《正方形的判定》教案

《正方形的判定》教案

林维勤

教学目标：掌握判断一个四边形是否是正方形的方法

教学重点：运用正方形的判定方法

课前诊测：复习提问特殊四边形的判定方法

教学过程：

把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。

师：这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板（刻度尺）和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。

师：这些性质里那些是矩形的性质？

[学生活动；寻找菱形性质。]

师：这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。

师：根据这些性质，我们能不能给正方形下一个定义？怎么样给正方形下一个准确的定义？

师：请同学们回想矩形与菱形的定义，可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。

板书：

1、“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”

2、“有一个角是直角的菱形叫做正方形。”

3、“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。”

师：当然平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系还可以用下图表示：

图1

例题讲解

例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE

分析：据已知条件画出图形，如图2所示，要证明线段相等，与图形可以证明两个三角形全等，即只需证明△ABG≌△AEC.

证明：∵四边形ABDE和ACFG都是正方形

∴AB=AE,AG=AC

∠BAE=∠CAG=90°

∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC

即∠BAG=∠EAC

∴△ABG≌△AEC ∴BG=CE

图2

说明：应用正方形的性质，可以为证明全等提供条件，要注意等式性质的应用，这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同，证法是可以借鉴的。

师：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系，怎么判定一个矩形是正方形？

师：图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的，但似乎有缺憾，能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全？

进一步理解正方形的判定方法，可研究以下几个问题：

(1)对角线相等的菱形是正方形吗？

(2)对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

(3)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？若不是，还需增加什么条件？

(4)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?”

(5)四个角都相等的四边形是正方形吗？

小结：证明正方形的思路，总体讲三种思路，如图4所示；遇到具体条件要学会具体分析，规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线，或者把他们搅和在一起。这是一定要都要冷静，学会去分析。

例2如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF相交于M，

求证：AD=AM。

分析：欲证AD=AM，只需证明∠1=∠2，但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难，考虑到E、F是正方形的两边中点，容易证明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠B CF=90°.由此DE⊥CF，这是要证AD=AM，是否想到与直角有关的等腰三角形？只需延长C F、DA交于N，即可出现直角三角形MND，只要证明A是ND中点即可。这是是否发现△B CF≌△ANF?由AN=BC=AD，从而A是ND中点，MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。

说明：将此题中的中点E、F进行变化：E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点，且BE=AF，则有DE⊥CF。这个变化后的图形在正方形中常常出现，要注意隐含的这个垂直条件。

做课堂练习题：课后练习

布置书面作业：课后习题

板书设计：

1、“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”

2、“有一个角是直角的菱形叫做正方形。”

3、“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。”

例2如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF相交于M，

求证：AD=AM。