劳斯判据总结

3-1 稳定性

1、稳定性的概念

2、判别系统稳定性的基本原则

线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。

由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。

显然，稳定性与零点无关。当有一个根落在右半部，系统不稳定。当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。

3-2 劳斯稳定判据

劳斯判据

劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：

55

3(0

0122110->=++???+++---a a S a S a S a S a n n n n n

检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。 可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。 2）按系统的特征方程式列写劳斯表

3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，

且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。

通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。

如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。 ※※ 劳斯判据特殊情况

· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表

如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。 · II ）劳斯表中出现全零行

表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。

例如：控制系统的特征方程为

0161620128223456=++++++s s s s s s

列劳斯表

16

381662480

00

161220

1612216208101

23456S S S S S S S

由于3s 这一行全为0，用上一行组成辅助多项式

s s ds

s dF 248)

(3+=，由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S 右半平面上没有特征根。令F(s)=0，

)4)(2(2)86(216122)(222424=++=++=++=s s s s s s s s F

得1,23,4 2s s j =±=±. 求得两对大小相等、符号相反的根

2,2j j ±±，显然这个系统处于临界稳定状态。