latex通用函数

sh}k

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希腊字母

斜体小写希腊字母一般用于在方程中显示变量。

黑板粗体

语法

\mathbb{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}

效果

黑板粗体（Blackboardbold）一般用于表示数学和物理学中的向量或集合的符号。备注：

1. 花括号中只有使用大写拉丁字母才能正常显示，使用小写字母或数字会得到其他符号。正粗体

\mathbf{012…abc…ABC…}

效果

备注

花括号{}内只能使用拉丁字母和数字，不能使用希腊字母如\alpha等。斜粗体语法

\boldsymbol{012…abc…ABC…\alpha \beta\gamma…}

效果

备注

使用\boldsymbol{}可以加粗所有合法的符号。

斜体数字

语法

\mathit{0123456789}

效果

罗马体

语法

\mathrm{012…abc…ABC…}或\mbox{}或\operatorname{}

效果

备注

罗马体可以使用数字和拉丁字母。

哥特体

\mathfrak{012…abc…ABC…}

效果

备注

哥特体可以使用数字和拉丁字母。

手写体

语法

\mathcal{ABC…}

效果

备注

手写体仅对大写拉丁字母有效。

希伯来字母

语法

\aleph\beth\gimel\daleth

效果

?可以使用\big, \Big, \bigg, \Bigg控制括号的大小，比如代码

\Bigg( \bigg[ \Big\{\big\langle \left | \| \frac{a} {b} \| \right | \big\rangle\Big\}\bigg] \Bigg)

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注意TEX能够自动处理大多数的空格，但是您有时候需要自己来控制。

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?{\color{Blue}x^2}+{\color{Brown}2x} -{\color{OliveGreen}1}

常见分段函数问题求解策略

常见分段函数问题求解策略【方法综述】分段函数：(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就常见分段函数问题解决方法举例说明．【题型展示】 1．求分段函数的函数值例1. 已知函数???>-≤+=) 0(2) 0(1)(2x x x x x f ，则[(1)]f f = 解：因为()21-=f ,所以[(1)]f f ()()51222 =+-=-=f . 解题策略求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理． 2．求解分段函数的解析式例2.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示．则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y 与x 之间的函数关系式．解： (1)由题意可知当0＜x ≤100时，设函数的解：析式y ＝kx ，又因过点(100,40)，得解析式为y ＝2 5 x ，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y ＝2 5 ×50＝20(元)． (2)当x ＞100时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由图知x ＝100时，y ＝40；x ＝200时，y ＝60. 则有??? ?? 40＝100k ＋b ，60＝200k ＋b ，解：得????? k ＝15 ， b ＝20，所以解：析式为y ＝1 5 x ＋20，故所求函数关系式为y ＝????? 25x ，0＜x ≤100， 1 5x ＋20，x ＞100. 解题策略以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中，解决此类问题的关键是正确地理解：题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分

LaTeX入门教程

LaTeX入门教程里面的图好多都刷不出来，于是我就自己运行了一遍，至少验证了这个教程的正确性O(∩_∩)O哈哈~ CTEX - 在线文档- TeX/LaTeX 常用宏包资料下载： LaTeX2e插图指南LaT eX2e使用手册TeX语言CTeX FAQ 常见问题集 Contents ?TEX/L A TEX是什么？ ?为什么要用TEX/L A TEX？ ?安装 ?开始使用 ?数学符号 o行内公式与行间公式 o上标与下标 o常见的数学公式 o行列式与矩阵 o方程组与分段函数 ?使用中文 ?文章的各个部分 ?表格 ?插图 ?罗列 ?分割长文档 ?学习资料 ?幻灯片制作简介 ?重要建议 ?Bibliography T E X/L A T E X是什么？ T E X 是一个非常优秀的排版软件，L A T E X 是基于T E X 之上的一个宏包集。因为L A T E X 的出现，使得人们使用T E X 更加容易，目前大部分人们使用的T E X 系统都是L A T E X 这个宏集。为什么要用T E X/L A T E X？我们为什么要用T E X/L A T E X 来排版我们的论文、书籍呢？因为它 ?排版的效果非常整齐漂亮； ?排版的效率高； ?非常稳定，从95年到现在，T E X 系统只发现了一个bug。由此可见它的稳定性； ?排版科技文献，尤其是含有很多数学公式的文献特别方便、高效。现今没有一个排版软件在排版数学公式上面能和T E X/L A T E X 相媲美；安装我们可以从https://www.360docs.net/doc/895441091.html,上下载最新的中文T E X 套装，Windows 用户请下载CT E X 套装，Linux 用户可以下载TeXlive 来安装。安装过程就不用我多说了吧！

求函数极限的方法和技巧

求函数极限的方法和技巧在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义：例: 用极限定义证明：12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由24 4122322-+-=--+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε，取εδ=，则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 。 2、利用极限的四则运算性质：若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则：B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 453lim 22+++→x x x x = 2 5 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →）例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() ( ) ) 12102(65) 2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x

高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版

高等数学求极限的常用方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

函数用法大全

EXCEL 函数用法

1.ABS 用途：返回某一参数的绝对值。语法：ABS(number) 参数：number 是需要计算其绝对值的一个实数。实例：如果A1=-16，则公式“=ABS(A1)”返回16。 2.ACOS 用途：返回以弧度表示的参数的反余弦值，范围是0~π。语法：ACOS(number) 参数：number 是某一角度的余弦值，大小在-1～1 之间。实例：如果A1=0.5，则公式“=ACOS(A1)”返回1.047197551(即π/3 弧度，也就是600)；而公式“=ACOS(-0.5)*180/PI()”返回120°。 3.ACOSH 用途：返回参数的反双曲余弦值。语法：ACOSH(number) 参数：number 必须大于或等于1。实例：公式“=ACOSH(1)”的计算结果等于0；“=ACOSH(10)”的计算结果等于2.993223。 4.ASIN 用途：返回参数的反正弦值。语法：ASIN(number) 参数：Number 为某一角度的正弦值，其大小介于-1～1之间。实例：如果A1=-0.5，则公式“=ASIN(A1)”返回-0.5236(-π/6 弧度)；而公式“=ASIN(A1)*180/PI()”返回-300。 5.ASINH 用途：返回参数的反双曲正弦值。语法：ASINH(number) 参数：number 为任意实数。实例：公式“=ASINH(-2.5)”返回-1.64723；“=ASINH(10)”返回2.998223。 6.ATAN 用途：返回参数的反正切值。返回的数值以弧度表示，大小在-π/2～π/2 之间。语法：A TAN(number) 参数：number 为某一角度的正切值。如果要用度表示返回的反正切值，需将结果乘以180/PI()。实例：公式“=ATAN(1)”返回0.785398(π/4 弧度)；=ATAN(1)*180/PI()返回450。 7.ATAN2 用途：返回直角坐标系中给定X 及Y 的反正切值。它等于X 轴与过原点和给定点(x_num，y_num)的直线之间的夹角，并介于-π～π之间(以弧度表示，不包括-π)。语法：A TAN2(x_num，y_num) 参数：X_num 为给定点的X 坐标，Y_num 为给定点的Y 坐标。实例：公式“=ATAN2(1，1)”返回0.785398(即π/4 弧度)；=ATAN2(-1，-1)返回-2.35619(-3π/4 弧度)；=ATAN2(-1，-1)*180/PI()返回-1350。 8.ATANH 用途：返回参数的反双曲正切值，参数必须在-1～1 之间(不包括-1 和1)。语法：A TANH(number) 参数：number 是-1 实例：公式“=ATANH(0.5)”返回0.549306144；=ATANH(-0.1)返回-0.10034。

(完整word版)LaTeX入门教程v2.doc

计算机与 IT 入门实验讲义 LaTeX入门实验实验手册大连理工大学软件学院实训基地 2016 年 7 月

1 LaTeX 简介 LaTeX（ L A T E X ，音译“拉泰赫”）是一种基于ΤΕΧ的排版系统，由美国计算机学家莱斯利·兰伯特（ Leslie Lamport）在 20 世纪 80 年代初期开发，利用这种格式，即使使用者没有排版和程序设计的知识也可以充分发挥由 TeX 所提供的强大功能，能在几天，甚至几小时内生成很多具有书籍质量的印刷品。对于生成复杂表格和数学公式，这一点表现得尤为突出。因此它非常适用于生成高印刷质量的科技和数学类文档。这个系统同样适用于生成从简单的信件到完整书籍的所有其他种类的文档。 LaTeX 编辑器有很多，这里我们使用 WinEdt，它是 CTeX 自带的一款，功能比较齐全，也是我的入门编辑器。入门首推这款，下载CTeX 即可，也可以单独安装。 2 WinEdt 指南首先我们来简单了解WinEdt 的使用，打开 WinEdt，新建空白文件，软件的基本界面如图所示。工具栏中蓝色框内为编译模式选项，本次实验中我们选择选择 PDFLaTeX。编译后我们可以使用该下拉菜单下的PDFTeXify 选项查看生成的PDF。

3 LaTeX 案例讲解本次实验我们以 example.pdf 文档的编写为例讲解LaTex 编写文档的过程，涉及到中文支持，图片插入，公式编辑，表格编辑，算法编辑等。文档对应的 .tex 源文件为 example.tex。 3.1 LaTeX 宏定义及中文支持 LaTex 宏定义主要设置了文档的基本格式和以及源文档编译时会用到的包。如案例文档的源文件中，设置了如下的宏定义： \documentclass指定了要编写的文档类型为普通的文章。3-4 行设定了文档中的段落要首行缩进两个空格，最后两行设定了文档的页边距，即上下左右均留出1.0cm 的空白。 LaTeX 在默认情况下不能支持中文字符，因此为了支持文档中的中文，我们需要导入相应的中文包，其中最常用的方法是导入CJK 包，具体的命令如上图第二行所示， \usepackage{CJK}。 3.2 LaTeX 文档结构 LaTeX 的文档包括宏定义和正文两个大部分，其中正文部分要写在一组 \begin{} 和\end{} 标签，如下所示 \end{document} 后面的内容不会出现在生成的文档中。由于本案例中需要使用中文，要额外添加一对标签 \begin{CJK*} \end{CJK*}，

高等数学求极限的常用方法

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）

excel中六种逻辑函数的使用.

excel中六种逻辑函数的使用 2008-04-18 09:31 用来判断真假值，或者进行复合检验的Excel函数，我们称为逻辑函数。在Excel中提供了六种逻辑函数。即AND、OR、NOT、FALSE、IF、TRUE函数。一、AND、OR、NOT函数这三个函数都用来返回参数逻辑值。详细介绍见下：（一）AND函数所有参数的逻辑值为真时返回 TRUE；只要一个参数的逻辑值为假即返回 FALSE。简言之，就是当AND的参数全部满足某一条件时，返回结果为TRUE，否则为FALSE。语法为AND(logical1,logical2, ...)，其中Logical1, logical2, ... 表示待检测的 1 到30 个条件值，各条件值可能为TRUE，可能为 FALSE。参数必须是逻辑值，或者包含逻辑值的数组或引用。举例说明： 1、在B2单元格中输入数字50，在C2中写公式=AND(B2>30,B2<60)。由于B2等于50的确大于30、小于60。所以两个条件值（logical）均为真，则返回结果为TRUE。图1 AND函数示例1 2、如果 B1-B3 单元格中的值为 TRUE、FALSE、TRUE，显然三个参数并不都为真，所以在 B4单元格中的公式=AND(B1:B3) 等于 FALSE 图2 AND函数示例2 （二）OR函数 OR函数指在其参数组中，任何一个参数逻辑值为 TRUE，即返回 TRUE。它与AND函数的区别在于，AND函数要求所有函数逻辑值均为真，结果方为真。而OR函数仅需其中任何一个为真即可为真。比如，上面的示例2，如果在B4单元格中的公式写为=OR(B1:B3)则结果等于TRUE 图3 OR函数示例（三）NOT函数 NOT函数用于对参数值求反。当要确保一个值不等于某一特定值时，可以使用 NOT 函数。简言之，就是当参数值为TRUE时，NOT函数返回的结果恰与之相反，结果为FALSE. 比如NOT(2+2=4)，由于2+2的结果的确为4，该参数结果为TRUE，由于是NOT函数，因此返回函数结果与之相反，为FALSE。二、TRUE、FALSE函数 TRUE、FALSE函数用来返回参数的逻辑值，由于可以直接在单元格或公式中键入值TRUE或者FALSE。因此这两个函数通常可以不使用。三、IF函数（一）IF函数说明 IF函数用于执行真假值判断后，根据逻辑测试的真假值返回不同的结果，因此If函数也称之为条件函数。它的应用很广泛，可以使用函数 IF 对数值和公式进行条件检测。它的语法为IF(logical_test,value_if_true,value_if_false)。其中Logical_test表示计算结果为 TRUE 或 FALSE 的任意值或表达式。本参数可使用任何比较运算符。 Value_if_true显示在logical_test 为 TRUE 时返回的值，Value_if_true 也可以是其他公式。Value_if_false logical_test 为 FALSE 时返回的值。Value_if_false 也可以是其他公式。简言之，如果第一个参数logical_test返回的结果为真的话，则执行第二个参数

分段函数的几个问题-人教版

分段函数的几个问题分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。学生对此理解比较肤浅，本文就分段函数的相关问题整理、归纳如下： 1、分段函数的含义所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本理解：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 2、求分段函数的函数值例1 已知函数13 2(0) ()1)log (1)x x f x x x x ?<=≤≤>??,求{[()]}f f f a (a <0)的值。分析求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相对应的对应法则求值。()f x 是分段函数，要求{[()]}f f f a ，需要确定[()]f f a 的取值范围，为此又需确定()f a 的取值范围，然后根据所在定义域代入相对应的解析式，逐步求解。解 ∵a <0, ∴()2a f a =, ∵0<2a <1, ∴[()]f f a =(2)a f =3, ∵3>1, ∴{[()]}f f f a =f =13log =－2 1, 3、求分段函数的解析式例2 已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。解 ∵()f x 是定义域在R 上的奇函数， ∴(0)f =0. 又当x ＜0时，－x >0, 故有()f x -=－x [5－(－x )]+1=－x (5+x )+1。再由()f x 是奇函数, ()f x =－()f x =x (5+x )－1.∴(5)1(0)()0(0)(5)1(0)x x x f x x x x x -+>??==??+-

LaTeX入门教程v2

计算机与IT入门实验讲义LaTeX入门实验实验手册大连理工大学软件学院实训基地 2016年7月

t h e b e n g a r e g o o d f o 1LaTeX 简介 LaTeX （L A T E X ，音译“拉泰赫”）是一种基于ΤΕΧ的排版系统，由美国计算机学家莱斯利·兰伯特（Leslie Lamport ）在20世纪80年代初期开发，利用这种格式，即使使用者没有排版和程序设计的知识也可以充分发挥由TeX 所提供的强大功能，能在几天，甚至几小时内生成很多具有书籍质量的印刷品。对于生成复杂表格和数学公式，这一点表现得尤为突出。因此它非常适用于生成高印刷质量的科技和数学类文档。这个系统同样适用于生成从简单的信件到完整书籍的所有其他种类的文档。 LaTeX 编辑器有很多，这里我们使用WinEdt ，它是CTeX 自带的一款，功能比较齐全，也是我的入门编辑器。入门首推这款，下载CTeX 即可，也可以单独安装。 2WinEdt 指南首先我们来简单了解WinEdt 的使用，打开WinEdt ，新建空白文件，软件的基本界面如图所示。工具栏中蓝色框内为编译模式选项，本次实验中我们选择选择PDFLaTeX 。编译后我们可以使用该下拉菜单下的PDFTeXify 选项查看生成的PDF 。

3LaTeX案例讲解本次实验我们以example.pdf文档的编写为例讲解LaTex编写文档的过程，涉及到中文支持，图片插入，公式编辑，表格编辑，算法编辑等。文档对应的. tex源文件为example.tex。 3.1 LaTeX宏定义及中文支持 LaTex宏定义主要设置了文档的基本格式和以及源文档编译时会用到的包。如案例文档的源文件中，设置了如下的宏定义： \documentclass指定了要编写的文档类型为普通的文章。3-4行设定了文档中的段落要首行缩进两个空格，最后两行设定了文档的页边距，即上下左右均留出1.0cm的空白。 LaTeX在默认情况下不能支持中文字符，因此为了支持文档中的中文，我们需要导入相应的中文包，其中最常用的方法是导入CJK包，具体的命令如上图第二行所示，\usepackage{CJK}。 3.2 LaTeX文档结构 LaTeX的文档包括宏定义和正文两个大部分，其中正文部分要写在一组 \begin{}和\end{} 标签，如下所示由于本案例中需要使用中文，要额外添加一对标签\begin{CJK*} \end{CJK*}，

求极限的常用方法(精髓版)考试必备

求极限的常用方法（精髓版）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1) lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例5 求极限 x →解 01)2x x x →→→=== 5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和1lim(1)x x e x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。例6 求极限 x x x x ??? ??-++∞→11lim

高等数学求极限的16种方法

高等数学求极限的16种方法首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）

极限的常用求法及技巧.

极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通。 1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n

分段函数的几种常见题型及解法

分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3 [2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈?? ∈+∞?的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12 [()]f f . 【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以3 12 22 3 2 14[()]()1() 13 f f f =-== +-. 3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值.

【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, m ax ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有m ax ()4f x =. 4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】当[2,0]x ∈-时, 1 2 1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式为11 2 2 (2)111y x x = -+-= -, 所以 ()22 ( [f x x x = + ∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 1 2 ()2([0,2])f x x x = +∈, 综上可得2 22(10) ()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像例5．函数|ln | |1|x y e x =--的图像大致是（） y x

求极限的方法及例题总结

1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。注：本题也可以用洛比达法则。例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以。例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：

EXCEL中常用函数及使用方法

EXCEL中常用函数及使用方法 Excel函数一共有11类：数据库函数、日期与时间函数、工程函数、财务函数、信息函数、逻辑函数、查询和引用函数、数学和三角函数、统计函数、文本函数以及用户自定义函数。 1.数据库函数当需要分析数据清单中的数值是否符合特定条件时，可以使用数据库工作表函数。例如，在一个包含销售信息的数据清单中，可以计算出所有销售数值大于1,000 且小于2,500 的行或记录的总数。Microsoft Excel 共有12 个工作表函数用于对存储在数据清单或数据库中的数据进行分析，这些函数的统一名称为Dfunctions，也称为D 函数，每个函数均有三个相同的参数：database、field 和criteria。这些参数指向数据库函数所使用的工作表区域。其中参数database 为工作表上包含数据清单的区域。参数field 为需要汇总的列的标志。参数criteria 为工作表上包含指定条件的区域。 2.日期与时间函数通过日期与时间函数，可以在公式中分析和处理日期值和时间值。 3.工程函数工程工作表函数用于工程分析。这类函数中的大多数可分为三种类型：对复数进行处理的函数、在不同的数字系统（如十进制系统、十六进制系统、八进制系统和二进制系统）间进行数值转换的函数、在不同的度量系统中进行数值转换的函数。 4.财务函数财务函数可以进行一般的财务计算，如确定贷款的支付额、投资的未来值或净现值，以及债券或息票的价值。财务函数中常见的参数：未来值(fv)--在所有付款发生后的投资或贷款的价值。期间数(nper)--投资的总支付期间数。付款(pmt)--对于一项投资或贷款的定期支付数额。现值(pv)--在投资期初的投资或贷款的价值。例如，贷款的现值为所借入的本金数额。利率(rate)--投资或贷款的利率或贴现率。类型(type)--付款期间内进行支付的间隔，如在月初或月末。 5.信息函数可以使用信息工作表函数确定存储在单元格中的数据的类型。信息函数包含一组称为IS 的工作表函数，在单元格满足条件时返回TRUE。例如，如果单元格包含一个偶数值，ISEVEN 工作表函数返回TRUE。如果需要确定某个单元格区域中是否存在空白单元格，可以使用COUNTBLANK 工作表函数对单元格区域中的空白单元格进行计数，或者使用ISBLANK 工作表函数确定区域中的某个单元格是否为空。 6.逻辑函数使用逻辑函数可以进行真假值判断，或者进行复合检验。例如，可以使用IF 函数确定条件为真还是假，并由此返回不同的数值。

分段函数的几种常见题型和解法

函数的概念和性质考点分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f . 3．求分段函数的最值

例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 226(12) .()3(24) x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像 -1 2 1 3 1 o -2 y x