运筹学部分课后习题解答
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题
a)
12
12
12
12
min z=23
466 ..424
,0
x x
x x
s t x x
x x
+
+≥
?
?
+≥
?
?≥
?
解:由图1可知,该问题的可行域为凸集MABCN,且可知线段BA上的点都
为最优解,即该问题有无穷多最优解,这时的最优值为
min
3
z=2303
2
?+?= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题
a)
12
12
12
12
max z=10x5x
349 ..528
,0
x x
s t x x
x x
+
+≤
?
?
+≤
?
?≥
?
解:由图1可知,该问题的可行域为凸集OABCO,且可知B点为最优值点,
即
1
12
122
1
349
3
528
2
x
x x
x x x
=
?
+=
??
?
??
+==
??
?
,即最优解为*
3
1,
2
T
x
??
= ?
??
这时的最优值为
max
335
z=1015
22
?+?=
单纯形法: 原问题化成标准型为
121231241234
max z=10x 5x 349
..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=??
++=??≥? j c →
10
5
B C
B X
b 1x
2x
3x
4x
0 3x 9 3 4 1 0 0 4x 8 [5] 2 0 1 j j C Z -
10 5 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 10 1x
8/5 1 2/5 0 1/5 j j C Z -
0 1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 10
1x
1
1 0 -1/7
2/7
j j C Z -
-5/14 -25/14
所以有*
max 33351,,1015222T
x z ??
==?+?= ???
P78 2.4 已知线性规划问题:
1234
12
4122341231234max
24382669,,,0
z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤??+≤??
++≤?
?++≤?≥??
求: (1) 写出其对偶问题;(2)已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ,试根据对偶理论,直接求出对偶问题的最优解。 解:(1)该线性规划问题的对偶问题为:
1234
12
4123434131234min
86692234
11,,,0
w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =+++++≥??+++≥??
+≥?
?+≥?≥??
(2)由原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ,根据互补松弛性得:
12
412343422341y y y y y y y y y ++=??
+++=??+=?
把)0,4,2,2(*=X 代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号,即4224890y ++==
从而有12
123322341y y y y y y +=??
++=??=?
得123443
,,1,055
y y y y ====
所以对偶问题的最优解为*43
(,,1,0)55
T y =,最优值为min 16w =
P79 2.7 考虑如下线性规划问题:
123123123123123min 6040803224342223,,0
z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≥??++≥??
++≥??≥?
(1)写出其对偶问题;(2)用对偶单纯形法求解原问题; 解:(1)该线性规划问题的对偶问题为:
123123123123123max 2433426022403280,,0w y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤??++≤??
++≤??≥?
(2)在原问题加入三个松弛变量456,,x x x 把该线性规划问题化为标准型:
12312341235123
6max 60408032243422230,1,,6j z x x x x x x x x x x x x x x x x j =------+=-??---+=-??
---+=-??≥=?
j c →
-60
-40
-80
B C
B X
b 1x
2x
3x
4x
5x
6x
0 4x -2 -3 -2 -1 1 0 0 0 5x -4 [-4] -1 -3 0 1 0 0 6x -3 -2 -2 -2 0 0 1 j j C Z -
-60 -40 -80 0 0 0 0 4x 1 0 -5/4 5/4 1 -1/12 0 80 1x
1 1 1/4 3/4 0 -1/4 0 0 6x -1
0 [-3/2] -1/2
0 -1/2 1 j j C Z -
-25 -35 0 -15 0 0 4x 11/6 0 0 5/3 1 1/3 -5/6 80 1x
5/6 1 0 2/3 0 -1/3 1/6 40
2x
2/3
0 1 1/3 0 1/3 -2/3 j j C Z -
-80/3
-20/3
-50/3
*max 5252230
(,,0),604080063633
T x z ==?+?+?=
P81 2.12 某厂生产A 、B 、C 三种产品,其所需劳动力、材料等有关数据见下表。要求:(a )确定获利最大的产品生产计划;(b )产品A 的利润在什么范围内变动时,上述最优计划不变;(c )如果设计一种新产品D ,单件劳动力消耗为8单位,材料消耗为2单位,每件可获利3元,问该种产品是否值得生产? (d ) 如果劳动力数量不增,材料不足时可从市场购买,每单位0.4 元。问该厂要不要购进原材料扩大生产,以购多少为宜。
A B C 可用量(单位)
劳动力 材 料 6 3 5 3 4 5 45 30 产品利润(元/件)
3 1 4
解:由已知可得,设j x 表示第j 种产品,从而模型为:
123123123123max 3463545
..34530,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤??
++≤??≥?
a) 用单纯形法求解上述模型为:
j c →
3
1
4
B C
B X
b 1x
2x
3x
4x
5x
0 4x 45 6 3 5 1 0 0 5x 30 3 4 [5] 0 1 j j C Z -
3
1
4 0 0 0 4x 1
5 [3] -1 0 1 -1 4 3x
6 3/5 4/5 1 0 1/5 j j C Z -
3/5 -11/5 0 0 -4/5 3 1x
5 1 -1/3 0 1/3
-1/3
4
3x
3
0 1 1 -1/5 2/5 j j C Z -
-2
-1/5 -3/5
得到最优解为*(5,0,3)T x =;最优值为max 354327z =?+?=
产品
资源
消 耗 定 额
b )设产品A 的利润为3λ+,则上述模型中目标函数1x 的系数用3λ+替代并求解得:
j c →
3λ+
1
4 0 0
B C B X b 1x 2x
3x 4x
5x
3 1x
5 1 -1/3 0 1/3 -1/3 4
3x 3
1 1 -1/5 2/5 j j C Z -
λ
-2
-1/5 -3/5 ()j
j C
Z '-
-2+λ/3 0
-1/5-λ/3
-3/5+λ/3
要最优计划不变,要求有如下的不等式方程组成立
2031053
3053λλ
λ?-+≤??
?--≤???-+≤??
解得:3955λ-≤≤
从而产品A 的利润变化范围为:393,355??-+????,即242,455??
????
C )设产品
D 用6x 表示,从已知可得
16661/5B c c B P σ-=-=
'1661
12833
4122555P B P -??-????????===??????
-????-??????
把6x 加入上述模型中求解得:
j c →
3
1
4
3
B C
B X b 1x
2x
3x
4x
5x
6x
3 1x
5 1 -1/3 0 1/3 -1/3 [2] 4
3x
3
1
1 -1/5
2/5
-4/5
j j C Z -
-2 0 -1/5 -3/5 1/5 3 6x 5/2 1/2 -1/6
1/6
-1/6
1 4
3x
5
2/5
13/15 1 -1/15 4/15
j j C Z -
-1/10 -59/30 0 -7/30 -17/30 0
从而得最优解*(0,0,5,0,0,5/2)T x =;最优值为max 5
45327.5272
z =?+?=> 所以产品D 值得生产。 d )
P101 3.1已知运输问题的产销量与单位运价如下表所示,用表上作业法求各题的最优解及最小运费。
表3-35
B1 B2 B3 B4 产量A1
A2
A3
10
12
2
2
7
14
20
9
16
11
20
18
15
25
5 销量 5 15 15 10
解:由已知和最小元素法可得初始方案为
B1 B2 B3 B4 产量A1
A2
A3 5
15
0 15
10
15
25
5
销量 5 15 15 10
检验:
由于有两个检验数小于零,所以需调整,调整一:
B1 B2 B3 B4 产量
产地
销地
产地
销地
产地
销地
A1 A2
A3
5
15
0 15 10
15
25
5
销量 5 15 15 10
检验:
由于还有检验数小于零,所以需调整,调整二:
B1 B2 B3 B4 产量
A1
A2
A3 5 5
10 15
10
15
25
5
销量 5 15 15 10
检验:
从上表可以看出所有的检验数都大于零,即为最优方案
最小运费为:
min 25257109151110180335
z=?+?+?+?+?+?=
表3-36
B1 B2 B3 B4 产量
A1 A2 A3 8
6
5
4
9
3
1
4
4
2
7
3
7
25
26
产地
销地产地
销地
销量
10 10 20
15
解:因为3
4
1
1
5855i j i j a b ===>=∑∑,即产大于销,所以需添加一个假想的销地,销
量为3,构成产销平衡问题,其对应各销地的单位运费都为0。 B1 B2
B3
B4
B5 产量 A1
A2 A3 8 6 5
4 9 3
1 4 4
2 7 3
0 0 0 7 25 26 销量
10 10 20 15
3
由上表和最小元素法可得初始方案为 B1 B2 B3 B4 B5 产量 A1
A2 A3 9 1 10 7 13 15 3 7 25 26 销量
10
10
20
15
3
检验:
从上表可以看出所有的检验数都大于零,即为最优方案
最小运费为:min 69513101741331503193z =?+?+?+?+?+?+?=
表3-37
B1 B2
B3
B4
B5
产量
产地 销地
产地 销地
产地
销地
A1 A2 A3 8 5
6
6
M
3
3
8
9
7
4
6
5
7
8
20
30
30
销量25 25 20 10 20
解:因为
35
11
80100
i j
i j
a b
==
=<=
∑∑,即销大于产,所以需添加一个假想的产地,产量为20,构成产销平衡问题,其对应各销地的单位运费都为0。
B1 B2 B3 B4 B5 产量
A1
A2
A3
A4
8
5
6
6
M
3
3
8
9
7
4
6
5
7
8
20
30
30
20
销量25 25 20 10 20
由上表和最小元素法可得初始方案为
B1 B2 B3 B4 B5 产量
A1
A2
A3
A4
5
20
25
20
10 15
5
20
30
30
20
销量25 25 20 10 20
检验:
由于有两个检验数小于零,所以需调整,调整一:
B1 B2 B3 B4 B5 产量
产地
销地
产地
销地
产地
销地
A1 A2 A3 A4
20
5 25 20 0 10 5 15 20 30 30 20 销量 25 25 20
10 20
检验:
由于还有检验数小于零,所以需调整,调整二: B1 B2 B3 B4 B5 产量 A1 A2 A3 A4
20 5 25 20 0 10 0 20 20 30 30 20 销量 25
25
20
10
20
检验:
从上表可以看出所有的检验数都大于零,即为最优方案
最小运费为:min 320520410653258002000305z =?+?+?+?+?+?+?+?=
P127 4.8 用割平面法求解整数规划问题。
产地
销地
a ) 12
121212
max 7936735
,0,z x x x x x x x x =+-+≤?
?
+≤?
?≥?且为整数
解:该问题的松弛问题为:
12
121212
max 7936735,0z x x x x x x x x =+-+≤??
+≤??≥?
则单纯形法求解该松弛问题得最后一单纯形表为: j c → 7 9 0 0
B C B X
b
1x 2x 3x 4x
9 2x 7/2 0 1 7/22 1/22
7
1x 9/2 1
0 -1/22 3/22 j j C Z -
-28/11 -15/11
割平面1为:234(31/2)(07/22)(01/22)x x x +=++++
3421713022222x x x ?--=-≤345711
22222x x x ?+-= 从而有 j c → 7 9 0 0 0
B C B X
b
1x 2x 3x 4x 5x
9 2x 7/2 0 1 7/22 1/22 0 7 1x 9/2 1
0 -1/22 3/22
0 5x -1/2 0
0 -7/22 -1/22 1 j j C Z -
0 0 -28/11 -15/11 0 9 2x 3
1 0 0 1 7 1x 32/7 1
0 0 1/7 -1/7 0
3x 11/7 0
0 1 1/7 -22/7 j j C Z -
-1
-8
割平面2为:145(44/7)(01/7)(16/7)x x x +=+++-+
451541640777x x x x ?--=--≤456164
777
x x x ?+-= j c →
7 9 0 0 0 3
B C B X
b
1x 2x 3x 4x 5x 6x
9
2x 3
0 1 0 0 1 0
7
1x 32/7 1
0 0 1/7 -1/7 0 0 3x 11/7 0 0 1 1/7 -22/7 0 0 6x -4/7 0
0 0 -1/7 -6/7 1
j j C Z -
0 0 0 -1 -8 0 9 2x 3 0 1 0 0 1 0 7 1x 4
1 0 0 0 -1 1 0 3x 1 0 0 1 0 -4 1 0
4x 4
0 0 0 1 6 -7 j j C Z -
-2
-7
由上表可知该问题已经达到整数解了,所以该整数解就是原问题的最优解,即
()*4,3T
x =,最优值为max 749355z =?+?=
P144 5.3 用图解分析法求目标规划模型
c )
解:由下图可知,满足目标函数的满意解为图中的A 点。
P170 6.4 求下图中的最小树
x 1 + x 2 + d 1- - d 1+= 40
x 1 + x 2 + d 2- - d 2+= 40+10=50 x 1 + d 3- - d 3+= 24 x 2 + d 4- - d 4+= 30
min Z = P 1 d 1-+ P 2 d 2++ P 3(2d 3- +1d 4-)
s.t.
x 1 、x 2 、d 1+、d 1-、d 2+、d 2- 、d 3+、d 3- 、d 4+、d 4- ≥ 0
解:避圈法为:
得到最小树为:
P171 6.7 用标号法求下图中点1v到各点的最短路。
解:如下图所示:
P 173 6.14 用Ford-Fulkerson 的标号算法求下图中所示各容量网络中从
s
v 到
t
v 的
最大流,并标出其最小割集。图中各弧旁数字为容量ij c ,括弧中为流量ij f .
B)
解:对上有向图进行2F 标号得到
由于所有点都被标号了,即可以找到增广链,所以流量还可以调整,调整量为1,得
由图可知,标号中断,所以已经是最大流了,最大流量等于最小割的容量,最小割为与直线KK 相交的弧的集合,即为
{}3451223(,),(,),(,),(,),(,),(,)s s s t t v v v v v v v v v v v v
所以从s v 到t v 的最大流为:*
12532114st
f =+++++=
C)
解:对上有向图进行2F 标号得到
由于所有点都被标号了,即可以找到增广链,所以流量还可以调整,调整量为1,得
由图可知,标号中断,所以已经是最大流了,最大流量等于最小割的容量,最小割为与直线KK 相交的弧的集合,即为{}1325(,),(,),(,)s s v v v v v v ,所以从s v 到t v 的最大流为:
*53513st f =++=
P193 7.1 根据下表给定的条件,绘制PERT网络图。
表7-8
作业代号 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
紧前作业无 a1 a2 无 b1 b2 a1,b1 a2,b2,c1 a3,b3,c2 解:绘制的PERT网络图为:
表7-9
作业代号 A B C D E F G H I J K L M
紧前作业无无无 A,B B B F,C B E,H E,H C,D,F,J K L,I,G 解:绘制的PERT网络图为:
表7-10
作业代号 A B C D E F G H I J K L M
紧前作业无无 B C A,D D A,D E G,H I G J,K L
解:绘制的PERT网络图为: