 、c 等比数列的充分不必要条件
b =?是a 、b 、
c 等比数列的必要不充分条件.
(0)b a c =?>?是a 、b 、c 等比数列的充要条件.
任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. 三、通项公式与前n 项和法 1. 通项公式法
（1）.若数列通项n a 能表示成n a an b =+（a b ，为常数）的形式， 则数列{}n a 是等差数列。(充要条件)
(2).若通项n a 能表示成n n a cq =(c q ，均为不为0的常数，n +∈N )的形式， 则数列{}n a 是等比数列．(充要条件) 2. 前n 项和法
(1).若数列{}n a 的前n 项和S n 能表示成2n S an bn =+ (a ，b 为常数)的形式， 则数列{}n a 是等差数列；(充要条件)
(2).若S n 能表示成n n S Aq A =-(A q ，均为不等于0的常数且q ≠1)的形式， 则数列{}n a 是公比不为1的等比数列． (充要条件) 四、归纳—猜想---数学归纳证明法
先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给
出证明。
这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n k =时命题成立”到“1n k =+时命题成立”要会过渡． 五、反证法
解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．
六、等差数列与等比数列的一些常规结论 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列
（1）数列{}n a {}n a λ（λ为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列； （2）若{}n b 是公比为q '的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq '的等比数列；
（3）数列1n a ??????是公比为1
q 的等比数列；
（4）{}n a 是公比为q 的等比数列；
（5）在数列{}n a 中，每隔()k k *∈N 项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为1k q +；
（6）若()m n p m n p *∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等比数列； （7）232n n n n n S S S S S --，，均不为零时，则232n n n n n S S S S S --，，成等比数列； （8）若{log }b n a 是一个等差数列，则正项数列{}n a 是一个等比数列．
若数列{}n a 是公差为d 等差数列，
则
（1）{}n ka b +成等差数列，公差为kd （其中0k k b ≠，，是实常数）； （2）(1){}n k kn S S +-，（k k ∈N ，为常数），仍成等差数列，其公差为2k d ；
（3）若{}{}n n a b ，都是等差数列，公差分别为12d d ，，则{}n n a b ±是等差数列，公差为12d d ±；
（4）当数列{}n a 是各项均为正数的等比数列时，数列{lg }n a 是公差为lg q 的等差数列；
（5）()m n p m n p *∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等差数列．
作业