一次函数之存在性问题

一次函数之存在性问题（

知识点睛

函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处理．

几何图形

一次函数

坐标

①求坐标：___________________________；______________．

②求函数表达式：__________________；_________________．

③研究几何图形：__________________；__________________．

二、精讲精练

如图，直线2

y x

=+与坐标轴分别交于A，B两点，点C在y轴上，且

=，直线CD

⊥AB于点P，交x轴于点D．

（1）求点P的坐标；

（2）坐标系内是否存在点M，使以点B，P，D，M为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

(

2.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，

∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC

=，点C的坐标为（-9，0）．

（1）求点B的坐标．

（2）如图，直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．

（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

、

; …

3.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且

3 OC

．

（1）求B点的坐标和k的值．

（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-4上的一个动点,则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6

（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

] \

4.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，OA=6，OB=12，点C是直线y=2x

与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD

、

（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；

（2）求直线AD的解析式；

（3）P是直线AD上的一个动点，在平面内是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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5. `

如图，直线1

y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为（-3,0）

，P （x ，y ）是直线1

y x =

+上的一个动点（点P 不与点A 重合）

．（1）在P 点运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 的函数关系式；

（2）当P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为27

，求出此时点P 的坐标；

（3）过P 作AB 的垂线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【参考答案】：

一、知识点睛

① 函数表达式求出或表达出坐标；线段长转坐标． ② 坐标代入；k ，b 几何意义．

③坐标转线段长；k，b几何意义．

一次函数之存在性问题 (每日一题)

1.如图，在直角坐标系中，一次函数y

x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）已知OC⊥AB于C，求C点坐标；

（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

】

2.如图，一次函数y

=+x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直

角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC的面积；

（2）如果在第二象限内有一点P（m

，

），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当

△APB与△ABC面积相等时m的值；

（3）在坐标轴上是否存在一点Q，使△QAB是等腰三角形若存在，请直接写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．

…

3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y=-3

x+3交于点A，分别交x轴于点B和点

C，点D是直线AC上的一个动点．

4.（1）求出点A，B，C的坐标；

5.（2）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

—

《

6.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，CB∥OA，∠OCB＝90°，CB＝

1，AB

＝

y x

=-+过A点，且与y轴交于D点．

（1）求点A、点B的坐标；

（2）试说明：AD⊥BO；

（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．

7.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=

-+分别与x轴、y轴交于点B，C，且与直

线l2:y=1

x交于点A．

（1）求出点A，B，C的坐标；

（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q 为顶点的四边形是菱形若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

一次函数之存在性问题（随堂测试）

1．如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B，C两点，且

2 OC

（1）求B点的坐标和k的值．

（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是2

（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

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一次函数之存在性问题（作业）

（3）x轴上是否存在点P，使△PAD是等腰三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

3. 如图，四边形ABCD 为矩形，点D 与坐标原点重合，点C 在x 轴上，点A 在y 轴上，点B

的坐标是（3，4），矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点A 落在BC 边上的G 处，点E ，F 分别在

AD ，AB 上，且F 点的坐标是（2，4）.

、

（1）求点G 的坐标；

（2）求直线EF 的解析式；

（3）坐标系内是否存在点M ，使以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

、

4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x +8与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点P （x ，y ）

是直线AB 上一动点（点P 不与点A 重合），点C （

6，0），O 是坐标原点，设△PCO 的面积为S ．

（1）求S 与x 的函数关系式．

（2）当点P运动到什么位置时，△PCO的面积为15

（3）过点P作AB的垂线分别交x轴、y轴于点E，F，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．