必修2 第六章 圆周运动 第4节

圆周运动

水平面内的圆周运动

1. 向心力的来源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。

2.

向心力的来源图示

1. 如图所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，另一端系小球，当圆环以角速度ω（ω≠0）绕

竖直直径转动时（）

A. 细绳对小球的拉力可能为零

B. 细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等

C. 细绳对小球拉力与小球的重力大小不可能相等

D. 当ω 答案：CD

解析：因为圆环光滑，小球受到重力、环对球的弹力和绳子的拉力，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，则有F T cos 60°＋F N cos 60°＝mg ，F T sin 60°－F N sin 60°＝mω2r sin 60°，解得F T ＝mg ＋21mω2r ，F N ＝mg －2

1

mω2r, 当ωF N ＝0，故C 、D 正确，A 、B 错误。 2. 如图，用一根长为l =1m 的细线，一端系一质量为m =1kg 的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的中心轴做匀速圆周运动时（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取10m/s 2），问：

（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω至少为多大？

（2）若细线与竖直方向的夹角α=60°，则小球的角速度ω'为多大？

答案：（1）0=

rad/s 2

ω （2）ω' 解析：（1）若小球刚好离开锥面，则小球只受重力和细线的拉力。由牛顿第二定律及向心力公式得：

20tan sin mg m l θωθ

=

解得0=

rad/s 2

ω。 （2）同理，当细线与竖直方向成α=60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得：

2tan sin mg m l αωα'=

解得ω'。

A 、

B 两球质量分别为m 1与m 2，用一劲度系数为k 的弹簧相连，一长为L 1的细线与m 1

相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO ′上，如图所示。当m 1与m 2均以角速度ω绕OO ′做匀速圆周运动时，弹簧长度为L 2，求：

（1）此时弹簧的伸长量； （2）绳子的弹力；

（3）将线突然烧断瞬间A 、B 两球的加速度大小分别是多少。

答案：（1）k

L L m )(2122+ω （2）m 2ω2（L 1＋L 2）＋m 1ω2L 1 （3）1212

2

)(m L L m +ω

ω2（L 1＋L 2）

解析：（1）由题意可知，B 球受到的弹簧弹力充当B 球做圆周运动的向心力。设弹簧伸长ΔL ，

满足：k ΔL ＝m 2ω2（L 1＋L 2）

解得弹簧伸长量为：ΔL ＝k

L L m )

(2122+ω，

（2）对A 球分析，绳的弹力和弹簧弹力的合力充当A 球做匀速圆周运动的向心力。 满足：F －k ΔL ＝m 1ω2L 1

所以绳子的弹力为：F ＝m 2ω2（L 1＋L 2）＋m 1ω2L 1

（3）绳子烧断的瞬间，A 、B 两球都由弹簧的弹力提供加速度。 A 球：k ΔL ＝m 1a 1，

解得：a 1＝1

2122)

(m L L m +ω，

B 球：k ΔL ＝m 2a 2， 解得：a 2＝ω2（L 1＋L 2）

1. 六种运动模型

（1）六种运动模型向心力的来源 （2）六种运动模型半径的确定 2. 水平面内的圆周运动的临界问题

物体处于临界状态时，要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在，以及这个力存在时的方向（特别是静摩擦力、绳的拉力、弹力等）。

（答题时间：30分钟）

1. 如图所示，一段不可伸长的轻绳长度为L ，上端固定，下端拴着一个小球，现让小球在水平面内做匀速圆周运动，由于轻绳旋转而“绘制”出一个圆锥面。已知这个圆锥体的高为h ，重力加速度为g ，小球的直径可忽略不计。则小球做匀速圆周运动的周期为（ ）

A. 2π

g

h B. 2π

h

g C. 2π

g

L D. 2π

L

g 2. 如图所示，小物块A 与水平圆盘保持相对静止，随着圆盘一起做匀速圆周运动，下面说法正确的是（ ）

A. 物块A 受重力、支持力和指向圆心的静摩擦力

B. 物块A 受重力、支持力、向心力和指向圆心的静摩擦力

C. 物块A 相对圆盘的运动趋势方向是沿着A 所在圆周的切线方向

D. 物块A 相对圆盘的运动趋势方向是沿着半径且背离圆心的方向

3. 如图所示，相同材料的A 、B 两物块置于绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，B 的质量是A 的质量的2倍，A 与转动轴的距离等于B 与转动轴距离的2倍，两物块相对于圆盘静止，则两物块（ ）

A. 角速度相同

B. 线速度相同

C. 向心加速度相同

D. 若转动的角速度增大，A 先滑动

4. 一对男女溜冰运动员质量分别为m 男＝80 kg 和m 女＝40 kg ，面对面拉着一弹簧秤做圆周运动的溜冰表演。如图所示，两人相距0.9 m ，弹簧秤的示数为9.2 N ，则两人（ ）

A. 速度大小相同约为40 m/s

B. 运动半径分别为r男＝0.3 m和r女＝0.6 m

C. 角速度相同为6 rad/s

D. 运动速率之比为v男∶v女＝1∶2

5. 如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是r A＝r C＝2r B。若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的（）

A. 角速度之比为1∶2∶2

B. 角速度之比为1∶1∶2

C. 线速度大小之比为1∶2∶2

D. 线速度大小之比为1∶1∶2

1. 答案：A

解析：小球仅受重力和沿绳子向上的拉力，根据牛顿第二定律：mg tan θ＝m 22

4T

πr ，

解得周期为：T ＝

因为

θtan r ＝h ，则有：T ＝2πg

h 。故A 正确，B 、C 、D 错误。 故选：A 。 2. 答案：AD

解析：隔离物块对物块受力分析，如图所示受重力G 、向上的支持力F N ，重力与支持力二力平衡，既然匀速转动，就要有向心力（由摩擦力提供），为指向圆心的静摩擦力，故A 正确，B 错误；若没有摩擦力，则物体将向离开圆心的方向运动，所以物块A 相对圆盘的运动趋势方向是沿着半径且背离圆心的方向，故C 错误，D 正确。

3. 答案：AD

解析：圆盘上各点绕轴心转动的角速度均相同，故A 项正确；由匀速圆周运动线速度与角速度的关系v ＝ωr 可知，A 的线速度是B 的2倍，故B 项错误；由向心加速度a ＝ω2r 可知A 的向心加速度是B 的2倍，故C 项错误；由于两物块相对于圆盘静止时，最大向心加速度大小为μg ，由前项知A 的向心加速度速度是B 的2倍，故A 先滑动，D 项正确。 4. 答案：BD

解析：弹簧秤的弹力充当男女溜冰运动员做匀速圆周运动的向心力，运动的角速度和周期相同，所以有F ＝m 男r 男ω2＝m 女（L －r 男）ω2，解得r 男＝0.3m ，r 女＝L －r 男＝0.6m ，ω＝

60

23

rad/s ，所以B 选项正确，C 选项错误；由v ＝rω，所以男女运动员的速度大小不相同，运动速率之比为v 男∶v 女＝1∶2，故A 选项错误，D 选项正确。 5. 答案：AD

解析：A 、B 两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A 、B 两轮边缘的线速度大小相等，B 、C 两轮固定在一起绕同一轴转动，则B 、C 两轮的角速度相等。

a 、

b 比较：v a ＝v b

由v ＝ωr 得：ωa ∶ωb ＝r B ∶r A ＝1∶2 b 、c 比较：ωb ＝ωc

由v＝ωr得：v b∶v c＝r B∶r C＝1∶2所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2

v a∶v b∶v c＝1∶1∶2

故A、D正确。

竖直面内的圆周运动

动的球等圆管内运动等最高点无支撑最高点有支撑

v2v2

2. 解题技巧

（1）定模型：首先判断是“轻绳”模型还是“轻杆”模型，两种模型物体过最高点的临界条件不同。

（2）确定临界点：抓住“轻绳”模型中球恰好能过最高点时v＝gr及“轻杆”模型中球恰好能过最高点时v＝0这两个临界条件。

（3）研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。

（4）受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合＝F向。

如图所示，两段长均为L的轻绳共同系住一质量为m的小球，另一端固定在等高的两点O1、O2，两点的距离也为L，在最低点给小球一个水平向里的初速度v0，小球恰能在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g，则（）

A. 小球运动到最高点的速度v ＝

Lg 2

3 B. 小球运动到最高点的速度v ＝Lg

C. 小球在最低点时每段绳子的拉力F ＝mg ＋m L

v 3322

D. 小球在最低点时每段绳子的拉力F ＝33

mg ＋m L

v 3220

答案：AD

解析：小球恰能在竖直面内做圆周运动的条件是在最高点重力恰好提供向心力，则mg

＝m r v 2，r ＝L sin 60°，解得v ＝gL 2

3

，A 正确，B 错误；小球在最低点，由向心力公式

得：F T －mg ＝m r v 20，每段绳子的拉力F ＝

60sin 2T F ，由以上两式解得：F ＝33

mg ＋m L v 322

0，

C 错误，

D 正确。

如图所示，在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R ，A 、B 两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O 且大小恒为F ，当质点以速率v ＝gR 通过A 点时，对轨道的压力为其重力的7倍，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g 。

（1）求质点的质量；

（2）若磁性引力大小恒为2F ，为确保质点做完整的圆周运动，求质点通过B 点最大速率。

答案：见解析

解析：（1）在A 点：F ＋mg －F A ＝R

mv 2

根据牛顿第三定律：F A ′＝F A ＝7mg 解得：m ＝

g

F 7 （2）在B 点，根据牛顿第二定律：2F －mg －F B ＝2

B mv R

当F B＝0，质点速度最大

2F－mg＝

2

Bm mv

R

⑨

解得：

Bm

v

1. “轻绳”模型

物体通过最高点的最小速度为v=，此时重力提供向心力，绳的拉力（或管壁的弹力）为零。

2. “轻杆”模型

物体通过最高点的最小速度为0

v=，此时重力和弹力的合力提供向心力，杆（或管壁）对物体的弹力方向竖直向上，大小等于物体重力。

（答题时间：30分钟）

1. 杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是（g＝10 m/s2）（）

A. “水流星”通过最高点时，有水从容器中流出

B. “水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零

C. “水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用

D. “水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N

2. 如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是（）

A. 小球对圆环的压力大小等于mg

B. 重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力

C. 小球的线速度大小等于gR

D. 小球的向心加速度大小等于g

3. 如图所示，小球m 在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是（ ）

A. 小球通过最高点时的最小速度是Rg

B. 小球通过最高点时的最小速度为零

C. 小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力

D. 小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力

4. 如图所示，质量为m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O 做圆周运动。当小球运动到最高点时，瞬时速度为v ＝Lg 2

1

，L 是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力是（ ）

A.

2

1

mg 的拉力 B.

21

mg 的压力 C. 零

D. 2

3

mg 的压力

5. 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm 。（g 取10 m/s 2）

（1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；（结果保留三位有效数字） （2）若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小。

1. 答案：B

解析：“水流星”在最高点的临界速度v ＝gL ＝4 m/s ，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B 。 2. 答案：BCD

解析：因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A 错误；此时小球只受重力作用，即重力mg 充当小球做圆周运动所需的向心

力，满足mg ＝m R

v 2

＝ma ，即v ＝gR ，a ＝g ，选项B 、C 、D 正确。

3. 答案：BD

解析：小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab 以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，即外侧管壁对小球一定有作用力，故B 、D 正确。 4. 答案：B

解析：当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg ＝m 2

'v L

，解得：v ′

＝gL ，而gL 21

1

mg ，由牛顿第三定律，球对杆是压力，故选B 。 5. 答案：（1）2.24 m/s （2）4 N

解析：（1）以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。

此时有：mg ＝m l

v 2

，

则所求的最小速率为：v 0＝gl ≈2.24 m/s 。

（2）此时桶底对水有一向下的压力，设为F N ，则由牛顿第二定律有：F N ＋mg ＝m l

v 2

，

代入数据可得：F N ＝4 N 。

由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小：F N ′＝4 N 。