求参数取值范围一般方法
求参数取值范围一般方法
一、分离参数
在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若()a f x ≥恒成立,只须求出()max f x ,则()max a f x ≥;若()a f x ≤恒成立,只须求出()min f x ,则()min a f x ≤,转化为函数求最值。
例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+
- ???,若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,试确定a 的取值范围。
例2、已知(],1x ∈-∞时,不等式()21240x x a a ++-?>恒成立,求a 的取值范围。
1.若不等式x 2+ax +1≥0,对于一切x∈[0,2
1]都成立,则a的最小值是__
2.设124()lg ,3
x x
a f x ++=其中a R ∈,如果(.1)x ∈-∞时,()f x 恒有意义,求a 的取值范围。
3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 二、分类讨论 在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分类讨论的思想来解决。 例1、若[]2,2x ∈-时,不等式2 3x ax a ++≥恒成立,求a 的取值范围。 例2:若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的范围。 例3.关于x 的不等式0622<+++m m mx x 在[]20,上恒成立,求实数m 的取值范围. 变式:若函数m m mx x y 622+++=在[]20,上有最小值16,求实数m 的值. 1.已知752+->x x x a a 0(>a 且)1≠a ,求x 的取值范围. 2.求函数)(log 2x x y a -=的单调区间. 3.设22)(2+-=mx x x f ,当),1[+∞-∈x 时,m x f ≥)(恒成立,求实数m 的取值范围。 4.已知 (31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+=?>?是(,)-∞+∞上的减函数,求a 的取值范围。 5解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x a a x 6.解关于的不等式:x ax a x 2110-++<() 7. 解不等式()()x a x a a +-+4621>0 (a为常数,a ≠-12) 8.当1,33x ?? ∈ ???时,log 1a x <恒成立,求实数a 的取值范围。 9.关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集为R,求实数a 的取值范围. 10:求二次函数22+-=mx x y 在闭区间[2,3]上的最大值m ax y 的表达式。 11:求解关于x 的不等式1)11(log >-x a (其中10≠>a a 且)。 三、变更主元法 在给出的含有两个变量的不等式中,学生习惯把变量x 看成是主元(未知数),而把另一个变量a 看成参数,在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简化解题过程。 例1、若不等式() 2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立,求x 的取值范围。 例2.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px +1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。 1:若对于任意a (]1,1-∈,函数 ()()a x a x x f 2442-+-=的值恒大于0,求x 的取值范围。 2.若对一切2≤p ,不等式()p x x p x +>++222 2log 21log log 恒成立,求实数x 的取值范围。 3.对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x的取值范围。 四、数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数,且正确作出两个函数的图象,然后通过观察两图象(特别是交点时)的位置关系,列出关于参数的不等式。 例1、若不等式23log 0a x x -<在10,3x ? ?∈ ??? 内恒成立,求实数a 的取值范围。 例2.设x x x f 4)(2--= , a x x g -+=13 4)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围. 2.若不等式lo gax >sin 2x (a>0,a ≠1)对任意x ∈错误!都成立,则a 的取值范围为 ( ) A.错误! ? B.错误! C .错误! D.(0,1) 3.函数f (x )=(\f(1,2))x -si n x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A .1 ?? B.2 ? C .3 ?D.4 4:若不等式0log 32<-x x a 在?? ? ??∈31,0x 内恒成立,求实数a 的取值范围。 5.已知函数1)(2-=x x f ,1)(-=x a x g . (1)若关于x 的方程)()(x g x f =只有一个实数解,求实数a 的取值范围; (2)当R x ∈时,不等式)()(x g x f ≥恒成立,求实数a 的取值范围. 恒成立问题是数学中常见问题,也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中,已知一个变量的取值范围,求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若()a f x ≥恒成立,只须求出()max f x ,则()m ax a f x ≥;若()a f x ≤恒成立,只须求出()min f x ,则()m in a f x ≤,转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???,若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,试确定a 的取值范围。 解:根据题意得:21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立, 即:23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立, 设()23f x x x =-+,则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时,()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时,不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立,求a 的取值范围。 解:令2x t =,(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为:22 1t a a t +-<, 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立,只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论 在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时,不等式2 3x ax a ++≥恒成立,求a 的取值范围。 解:设()2 3f x x ax a =++-,则问题转化为当[]2,2x ∈-时,()f x 的最小值非负。 (1) 当22a -<-即:4a >时,()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在; 利用导数求参数的取值范围一?已知函数单调性,求参数的取值范围类型1 ?参数放在函数表达式上 例1. 设函数f(x) 2x33(a 1)x2 6ax 8其中a R ? ⑴若f (x)在x 3处得极值,求常数a的值. ⑵若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围 二.已知不等式在某区间上恒成立,求参数的取值范围类型1.参数放在不等式上 2 例3.已知f (x) x3 ax2 bx c在x —与x 1时都取得极值 3 (1 )求a、b的值及函数f (x)的单调区间. (2)若对x [ 1,2],不等式f (x) c—恒成立,求c的取值范围. 2 3. 已知函数f (x) x3— 2x 5,若对任意x [ 1,21都有f (x) m则实数m的取值范围是2 类型2.参数放在区间上 例4 .已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值. (1 )求f (x)的解析式.(2)当x (0, m)时,f (x) >0恒成立,求实数m的取值范围. 分析:(1) f (x) x3 5x2 3x 9 ' 2 (2).f (x) 3x 10x 3 (3x 1)(x 3) 由f (x) 0 得x1 i,x2 3 当x (0,1)时f'(x) 0, f(x)单调递增,所以f (x) f (0) 9 3 3 当x (】,3)时f '(x) 0, f (x)单调递减,所以f (x) f(3) 0 3 所以当m 3时f(x) 0在(0,m)内不恒成立,当且仅当m (0,3]时f (x) 0在(0,m)内恒成立 所以m的取值范围为(0,3] 基础训练: 4. 若不等式x4 4x3 _________________________________________ 2 a对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是________________________________________________________ . 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析: 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0) 求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. (x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题. 解: 依题意有 ∴tanθ=2S ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4 又∵0≤θ≤π ∴π4 <θ< p> 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是() A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p> 分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设Q( y024 ,y0)由|PQ| ≥a 得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a)≥0 ∵y02≥0 ∴(y02+16-8a)≥0即a≤2+ y028 恒成立 又∵ y02≥0 而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B ) 二、利用判别式构造不等式 利用导数求参数的取值范围 一.已知函数单调性,求参数的取值范围 类型1.参数放在函数表达式上 例1. 设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23. 的取值范围 求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 二.已知不等式在某区间上恒成立,求参数的取值范围 类型1.参数放在不等式上 例3.已知时都取得极值与在13 2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1)求a、b的值及函数)(x f 的单调区间. (2)若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立,求c的取值范围. __________)(]2,1[,522)(.32 3 的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--= 类型2.参数放在区间上 例4.已知三次函数d cx x ax x f ++-=2 35)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值. (1)求)(x f 的解析式.(2)当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围. 分析:(1)935)(23++-=x x x x f ] 3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,3 1(9)0()()(,0)()3 1,0(3,310)() 3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立 在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ,m x f m f x f x f x f x f x f ,x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-= 基础训练: .___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ,x a x x -≥- 求参数取值范围一般方法 一、分离参数 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若()a f x ≥恒成立,只须求出()max f x ,则()max a f x ≥;若()a f x ≤恒成立,只须求出()min f x ,则()min a f x ≤,转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???,若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,试确定a 的取值范围。 例2、已知(],1x ∈-∞时,不等式()21240x x a a ++-?>恒成立,求a 的取值范围。 1.若不等式x 2+ax+1≥0,对于一切x ∈[0, 2 1]都成立,则a 的最小值是__ 2.设124()lg ,3 x x a f x ++=其中a R ∈,如果(.1)x ∈-∞时,()f x 恒有意义,求a 的取值范围。 3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 二、分类讨论 在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分类讨论的思想来解决。 例1、若[]2,2x ∈-时,不等式2 3x ax a ++≥恒成立,求a 的取值范围。 例2:若不等式02)1()1(2 >+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的范围。 例3.关于x 的不等式0622<+++m m mx x 在[]20,上恒成立,求实数m 的取值范围. 变式:若函数m m mx x y 622+++=在[]20,上有最小值16,求实数m 的值. 1.已知752+->x x x a a 0(>a 且)1≠a ,求x 的取值范围. 2.求函数)(log 2x x y a -=的单调区间. 帮你归纳总结(五):导数中的求参数取值范围问题 一、常见基本题型: (1)已知函数单调性,求参数的取值范围,如已知函数()f x 增区间,则在此区间上 导函数()0f x '≥,如已知函数()f x 减区间,则在此区间上导函数()0f x '≤。 (2)已知不等式恒成立,求参数的取值范围问题,可转化为求函数的最值问题。 例1.已知a ∈R ,函数2 ()()e x f x x ax -=-+.(x ∈R ,e 为自然对数的底数) (1)若函数()(1,1)f x -在内单调递减,求a 的取值范围; (2)函数()f x 是否为R 上的单调函数,若是,求出a 的取值范围;若不是,请说明 理由. 解: (1)2 -()()e x f x x ax =-+Q -2 -()(2)e ()(e )x x f x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e x x a x a ??-++??. ()()f x 要使在-1,1上单调递减, 则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立, 2 (2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2 ()(2)g x x a x a =-++,则(1)0, (1)0. g g -≤?? ≤? 1(2)01(2)0 a a a a +++≤?∴?-++≤?, 3 2a ∴≤-. (2)①若函数()f x 在R 上单调递减,则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立 即2-(2)e 0x x a x a ??-++≤?? 对x ∈R 都成立. 2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤Q 对x ∈R 都成立 令2 ()(2)g x x a x a =-++, Q 图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立 ②若函数()f x 在R 上单调递减,则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立, 即2-(2)e 0x x a x a ??-++≥?? 对x ∈R 都成立, e 0,x ->Q 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立. 22(2)440a a a ?=+-=+>Q 故函数()f x 不可能在R 上单调递增. 综上可知,函数()f x 不可能是R 上的单调函数 例2:已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈, 若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切 线性规划题型三线性规划中的求参数取值或取 值范围问题 集团文件发布号:(9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 线性规划题型三 线性规划中的求参数取值或取值范围问题 一.已知含参数约束条件,求约束条件中参数的取值范围。 例1、已知|2x -y +m|<3表示的平面区域包含 点(0,0)和(-1,1),则m 的取值范围是 ( ) A 、(-3,6) B 、(0,6) C 、(0,3) D 、(-3,3) 例2.已知:不等式9)2(2<+-m y x 表示的平面区域包含点(0,0)和点(-1,1)则m 的取值范围是() A(-3,6)B.(0,6)C(0,3)D(-3,3) 二.已知含参约束条件及目标函数的最优解,求约束条件中的参数取值问题 2.12,则实数k 的值为. 二.值或范围. 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? 使z=x+ay(a>0)则a 的值( ) A 、-3 B 、3 C 、-1 D 、1 变式、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≥??≤?使z=x+ay(a>0)则a 的值( ) A 、-3 B 、3 C 、-1 D 、1 若使z=x+ay(a<0)若使z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则例2.已知:x 、y 满足约束条件?? ? ??≤-≤+-≥+-0 1033032y y x y x (-3,0)处取得最大值,求实数a 的取值范围.直线ax+by+c=0(a>0) b>0直线的斜率小于零,直线由左至右呈上升趋势 b<0直线的斜率大于零,直线由左至右呈下降趋势 若直线ax+by+c=0(a>0)则在ax+by+c=0(a>0)使ax 0+by 0+c>0,左侧的点P(x 0,y 0),使ax 0+by 0+c<0 若直线ax+by+c=0(a<0)则在ax+by+c=0(a>0)使ax 0+by 0+c<0,左侧的点P(x 0,y 0),使ax 0+by 0+c>0 一、已知单调性求参数取值范围 1.已知3 2 ()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减,求则a 的取值范围 小结:若函数()f x (不含参数)在区间是(,)a b (含参数)上单调递增(递减), 则可解出函数()f x 的单调区间是(,)c d ,则(,)(,)a b c d ? 2.已知3 21()53 f x x x ax = ++-, (1)若()f x 的单调递减区间是(3,1)-, 求a 的取值范围 (2)若()f x 在区间[1,)+∞上单调递增,求a 的取值范围 小结:一个重要结论:设函数()f x 在(,)a b 内可导.若函数()f x 在(,)a b 内单调递增(减),则有' ' ()0(()0)f x f x ≥≤. 方法1:运用分离参数法,如参数可分离,则分离参数→构造函数()g x (可将有意义的端点改为闭)→求()g x 的最值→得参数的范围。 3.函数c bx ax x x f +++=2 3 )(,过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f P 的切线方程为 .13+=x y . (1)若)(x f y =在2=x 时有极值,求)(x f 的表达式; (2)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围. 4.(2015重庆)设函数()()23x x ax f x a R e +=∈ (I )若()f x 在0x =处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线()y f x =在点 ()()1,1f 处的切线方程; (II )若()f x 在[)3,+∞上为减函数,求a 的取值范围。 5.(2014江西)已知函数. (1) 当时,求的极值; (2) 若 在区间 上单调递增,求b 的取值范围. 方法2:如参数不方便分离,而' ()f x 是二次函数,用根的分布: ①若' ()0f x =的两根容易求,则求根,考虑根的位置含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法(教师版)
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