高二(理)-椭圆的简单几何性质(牟喜全)
《椭圆的简单几何性质》教学设计
公主岭一中
牟喜全
新授课： 2.2.2 椭圆的简单几何性质（1）
一、【教学目标】
重 点：椭圆的简单几何性质及其探究过程；
难 点：运用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法；
知识点：1．掌握椭圆的简单几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；
2．能说明离心率的大小对椭圆形状的影响； 3．运用数形结合思想，研究曲线方程几何性质；
能力点：体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法；
教育点：感受解析法研究问题的思想，感知椭圆曲线的对称美，培养学生的学习兴趣； 自主探究点：从直观几何图形出发，探究椭圆的几何性质； 考试点：椭圆性质的简单应用，离心率对椭圆形状的影响； 易错易混点：a ，b ，c 之间的关系；离心率e 的定义及范围；
二、【引入新课】
1．椭圆的定义:平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆．
2．椭圆的标准方程：当焦点在x 轴上时，222
21(0)x y a b a
b ；当焦点在y 轴上时，2
22
2
1(0)y x a b a b ．
3．椭圆中a ，b ，c 的关系是: 2
22a
b c ．
【设计意图】根据曲线的方程研究曲线的几何性质并正确地画出它的图形是解析几何的基本问题之一，在
此之前，学生一定要能熟练写出椭圆的标准方程．
观察椭圆2
22
2
1(0)x y a b a b 的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上
哪些点比较特殊？
【设计意图】借助多媒体辅助手段，先给出一个可以直观的椭圆，创设问题情景，让学生从形的角度先对椭圆的几何性质有一个整体的把握，引导学生观察、分析、猜测、论证，然后再重点从数的角度也就是方程组织讨论，合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报研究成果，得到结论后总结，及时进行反馈应用和反思总结．
三、【探究新知】
观察椭圆2
22
2
1(0)x y a b a
b 的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？
（1）．椭圆是轴对称图形，关于x 轴、y 轴对称；椭圆还是中心对称图形，关于坐标原点对称． （2）．椭圆与坐标轴有四个交点，其中与x 轴的两个交点分别为(,0),(,0)a a ，与y 轴的两个交点分别是
(0,),(0,)b b ．
（3）．x 的取值范围是[,]a a ，y 的取值范围是[,]b b ． 由图形观察出的几何性质，能否由方程得到？ 1. 范围
(1)从图像上容易看出，椭圆上的点的横坐标的范围是
a x a -≤≤，纵坐标的范围是
b y b -≤≤．
(2)由方程可知，22
2210y x b a
=-≥，
所以，椭圆上所有的点都适合不等式2
21x a
≤，即a x a -≤≤．
同理有b y b -≤≤．
椭圆正好位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框里． 2. 对称性
（1）观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形．
（2）在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>中，
（i ）把x 换成x -,方程不变，故图象关于y 轴对称； （ii ）把y 换成y -,方程不变，故图象关于x 轴对称；
（iii ）把x 换成x -，同时把y 换成y -,方程不变，故图象关于原点成中心对称．
综上，椭圆关于x 轴和y 轴都是轴对称的，关于原点是中心对称的，这时，坐标轴是椭圆的对称轴，坐标原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心又叫椭圆的中心． 3. 顶点
令0x =，得y b =±，说明椭圆与y 轴的交点为(,0)b ±；令0y =，得x a =±，说明椭圆与x 轴的交点为(,0)a ±．
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点． 椭圆的四个顶点分别为1212(,0),(,0),(0,),(0,)A a A a B b B b --．
长轴、短轴：线段12A A ，12B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴．a ，b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 【练习】根据前面所学有关知识画出下列图形：
22(1)12516
x y +=； 22(2)1254x y +=．
我们来比较上面两个图形的扁平程度，当长轴相当的时候，椭圆的短轴越短，椭圆就越扁，那么，我们有一个专门用来刻画椭圆扁平程度的量，离心率．
【设计意图】引导学生分析图像，从图像中体会,,a b c 对椭圆扁平程度的影响，分析其中的相应变化，从而自然引出离心率的概念，显得不突兀；另外，除了离心率外，
b a 或c
b
的大小也是可以刻画椭圆的扁平程度，具体的情况要学生自己探索，教师做到授之以渔就可以了． 4. 离心率
我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e 表示，即c e a
=
． （1）离心率的取值范围：01e <<； （2）离心率对椭圆形状的影响：
（i ）e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，椭圆就越扁； （ii ）e 越接近0，c 就越接近0，从而b 就越大，椭圆就越圆． 思考：当0e =时，曲线是什么？当1e =时，曲线又是什么？
当0e =时，0c =，a b =，曲线是圆；当1e =时，c a =，0b =，曲线是线段．
（3）离心率e 与,a b 的关系：22
2221a
b a b a a
c e -=-==
练习：对于椭圆2
2
2:936C x y +=与椭圆222:21612
y x C +=，更接近于圆的是： ．
【设计意图】通过探究，培养学生研究问题的严谨性，观察得到的结论不一定正确，必须给予理论证明，同时让学生尝试研究性学习与接受式学习相结合的学习方式，在这种方式下，学生自主的研究问题，在研究中掌握本节知识，体验用方程研究图形性质的思想和方法．
2
1(0)a b b
x a ≤≤，b y b -≤≤
五、【运用新知】
例1． 求椭圆2
2
1625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标．
分析：先把椭圆的方程化成标准方程
22
12516
x y +=． 解：把已知方程化成标准方程22
22154
x y +=，
于是，5,4,3a b c ====． 所以，长轴与短轴的长分别为210,28,a b == 离心率3
,5
c
e a =
=两个焦点坐标分别为12(3,0),(3,0),F F - 四个顶点坐标分别为1212(5,0),(5,0),
(0,4),(0,4).A A B B -- 练习：求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
22(1)981x y +=；22(2)259225x y +=；22(3)1625x y +=；22(4)451x y +=．
小结：如果给出的椭圆方程不是标准方程，需要先化成标准方程，再确定a ，b ，c 的值，然后进行计算． 【设计意图】让学生尝试用前面研究问题的方法解决实际问题，学以致用，进一步体验解析几何的基本思想，同时加深对一些基本概念：长轴、短轴、焦点、顶点、离心率等的理解． 例2 ．已知椭圆2
2
(3)(0)x m y m m ++=>的离心率e =m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
分析：将椭圆方程化为标准形式，用m 表示出,,a b c ，再由2
e =求出m 的值，然后再求2,2a b 、焦点坐标、顶点坐标．
解：椭圆方程可化为22
13
x y m m
m +=+，
又
(2)
0,
33
m m m
m
m m
+
-=>
++
3
m
m
m
∴>
+，即22
,
3
m
a m b
m
==
+
．
c
∴==
由
e=
2
=1,
m=
∴椭圆的标准方程为2
21
1
4
y
x+=，
∴1
1,,
22
a b c
===．
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为
1，
两个焦点坐标分别为
12
(
F F
四个顶点坐标分别为
1212
11
(1,0),(1,0),(0,),(0,).
22
A A
B B
--
【设计意图】已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准,a b，才能正确写出其相关的性质，在求顶点坐标与焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴．
例3 ．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长为6，离心率是
2
3
；
（2）在x轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．
分析：因为要求的是椭圆的标准方程，故可以先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求参数,,.
a b c 解：（1）设椭圆方程
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>或
22
22
1(0)
y x
a b
a b
+=>>．
由已知得26, 3.
a a
=∴=
又
2
, 2.
3
c
e c
a
==∴=
22294 5.
b a c
∴=-=-=
∴椭圆的标准方程为221
95
x y
+=或
22
1
95
y x
+=．
（2）由题知焦点在x 轴上，故可设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
且两焦点是12(3,0),(3,0),F F -
又△12A FA 为等腰三角形，OF 为斜边12A A 的中线，且12||,||2,OF c A A b ==
2223,18c b a b c ∴===+=．
∴ 椭圆的标准方程为22
1189
x y +
=． 【设计意图】提高学生分析问题，运用几何性质、数形结合思想解决实际问题的能力． 练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）过点(3,0)，离心率e =
； （2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(2,4)--．
【设计意图】让学生能够从已知的椭圆的几何性质探究椭圆的标准方程形式，进一步提升学生对待定系数法的认识，一般步骤主要是（1）定位，（2）定量．
六、【课堂小结】
教师提问：本节课我们学习了哪些知识点，涉及到什么规律方法？ 学生作答：
（1） 本节课从范围、顶点、对称性、离心率四个方面学习了椭圆的几何性质； （2） 体验了由方程研究几何性质的方法；
（3） 本节课的一个重要数学思想是数形结合．数形结合也是后面学习其它知识的重要思想方法之一． 【设计意图】加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．
七、【布置作业】 1． 阅读课本P37—P40；
2． 必做题：（1）课本第41页，练习，第2，3，4，5题；（2）课本第42页，A 组，第3，4，5题． 3． 选做题：课本第43页，B 组，第1题
4． 课外探究：用《几何画板》探究离心率e 对椭圆扁平程度的影响．
【设计意图】设计作业必做题1，2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了让学生掌握椭圆的几何性质，根据题目条件求椭圆的标准方程；课外探究的安排，是让学生进一步感受离心率e 对椭圆扁平程度的影响，结合《几何画板》画图，让学生更直观的感受，体会数学美，使所学知识和方法得到进一步的提高．
八、【教后反思】
1．本节课采用“以问题为中心”的自学探究模式，教师平等的参与学生的自主探究活动，力求调动
一切积极因素，激发学生的学习兴趣，引导学生全员参与．在教师的引导启发下，使学生的思维围绕“探究”步步深入，最大限度挖掘学生潜能，体现学生的主体性．通过动手操作，合作交流，使学生发现并掌握椭圆的简单几何性质，感受领会从数到形、从形到数的探究过程．
2．借助多媒体、几何画板辅助教学，精确的画出椭圆，便于学生观察几何性质，激发学生的学习兴趣，增加课堂教学的信息容量，提高了课堂教学的效率．
3．在教学方法上，主要是采用“自学探究”进行教学．教师通过点拨引导的方式，启动学生的思维活动，从图形出发引出数学概念，使学生充分理解“数形结合思想”．
2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习
2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习 1．椭圆的简单几何性质 直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的位置关系： 直线与椭圆相切?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交? ????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1________实数解，即Δ______0. 一、选择题 1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，4 5 C ．5,3，35 D ．10,6，3 5 2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 2 36＝1 C ．x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 2 4 ＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1 2 ，则m 等于( )
A ． 3 B ．32 C ．83 D ．2 3 4．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°， 则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.2 2 5．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。满足1MF ·MF 2→ ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．??? ?0，12 C ．???0，2 D ．???2 ，1 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5 5 ，且过点P (－5,4)，则椭圆的 方程为______________． 8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的 离心率等于______． 9．椭圆E ：x 216＋y 2 4 ＝1内有一点P (2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为 ____________． 三、解答题 10．如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦 点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2 c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交 点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e .
椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)
第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0，32 B.??? ?0，34 C.?? ?? ??32，1 D.??? ?3 4，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2 ＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－??? ?b a 2 ＝ 1－? ?? ??132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2－ b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的
椭圆的简单几何性质(二)
第2课时：椭圆的简单几何性质（二） 【学习目标】 １．进一步熟悉和掌握椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率等）； ２．掌握求曲线方程的一些基本方法； ３．会利用椭圆的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题。 【知识线索】 椭圆两种标准方程的性质比较 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于 2 1 F F）的点的轨迹 标准方程 )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b x a y 图形 焦点坐标 范围 对称性 顶点坐标 离心率 c b a, ,的含义及关系 【知识建构】 1.椭圆中方程思想的应用； 2.注意椭圆的焦点的位置的确定； 3.利用椭圆的定义接相关椭圆问题是很重要的方法。 【典例透析】 高二选修2-1：第二章圆锥曲线与方程 四环节导思教学导学案 课时目标呈现 目标导航 课前自主预习 新知导学 疑难导思课中师生互动 x A2 B2 F2 y O A1 B1 F1 y O A1 B1 x A2 B2 F1 F2
例1．与椭圆)0(2 32 2>=+λλy x 有相同的离心率，且过点)2,32(的椭圆的标准方程是 例2．如图，点B A ,分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点， 点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方， PF PA ⊥。 （1）求点P 的坐标； （2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。 【课堂检测】 1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为_______． 2.已知点P 是椭圆14 52 2=+y x 上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为定点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标。 【课堂小结】 y F O A B x 课后训练提升 达标导练 M P
《椭圆的简单几何性质》教学反思.doc
《椭圆的简单几何性质》教学反思 数学组冶有得 为了提高年轻教师的业务能力和专业素养，学校邀请乌市专家到我校听年轻教师上课, 为了上好木节课，我做了充分准备，下面我从的前期准备、课堂自我感觉及专家评课等方面进行反思，反思如下： 一、课前准备：在前期认真翻看了课木和课标，并多次请教粟登科老师、高志华老师；根据木班学生的实际情况制定了木节的教学目标、教学重难点，列出了框架，再依据框架撰写了教学设计、导学案并制作ppt。 二、课堂自我感觉：从课堂上来看，学生反应积极，教学进程流畅，学生对于知识点达到了掌握和理解，同时能紧跟着老师的思路；基木实现了木节课的预期目标，可惜的是最麻一道练习没处理完。 三、专家评课：一是优点：本节课采用了数形结合的数学思想，更加直观、形象的说明的椭圆的几何性质，使得将难度降低，学生更容易理解、掌握；讲练结合，讲完一个性质练习一道题，使得学生巩同了所学内容，更进一步加深了记忆；课堂较顺利，推进的速度也比较快, 板书较为桀齐；课堂采用了几何曲板，使得复杂的问题简单化。问题的设置较好，层层递进, 使得与学生的互动也比较多，充分体现了新课标要求，以学生为本，将课堂还给学生。 二是缺点：在推到离心率公式的时候速度过快，没有足够的时间去分析和挖掘；例1的讲解只采用了代数法讲解，若结合图形就更能说明问题，学生也更容易理解；本节课的容最较大。四、课后反思： 1.细节决定成败。细节是往往我们忽略的地方，如在复习椭圆的定义时没有强调（| PF】I + I PF2 |= 2a（2a >\ F}F2 |）,如果不满足条件（2a>2c）,那么这个点的轨迹就不是椭圆了，所以要注重教学内容的严谨性。 2.对个别学生的关注度不够，通过检杏笔记和练习本发现上课时没有动笔，一两个学生有打嗑睡的现象。 3.教学语言还需要锤炼。在叙述椭圆的离心率时，语言的表达不是那么精准，也不到位。尔对于一个教师来说最基木就是能够把白己的知识准确的、简单的传授给学生，把复杂的问题简单化，使学生更容易接受，让学生更加认可你。 4?对于教材的挖掘有所欠缺，如叙述离心率是课本上有详细的解答，描述的也比较到位。 五、听专家课的一些想法：乌市专家在高三（14）班上了一节公开课《解三角形》，作为高三的复习课，我们上课的方式一般会是知识梳理、讲解例题、课堂练习；对于公式的推到、背景很少讲解，但是赵老师先复习了最基础的、最简单的公式（三角形的面积公式、锐角三角函数）；Z后利用这两个公式一步步得出了面积公式、正弦定理、余弦定理及推论，使学生更加熟悉了并会应用公式，记忆也比较牢固；然后出了一些较为简单的高考题型进行练习, 最示讲解两道相对复杂的例题。从上课的模式、心态、语言表达等方面给我留下了深刻的印象，也是我学习的内容。 总Z,作为一名年轻教师，要不断的学习，不断地改进，争取早U成熟起来。通过这次的上课和听课，让我也认识到了白己的不足，明确了改进的方向，同时给白己也提出了很多问题，怎样让自己的教学方法多样化，吸引学生？怎样让学生喜欢数学？在今示的教学屮会更加努力。
椭圆的简单几何性质一教案
椭圆的简单几何性质（一） 池州第六中学 王超 教学目标 （一）教学知识点 椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点. （二）能力训练要求 1.使学生了解并掌握椭圆的范围. 2使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心. 3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及a 、b 、c 的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距. 4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义. 教学重点 椭圆的简单几何性质. 教学难点 椭圆的简单几何性质. （这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的） 教学方法 师生共同讨论法. 通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的研究方法，加强对性质的理解，掌握椭圆的几何性质. 教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］前面，我们研究讨论椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x ，（焦点在x 轴上）或 )0(122 22>>=+b a b x a y （焦点在y 轴上）（板书） 那么我们研究椭圆的标准方程有什么实际作用呢？ 同学们知道，2008年的8月，中国为世界奉献了一个空前盛况的奥运会，一个多月后的9月25日，世界的目光再次投向中国，同学们知道是什么事吗？ （出示神七发射画片并解说）：2008年9月25日21时，“神舟七号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行和宇航员太空行走等多项先进技术，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请
问： “神舟七号”载人飞船的运行轨道是什么？――对，是椭圆。 据有关资料报道，飞船发射升空后，进入的是以地球的地心为一个焦点，距地球表面近地点高度约２００公里、远地点约３４６公里的椭圆轨道。 我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程，请同学们回忆椭圆是标准方程是怎样的？它们有几种形式？ 问题1：我们前面刚刚学习了椭圆的标准方程，同学们还记得椭圆的标准方程吗？它有几种形式 （板书）)0(12222>>=+b a b y a x )0(122 22>>=+b a b x a y （焦点在x 轴上） （焦点在y 轴上） 问题2：你想求出神七在宇宙中运行的椭圆轨道的标准方程吗？ Ⅱ.讲授新课 （板书标题）椭圆的几何性质 首先我们进入本节课的第一个环节 一、几何性质 ［师］我们不妨对焦点在x 轴的椭圆的标准方程. （板书）122 22=+b y a x (a ＞b ＞0)进行讨论. 在解析几何里，我们常常是从两个方面来研究曲线的几何性质：一是由曲线的图像去“看”曲线的几何特征（以形辅数），同时又由曲线的方程来“证”明它（以数助形）。我们今天也用这种方法来研究椭圆的几何性质， 1.范围： ［师］所谓范围，就是指椭圆图象上的所有的点在什么约束范围内，也就是说椭圆上所有的点的纵、横坐标应该在哪个范围内取值。 那么，你能从椭圆的图形上看出椭圆上所有的点所在的范围吗？ ［师］请看，如果我们过椭圆与x 轴的两个交点作两条平行于y 轴的直线，再过椭圆与y 轴的两个交点作两条平行于x 的直线（出示幻灯片）。此时，你能说出椭圆的范围吗？ [生]在一个矩形中 ［师］这两组平行线所在的直线方程是多少？能从椭圆的标准方程中找出它来吗？
椭圆的简单几何性质教案
课题：椭圆的简单几何性质 设计意图：本节内容是椭圆的简单几何性质，是在学习了椭圆的定义和标准方程之后展开的，它是继续学习双曲线、抛物线的几何性质的基础。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。本教案的设计遵循启发式的教学原则，以培养学生的数形结合的思想方法，培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。 教学目标：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．培养学生的数形结合的思想方法。 教学重点：椭圆的简单几何性质的应用。 教学难点：椭圆的简单几何性质的应用。 二过程与方法目标 （1）复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率． 〖板书〗椭圆的简单几何性质． （2）新课讲授过程 （i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）椭圆的简单几何性质 ①范围：由椭圆的标准方程可得， 22 22 10 y x b a =-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可
椭圆的简单几何性质练习题
课时作业(八) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为3 5的椭圆的标准方程是( ) A.x 2100＋y 2 36＝1 B.x 2100＋y 2 64＝1 C.x 225＋y 2 16＝1 D.x 225＋y 2 9＝1 【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得 b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝3 5，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2 16＝1，故选C. 【答案】 C 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) A.12 B.13 C.14 D.22 【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝1 2. 【答案】 A 3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2 25－k ＝1(0 B ．有相等的焦距，不同的焦点 C ．有不等的焦距，不同的焦点 D ．以上都不对 【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 2 25－k ＝ 1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 【答案】 B 4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2 3＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) A.5 13 B ．－513 C.21313 D ．－21313 【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2 3＝1， 解得y 0＝±3 2， 所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12 ＋? ?? ??322＝13 2. 由余弦定理知 cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2 2|OM ||ON | ＝? ????1322＋? ?? ??1322 －322×132×13 2＝－513. 【答案】 B 第2课时 椭圆的简单几何性质 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) ! 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－? ?? ??b a 2＝ 1－? ????132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. | 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的 课题 椭圆的简单几何性质 设计意图：本节内容是椭圆的简单几何性质，是在学习了椭圆的定义和标准方程之后展开的，它是继续学习双曲线、抛物线的几何性质的基础。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。本教案的设计遵循启发式的教学原则，以培养学生的数形结合的思想方法，培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。 教学目标： 1.知识与技能：(1).使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆中 a、b、c的几何意义及相互关系； (2) 通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。 (3) 能利用椭圆的性质解决实际问题。 2.过程与方法：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。 3.情感态度价值观：通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学 教学重点：椭圆的简单几何性质的应用。 教学难点：椭圆的简单几何性质的应用。 教学过程 （1）复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念； （2）新课讲授过程 （i ）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii ）椭圆的简单几何性质 ①范围：由椭圆的标准方程可得，，进一步得：，同理22 2210y x b a =-≥a x a -≤≤可得：，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里； b y b -≤≤x a =±y b =±②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆x -x y -y x -x y -y 的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心； x y ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴； 例1 已知椭圆方程为 回答下列问题，并用描点法画出椭圆图形。它的长轴长是： 。短轴是： 。 焦距是： .焦点坐标是： 。 顶点坐标是： 。 分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出．引导学生用椭圆的长轴、短,,a b c 轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量． ④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率（），a c e = 10< 一、课前练习： 1.椭圆x 2+ 8y 2=1的短轴的端点坐标是 ( ) A.(0,- 42)、(0,4 2) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-22,0) D.(0,22)、(0,－22) 2.椭圆14 92 2=+y x 的焦点到准线的距离是 ( ) A.559554和 B.5514559和 C.5514554和 D.55 14 3.离心率为23,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是 ( ) A.1422=+y x B.1422=+y x 或14 22=+y x C.1422=+y x D.14 22=+y x 或116422=+y x 二、典例： 例1.求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出 它的图形． 变式练习1：求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程： (1)25x 2+4y 2-100=0， (2)x 2+4y 2-1=0． 例2．（1）求椭圆2244x y +=和2244x y +=的准线方程； （2）已知椭圆22925900x y +=上的点P 到它的右准线的距离为8.5，则P 到左焦点的距离为 ； （3）椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，准线方程为18y =±，椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14，则椭圆的方程是 ． 三、巩固练习： 1.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长 为16，椭圆离心率2 3=e ,则椭圆的方程是 ( ) 122 22=+b y a x A.13422=+y x B.1342=+y x C.1342=+y x D.13 42=+y x 2.椭圆122 22=+a y b x (a >b >0)的准线方程是 ( ) A.222b a a y +±= B.222b a a y -±= C.222b a b y -±= D.222 b a a y +±= 3已知P 是椭圆136 1002 2=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是 （ ） A ．516 B ．566 C ．875 D ．8 77 4．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 （ ） A ．3 B ．11 C ．22 D ．10 5．在椭圆13 42 2=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是 （ ） A ．25 B ．2 7 C ．3 D ．4 6．已知A 、B 为椭圆22a x +2 2925a y =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为2 3，求该椭圆方程． 答案：课前练习：1.A 2.C 3.D. 例1.2a=10,2b=8,e=5 3=a c ，F 1（-3,0）F 2（3,0），A 1（-5,0）,A 2（5,0）B 1（0,-4）,B 2（0,4）. 例2．(1)23a y c =±=±,(2)686620105 -=,(3)22114480y x += 巩固练习：1.D 2.B 3.B 4. D 5.C 6.[解析]：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a 5 8，∴x 1+x 2=a 21， 即AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴2 34541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为192522=+y x 《椭圆的简单几何性质》听课实录 在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚 了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。 在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而 椭圆简单几何性质教学 反思 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】 椭圆简单几何性质教学反思2012年12月，我在江苏连云港新海高中上了一节《椭圆的几何性质》公开课。 这节课 从准备，到与组内老师探讨、交流，并修改、上课，直至最后聆听各位老师和专家的指导，都让我受益非浅。 本节课是苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1—1第二章第二节的内容，它是在学完椭圆的标准方程的基础上，通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质。利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务。通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程，同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫。本节课是围绕着探究椭圆的简单几何性质进行的。因此，依教材的地位与作用及教学目标，将之确定为本节课的重点；又因为学生第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质，学生感到困难，且如何定义离心率，学生感到棘手，所以我将之确定为本节课的难点。 然而，课后的反思过程中我发现了几个问题：第一，在讲解"顶点"定义时，单纯定义为椭圆与坐标轴的交点，没把握住顶点的重要特征，即"顶点是椭圆与其对称轴的交点"，如果把握住这一点，在讲解时就应先讲"对称性"，再讲"顶点"；二是本节课对几何性质的导入，是由学生回顾上节所讲特征三角形的三边与的大小关系开始的，而多数人对特征三角形的记忆是很模糊的，上节课在这个知识点上学生吸收的并不好，如果把它放在本节课"顶点"之后再讲解，会显得更自然一些；三是"对称性"的讲解过于单薄，学生既然很快就观察出了这个性质，何不趁热打铁，再从代数的角度证明一下椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)
《椭圆的简单几何性质》优秀教学设计
2.1.2椭圆的简单几何性质练习题及答案
《椭圆的简单几何性质》听课实录.doc
椭圆简单几何性质教学反思