高数微积分习题解答模板.
习题3-1
1、计算下列第二类曲线积分:
(1)?
-L
dx y x ,)(2
2L 为抛物线x y =2
上由点(0,0)到点(2,4)的一段弧;
(2)
,)()(22?+--+L
y x dy y x dx y x L 为按逆时针方向饶行的圆2
22a y x =+; (3)
?
++L
xdz zdy ydx ,L 为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上由t=0到t=2π的
有向弧段;
(4)
?-+++L
dz y x ydy xdx ,)1(L 为由点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线;
(5),?
?L
dl F 其中),,(x y F -=L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路,取逆时针
方向;
(6)?
?L
dl F ,其中2
22
1y x xe ye F +-=
,L 按逆时针方向饶行的圆t a y t a x sin ,cos ==.
解(1)化为对x 的定积分,L: x y =2
,x 从0到2,所以
?-L
dx y x )(22=1556)5131()(20534202-=-=-?x x dx x x (2)圆周的参数方程为:t a y t a x sin ,cos ==)20(π≤≤t
?+--+L
y x dy
y x dx y x 22)()( =
?
--+π
202)sin ()sin cos ()cos ()sin cos (1
t a d t a t a t a d t a t a a =dt t a t a t a t a t a t a a ])cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1202?---+π
=ππ
2120
22-=-?
dt a a
(3)L 的参数方程为:bt z t a y t a x ===,sin ,cos ,t 从0到2π,所以
?
++L
xdz zdy ydx =)(cos )sin ()cos (sin 20
t b td a t a btd t a td a ?++π
=
220
22)cos cos sin (a dt t ab t abt t a ππ
-=++-?
(4)直线的参数方程为:)10(31,21,1≤≤+=+=+=t t z t y t x dt dz dt dy dt dx 3,2,===∴代入
?-+++L dz y x ydy xdx )1(
=?
-+++++++10)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t =
1376)146(1
=+=+?dt t
(5)三条直线段的方程分别为
y=0,x 从0到1; x=1,y 从0到1; y=x,x 从1到0. 所以 ??L
dl F =?
--L
xdy ydx
???
-+-+-=
1
01
1
1xdx xdx dy
=0
π
π
π
π
21)sin (cos )cos (sin )6(20
22022
22022-=-=-=+-+=???
??dt t a d a
t
a t a d a t a dy y x x
dx y x y dl
F L
2、一力场由以横轴正向为方向的常力F 构成,试求当一质量为m 的质点沿圆周
222R y x =+按逆时针方向走过第一象限的弧段时,场力所作的功.
解:由题意知,场力所作的功为
dx F W L
?=
L: 2
22R y x =+,x 从R 变到0, 于是,w=
R F dx F dx F R
L
-==??
3、有一平面力场F ,大小等于点(x,y )到原点的距离,方向指向原点.试求单位质量
的质点P 沿椭圆122
22=+b
y a x 逆时针方向绕行一周,力F 所作的功.
解:),(y x F --=
椭圆122
22=+b
y a x 的参数方程为:t b y t a x sin ,cos ==,t 从0到2π
所以,
2
sin 2
cos )
sin (sin )cos (cos 20
2
220
2
220
=-
-
=--=?=??π
π
π
t b t a t db t b t da t a dl F W L
4、有一力场F ,其力的大小与力的作用点到xoy 平面的距离成反比且指向原点,试求单位质量的质点沿直线)0(,,≠===c ct z bt y at x 从点),,(c b a 移动到)2,2,2(c b a 时,该场力所作的功.
解:),,(222222222z
y x z z y x y z y x x z k F ++-++-++-=
直线的参数方程为:)0(,,≠===c ct z bt y at x ,t 从1到2
所以,
c
c b a k dt
t
c t b t a t c k
t c t b t a dl F W L
2ln ))
(2
222
1
2
22
22
2222++-
=++---=?=??
习题3-2答案
1、 解:记S 在x>0一侧为1S ,在x<0一侧为2S ,在z=h 上的部分为3S ,在z=0上的部分
为4S ,在y>0一侧为5S ,在y<0一侧为6S ,则由题有
?
??
??????????????????--=-=-=-=???
?
?
?-+----+-=+++++=+++=r
r
r
r
h
D D D S S s s s s hr dy y r h dz
y r dy dydz
y r dydz y r y
y
y r dydz y r y
y y r zdxdy
ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz xdydz xdydz xdydz xdydz Q yz yz yz 2
220
22222222222
2
1222)(2
1
1
2
3
4
π
2
23
4
1
2
3
4
hr dxdy h zdxdy zdxdy
ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz zdxdy zdxdy zdxdy zdxdy Q xy
xy
D D S S s s s s π===
+++++=+++=??
??????????????
同理可得:??+==
6
52
3S S hr
ydzdx Q π
2、解:(1)由题S y x R z S ,222---=:在xoy 面上的投影区域222:R y x D xy ≤+,
()
7
20257022520
2
20
222252
22222222222105
2cos sin 42sin 41sin cos R tdt t R dr
r R r dr
r R r d dxdy y x R y x dxdy y x R y x zdxdy y x R R
D D S
xy
xy
ππθθθθπππ==-=-=--=
----=∴???????
????
(2)
()22
1
20
2
22
222
2e e dr e d dxdy y x e
dxdy y x e
r D y x S
z
xy
-==+=
+????
??
+πθπ
(3)将S 分成1s 和2s ,其中1S :z=h ,2
2
2
h y x ≤+取上侧,
2s :22y x z +=,h z ≤≤0x>0取下侧
则
??????????????=+=∴=-++-?
-+++-?+--==-=s
s s s s s D dxdy
y x y
x y x y x y
x x y x y dxdy y x xy
1
2
1
1
2
)]()()[(,0)(2
2
222
2
22(4)记S 在z=0上的部分为1S ,在x=0上的部分为2S ,在y=0上的部分为3S ,在12
2=+y x 上的部分为4S ,在2
2
y x z +=上的部分为5S .有
3
2
1
2
2
2222
=++=++=++??????S S S ydzdx x xzdydz zdxdy y ydzdx
x xzdydz zdxdy y ydzdx x xzdydz zdxdy y
.1631111102
222
102
22
22
2
4π=???
? ??-+-=???
? ??-+-=++??????dz x x x z x dx dxdz x x x z x ydzdx x xzdydz zdxdy y xz D S
23213hr Q Q Q Q π=++=∴
()()()()()
()
()
8
1616316
)]cos 1(cos 3cos 2[sin cos sin 3cos 2sin 32222
1
2244510
224452
2
244
22222
2225
ππππ
θθθθθθθθθθθπ
π
=-=
∴-
=---=--=--=
-+-+++=++??????????原式d r d dr
r d dxdy y x x y
dxdy
y y x x y x x y x
y ydzdx x xzdydz zdxdy y xy
xy
D D S
3、 解:(1)
,
3
3
233y x z --
= 3
5
2
11cos ,52
1cos ,531cos ,3651,33,232222222
2
=???? ????+??? ????+==?
??
? ????+??? ????+??-
==???? ????+??? ????+??-=
=???
?
????+??? ????+-=??-=??y z x z y z x z y
z y z x z x
z
y z x z y z x z γβα 原式=()???????
?
??
++=++S
S
dS R Q P dS R Q P 532
5
25
3cos cos cos γβα. (2)
,2,2y y
z
x x z -=??-=??
2
22
22
2
2
2
2
22
2
441111cos 44121cos 44121cos y x y z x z y
x y y z x z y z y x x y z x z x
z ++=
?
??
?
????+??? ????+=
++=
?
??
?
????+??? ????+??-=
++=
?
??
?
????+??? ????+??-
=
γβα
原式=
()????++++=++S
S
dS y
x R
yQ xP dS R Q P 2
244122cos cos cos γβα
§3-3格林公式及其应用 1.
(1) y
e x Q y x P -=-=,2
,
1,1=??-=??x
Q y p ,πab dxdy y
P
x Q D
2)(
=??-??=??故原式 (2) )2(,)1(--=+=y x Q y x P ,
y x
Q x y p -=??+=??2,1 , ????-=--=??-??=y
D dx y x dy dxdy y P x Q 10
1
061
)1()(
故原式 (3))(,)(2
2
2
y x Q y x P +-=+=,
x x
Q
y x y p 2),(2-=??+=?? ?????--=--+-=--??-??=1
010
130
12
311)3()24()(y
D y dx y x dy dy y dxdy y P x Q 故原式
(4))sin (),cos 1(y y e Q y e P x
x
--=-=,
)sin (,sin y y e x
Q
y e y p x x --=??=?? 而在以)0,(π为起点)0,0(为终点的直线上?
=---)
0,0()
0,(0)sin ()cos 1(πdy y y e dx y e x x
所以原式
)
1(51]202sin 22cos 41[sin 21
]sin )sin ([0
2sin 0
ππ
ππ
e e x e x e dx
e x ydy dx
e dxdy y e y y e x
x
x D
x x x
x
x -=?+?+-=?-=-=---=?????
2.42
13
4
56,4y y x
Q xy x P -=+=-λ,
222)1(6,12--=??=??λλx y x
Q
xy y p 因为积分与路径无关,所以
x
Q
y p ??=??,得3=λ ???-
=-+=-++)
2,1()
0,0(1
2
424
4
2
2
345
79)56()56()4(dy y y dx x dy y y x dx xy x 3.(1)y x Q y x p +=+=2,2
x
Q y p ??==??2,是二元函数u(x,y)(的全微分. y x p x u 2+==??由
,得)(22
1
)2(),(2y xy x dx y x y x u ?++=+=? y y y x Q y
u y x y u =+==??+=??)('2)('2??得,及由
C y y +=
221)(?,故C y xy x y x u +++=222
1
221),(
(2)
x y Q x y x p 2cos 3cos 3,cos 3sin sin 4-==
x
Q
y x x y p ??==??3cos cos sin 12,是二元函数u(x,y)(的全微分.
y x p x
u
3sin 2sin 2==??由
,得)(2cos 3sin )3sin 2sin 2(),(y x y dx y x y x u ?+-==? 0)('2cos 3cos 3)('2cos 3cos 3=-==??+-=??y x y Q y
u y x y y u ??得,及由
C y =)(?,故C x y y x u +-=2cos 3sin ),(
(3) y x x y Q x y y x p sin cos 2,sin cos 22
2
-=-= x
Q
x y y x y p ??=--=??sin 2sin 2,是二元函数u(x,y)(的全微分.
x y y x p x
u
sin cos 22-==??由
,得
)(cos cos )sin cos 2(),(222y x y y x dx x y y x y x u ?++=-=?
0)('sin cos 2)('cos 2sin 22=-==??++-=??y y x x y Q y
u y x y y x y u ??得,及由
C y =)(?,故C x y y x y x u ++=cos cos ),(22
(4)
x Q x y p 1,2-
==
x Q x y p
??==??2
1,是二元函数u(x,y)(的全微分. 2x y p x u ==??由
,得)(),(2y x
y
dx x y y x u ?+-==? 0)('1)('1=-==??+-=??y x
Q y u y x y u ??得,及由
C y =)(?,故C x
y
y x u +-=),(
4. (1)
222246,63y y x Q xy x P +=+=
x
Q xy y P ??==??12,故为全微分方程。 )(3)63(),(,632232222y y x x dx xy x y x u xy x P x
u
?++=+=+==???得由
2'22'24)(46)(6y y y y x Q y u y y x y u =+==??+=????得及由
,故C y y +=33
4)(? 通解为C y y x x =++3
2
2
3
3
43 (2)
y xe Q e P y y 2,-==
x
Q e y P y ??==??,故为全微分方程。 )(),(,y xe dx e y x u e P x
u
y y y ?+====???得由
y y y xe Q y
u y xe y u y y 2)(2)(''-=-==??+=????得及由
,故C y y +-=2)(? 通解为C y xe y
=-2
θθρ222,1e Q e P =+=
ρθθ??==??Q
e P 22,故为全微分方程。 )()1(),(,1222θ?ρρρθρρ
θθθ++=+=+==???e d e u e P u
得由
0)(2)(2'2'2===??+=??θ?ρθ
θ?ρθθθ得及由
e Q u e u ,故C =)(θ? 通解为C e =+)1(2θ
ρ (4)
2),2(x Q y x y P -=-=
x x
Q y x y P 2,4-=??-=??,故不是全微分方程。 §3-4高斯公式和斯托克斯公式 1 (1) 原式=
dxdydz z
R y Q x P )(
??+??+?????Ω
=dxdydz z y x )(3
222++???Ω
=ρρ??θ
π
ππ
d d d a
???-
4
2
2
20
sin 3 =
5
5
12a π (2) 原式=dxdydz z
R y Q x P )(
??+??+?????Ω
=
dxdydz x
)1(2
+???Ω
=?
+a
dx x bc 0
2
)1(
=abc bc a +3
3
1
原式=
dxdydz z
R y Q x P )(
??+??+?????Ω
=dxdydz xz z y )(2
???Ω++
=dx xz z y dy
dz y ??
?-++2
10
1
3
)(2
=rdr z r z r d dz ?
??++1
20
30
)cos sin (2θθθπ
=
π2
3 (4) 原式=
dxdydz z
R y Q x P )(
??+??+?????Ω
=???Ωdxdydz 3
=3
2R π (5) 原式=??????++-??+??+??Ω'
)()(
S Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P =
dxdy zx dxdydz x x x S ??????+-+-Ω
'
4)484(
=???S
e dydz xdx
a
1
4
=22)1(2a e a
π-
2.解:(1)圆周事实上就是xoy 面上的圆92
2=+y x ,取∑为圆域
922≤+y x 的上侧,
???????∑∑===??????=-+XY
D L dxdy dxdy z
x y z y x dxdy
dzdx dydz dz z xdy ydx π932322
2
(2) 取∑为平面0=++z y x 被L 所围成的部分的上侧, ∑的面积为∑,2
a π的单位法向量为{}?????
?==31,
31
,
3
1cos ,cos ,cos γβαn , ()()()?????
∑∑
==+++??
????=+++++0031
3131
ds y
x x
z z
y z y x dz y x dy x z dx z y L
3.
解:()
()?????∑∑
+-+=-??
????=+-L dxdy z dydz x z yz
xz y z y x dxdy dzdx dydz dz yz xzdy ydx 33322
2
其中∑为平面z=2被L 所围成的部分的上侧,因为∑在yoz 面上的投影区域为线段,所
以
()
??∑=+02
dydz x z
,又∑在xoy 面上的投影区域为422≤+y x ,所以
()()????
∑
-=?-=+-=
+-xy
D dxdy dxdy z ππ20253232
, ?-=+-∴L
dz yz xzdy ydx π2032
习题3—5
1. 解:(1)xy z R xz y Q yz x P +=+=+=2
2
2
,,, )(2222z y x z y x z
R y Q x P divA ++=++=??+??+??=
, 10)3,1,1(=∴divA
(2)()()2
cos ,cos ,xz
R xy Q e P xy
===,
()()
2sin 2sin xz xz xy x ye z
R y Q x P divA xy --=??+??+??=
, 0)1,0,0(=∴divA
(3)xz R xy Q y P ===,,2
,
x x x z
R y Q x P divA 20=++=??+??+??=
, 2)3,2,1(=∴divA 。
2. 证明:场力沿路径L 所作的功为?
--
=
L
ydy r
k xdx r k W 33,要证明场力所作的功与所取的路径无关,只需证明上面的积分与路径无关,显然,半平面x>0是单连通域。 y r
k
Q x r k P 3
3,-=-
=在该区域具有一阶连续偏导数,另外y R xy r k x Q ??==??53,所以上面的积分与路径无关,因而结论正确。
3.解:(1)0=??
????
=
xy
zx yz z y x k j i
rotA (2)()()()k zx yz j yz xy i xy xz xyz
xyz
xyz
z y x k j i rotA -+-+-=??
????
=
(3)j i y x z y z z y x k j i rotA +=+-+??
??
??=
cos sin (4)
()()
()()[
]()()[]
k
y x xz z y j z y i xz xy z x z xy xz y y
x z
y x k j i rotA cos cos cos sin cos cos sin cos sin sin sin 22222-+--=??????
=
4.证明:(1)0cos 2,sin cos 222
=-??
-??=sixy
x x y y
j x y y x x i
rotA
所以A 为有势场
()()
()
(
)
c
y x x y dy y x x y dx x b b x y x H x
a
y
b
++=-+-=??cos cos sin cos 2sin cos 2,2
222
(2)0sin )cos()
cos(=??
????
=
z
xy x xy y z y x k j i rotA
所以A 为有势场 ()c
z xy zdz
dy xy x dx bx b z y x H x
a y
b z
c +-=++=???cos )sin(sin )cos()cos(,,