2021届高三数学精准培优专练 线性规划(文) 学生版
2021届高三精准培优专练
例1：设变量x ，y 满足约束条件2030230x x y x y +≥??
-+≥??+-≤?
，则目标函数6z x y =+的最大值为 ．
例2：若,x y 满足约束条件22220
x y y x x +≥??-≤??-≤?
，则2y
x +的取值范围为（ ）
A ．1[,1]2
B ．1
(,]
[1,)2-∞-+∞
C ．[0,1]
D ．1[,1]2
例3：已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥??
+≤??≥?
，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）
A ．3
B ．2
C ．2-
D ．3-
例4：某高科技企业生产产品
A 和产品
B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料
1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，
生产一件产品
A 的利润为2100元，生产一件产品
B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙
培优点 线性规划
一、求线性目标的最值
二、求非线性目标的最值
三、线性规划的含参问题
四、线性规划的实际应用
材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为
元．
一、选择题
1．已知,x y 满足10304x y x y y -+≤??
+-≥??≤?
，若对任意,x y 都有2x y a +≤成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．(2,)+∞
B ．[2,)+∞
C ．[4,)+∞
D ．[10,)+∞
2．已知变量x ，y 满足的不等式组02010x x y kx y ≥??
-≤??-+≥?
表示的平面区域是一个直角三角形，则实数
k =（ ）
A ．12
-
B ．
12
C ．0
D ．0或12
-
3．若实数x 、y 满足1x y ≤≤，则2
2
2x y x ++的最小值为（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．
22
D ．
212
- 4．设x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥??
-+≥??+-≤?
，则3z x y =-的最大值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．6
5．如果点(,)P x y 在平面区域22021020x y x y x y -+≥??-+≤??+-≤?
上，则22
(1)x y ++的最大值和最小值分别是（ ）
A ．3，5
B ．9，
95
C ．9，2
D ．3，2
对点增分集训
6．设变量x ，y 满足约束条件220
22010
x y x y x y --≤??
-+≥??+-≥?
，则1y x s x -=+的取值范围是（ ）
A ．1[0,]2
B ．1[,0]2
-
C ．1[,1]2
-
D ．[0,1]
7．设变量,x y 满足约束条件202011
x y x y x y +-≤??-+≥?
?≥-??≥-?，则目标函数4z x y =-+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
8．已知实数,x y 满足约束条件121x y x y y a +≥-??
-≤??≤?
，若目标函数3z x y =-的最大值为2，则a 的值为（ ）
A ．1-
B ．
12
C ．1
D ．2
9．已知实数,x y 满足26002x y x y x -+≥??
+≥??≤?
，若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，
则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,1]-
B ．[1,3]-
C ．[1,2]-
D ．[2,3]
10．已知x ，y 满足约束条件20531203x y x y y --≤??
--≥??≤?
，当目标函数z ax by =+（0a >，0b >）在该约束条件
下取得最小值1时，则
12
3a b
+的最小值为（ ） A
．4+
B
．4C
．3+D
．3
11．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车
皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．现有
A 种原
料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料的最大利润为（ ）万元． A ．108
B ．112
C ．116
D ．120
12．设实数x ，y 满足约束条件20
2502
x y x y y --≤??
+-≥??≤?
，则22x y u xy +=的取值范围是（ ）
A ．10[2,]3
B ．5[,2]3
C ．5[1,]3
D ．2[,1]3
二、填空题
13．已知实数x ，y 满足22222x y x y x y +≥??
-≤??+≤?
，若(0)z x my m =->的最大值为4，则(0)z x my m =->的
最小值为 ．
14．已知变量x ，y 满足240260
x y x x y -+≤??≥??+-≤?
，则1
3y z x +=-的取值范围是 ．
15．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨消耗一级子棉2吨、二级子棉1吨，生产乙种棉纱1吨消耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每吨甲种、乙种棉纱的利润分别是900元和600元，工厂在生产中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过270吨，且甲种棉纱的产量不能超过乙种棉纱的产量
60吨．在此条件下，生产甲、乙两种棉纱可以获得的最大利润为 元．
16．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁祝，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、 卦摊、中医、气功、武术到南韩国、新加坡空军机徽……太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区
域可用不等式组()()2222
22401111x y x x y x y ?+≤??≤+-≤??++≥??
或来表示，设(,)x y 是阴影部分中任意一点，则2z x y =+的最大
值为 ．
例1：【答案】18
【解析】由约束条件
20
30
230
x
x y
x y
+≥
?
?
-+≥
?
?+-≤
?
，作出可行域如图，
(0,3)
A，化目标函数6
z x y
=+为
66
x z
y=-+，
由图可知，当直线
66
x z
y=-+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为18．例2：【答案】A
【解析】作出约束条件
22
2
20
x y
y x
x
+≥
?
?
-≤
?
?-≤
?
所表示的的可行域如图：
2
y
x+
表示区域内的点与点(2,0)
-连线的斜率，
联立方程组
2
22
x
x y
=
?
?
+=
?
，可解得(2,2)
B-，同理可得(2,4)
A，
当直线经过点B时，斜率取最小值：21
222
-
=-
+
；
培优点九线性规划答案
当直线经过点A 时，斜率取最大值4
122=+，
则
2
y
x +的取值范围是1[,1]2-，故选A ．
例3：【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
则(2,0)A ，(1,1)B ，若z ax y =+过
A 时取得最大值为4，则24a =，解得2a =，
此时，目标函数为2z x y =+，即2y x z =-+，
平移直线2y x z =-+，当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件， 若z ax y =+过B 时取得最大值为4，则14a +=，解得3a =， 此时，目标函数为3z x y =+，即3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，
当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为6，不满足条件，故2a =，故选B ． 例4：【答案】216000
【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，
那么 1.50.5150
0.3905360000
x y x y x y x y +≤??+≤??
+≤??≥?≥??，①
目标函数2100900z x y =+，二元一次不等式组①等价于3300
1039005360000
x y x y x y x y +≤??+≤??
+≤??≥?≥??，②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域．
将2100900z x y =+变形，得73900z y x =-+，平移直线7
3
y x =-， 当直线73900
z
y x =-
+经过点M 时，z 取得最大值， 解方程组103900
53600x y x y +=??+=?
，得M 的坐标(60,100)，
所以当60x =，100y =时，max 210060900100216000z =?+?=元．
一、选择题 1．【答案】D
【解析】令2z x y =+，画出10
304x y x y y -+≤??
+-≥??≤?
表示的可行域，
由可行域知，目标函数过点A 时取最大值，
由10
4
x y y -+=??
=?，可得3x =，4y =，可得(3,4)A 时，z 的最大值为10．
∴要使2x y a +≤恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可， ∴a 的取值范围为10a ≥．故选D ． 2．【答案】D
【解析】由约束条件0
2010x x y kx y ≥??
-≤??-+≥?
作出可行域如图，
直线10kx y -+=过定点(0,1)B ，
∵不等式组02010x x y kx y ≥??
-≤??-+≥?
表示的平面区域是一个直角三角形，
∴当0k =时，平面区域为直角三角形OBC 及其内部区域；
当1
2
k =-时，平面区域为直角三角形OAB 及其内部区域．
∴k 的值应为0或1
2
-，故选D ．
3．【答案】B
【解析】x ，y 满足1x y ≤≤，表示的可行域如图，
2222
2(1)1
x y x x y
++=++-它的几何意义是可行域内的点与点(1,0)
-的距离的平方减去1．显然点(1,0)
-到直线0
x y+==，
∴222
min
1
(2)(1
22
x y x
++=-=-．故选B．
4．【答案】C
【解析】由
10
30
y
x y
x y
≥
?
?
-+≥
?
?+-≤
?
根据题意画出对应的平面区域如图，
ABC
△区域为满足不等式组的所有点的集合，
设3
m x y
=-，11
33
y x m
=-．
当直线11
33
y x m
=-过点(1,2)
B时，m取最小值，且
min
165
m=-=-；
当直线11
33
y x m
=-过点(3,0)
A时，m取最大值，且
max
303
m=-=；
∴[5,3]
m∈-，则
max
5
z=，故选C．
5．【答案】B
【解析】如图，先作出点(,)
P x y所在的平面区域：
22(1)x y ++表示动点P 到定点(0,1)Q -距离的平方，
当点P 在(1,0)-时，2
2PQ =，而点Q 到直线210x y -+=的距离的平方为
9
25
<， ∴22
(1)x y ++的最小值为
95
； 当点P 在(0,2)时，离Q 最远，2
9PQ =，∴2
2
(1)x y ++的最大值为9．故选B ．
6．【答案】C
【解析】令y x n -=，1x m +=，则1x m =-，1y m n =+-，
代入22022010x y x y x y --≤??-+≥??+-≥?，得30
230230m n m n m n --≤??
+-≤??+-≥?
，作出可行域如图，
1y x s x -=
+化为n
s m
=． 分别联立方程组30230m n m n --=??+-=?，230230
m n m n +-=??+-=?，解得(2,1)A -，(1,1)C ．
∴n
s m
=
的范围为1[,1]2-．故选C ．
7．【答案】C
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，
目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距，
由图可知目标函数在点A 处取得最大值．由20
1
x y x -+=??=-?，点(1,1)A -，
所以max 4(1)15z =-?-+=，故选C ． 8．【答案】C
【解析】由已知条件作出可行域如图所示，其中(1,)A a a --，1
(,)2
a B a +，(0,1)C -， 目标函数3z x y =-可化为3y x z =-， 当直线过点B 时z 最大，所以
3(1)
22
a a +-=，解得1a =，故选C ．
9．【答案】C
【解析】画出可行域如下图所示，
依题意可知，目标函数在点(2,10)A 取得最大值，在点(2,2)B -取得最小值． 由图可知，当0m ≥时，[0,2]m ∈；当0m <时，[1,0)m ∈-， ∴实数m 的取值范围是[1,2]-，故选C ． 10．【答案】C
【解析】如下图，画出可行域，
目标函数的斜率为0a
k b
=-
<， ∴当目标函数过点(3,1)A 时函数取得最小值，即31a b +=，
那么
12126()(3)333333b a a b a b a b a b +=++=++≥+=+ 等号成立的条件为63b a
a b
=．故选C ． 11．【答案】B
【解析】设x ，y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数，利润为z 万元．
由已知x ，y 满足452008536031030000
x y x y x y x y +≤??+≤??
+≤??≥?≥??，该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分．
目标函数23z x y =+是斜率为23-
，随z 变化的一束平行直线，3
z
为直线在y 轴上的截距， 当3
z
取最大值时，z 的值最大．
又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线23z x y =+经过可行域中的点M 时， 截距3
z 的值最大，即z 的值最大，
解方程组45200
310300
x y x y +=??+=?，得点M 的坐标为(20,24)M ，
∴max 220324112z =?+?=，故选B ． 12．【答案】A
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图：
则0x >，0y >，22x y y x
u xy x y
+=
=+， 设y
t x
=，则1u t t =+，由图象可知直线y tx =经过点(1,2)A 时，斜率t 取得最大值2；
经过点(3,1)B 时，斜率t 取得最小值13
．∴
1
23
t ≤≤． 211u t '=-
，当0u '≥时，[1,2]t ∈；当0
u '≤时，1
[,1]3t ∈， ∴1u t t
=+在1[,1]3
上单调递减，在[1,2]上单调递增，可得110
[2,]3
u t t
=+∈．故选A ．
二、填空题 13．【答案】6-
【解析】作出可行域如图，
目标函数化简得：1z
y x m m
=
-， ∵0m >，故只可能在,A B 处取最大值． 联立220
220
x y x y +-=??
--=?，解得(2,2)B --，
联立220
20x y x y +-=??
+-=?
，解得(0,2)C ，
联立20220
x y x y +-=??--=?，解得(2,0)A ，
若目标函数(0)z x my m =->过点A 时，2z =不符合题意， ∴过B 时取得最大值，此时422m =-+，解得3m =，
3z x y =-过点C 时，min 6z =-．
14．【答案】[13,4]
--
【解析】由变量x，y满足
240
2
60
x y
x
x y
-+≤
?
?
≥
?
?+-≤
?
，作出可行域如图：
由
240
2
x y
x
-+=
?
?
=
?
，解得(2,3)
A；由
240
60
x y
x y
-+=
?
?
+-=
?
，解得810
(,)
33
B，
1
3
y
z
x +
=
-的几何意义为可行域内动点与定点(3,1)
D-连线的斜率．
∵
31
4
23
DA
k
+
==-
-
，
10
1
313
8
3
3
DB
k
+
==-
-
，∴
1
3
y
z
x
+
=
-
的取值范围是[13,4]
--．
15．【答案】147000
【解析】设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，
则有
2300
2270
60
0,0
x y
x y
x y
x y
+≤
?
?+≤
?
?
-≤
?
?≥≥
?
，目标函数为900600
z x y
=+．作出不等式组所表示的可行域，
把900600z x y =+变形为32600z y x =-
+，其中600
z 是这条直线在y 轴上的截距， 当直线900600z x y =+经过可行域上A 点时，截距600
z
最大，即z 最大．
解方程组2300
2270
x y x y +=??+=?，得A 的坐标为110x =，80y =，
∴max 900600147000z x y =+=． 16．
【答案】1+
【解析】如图，作出直线:20l x y +=，
当直线l 往上平移至与阴影部分的圆2
2
(1)1x y +-=的边界相切时，z 最大，
此时圆心(0,1)到直线2x y z +=的距离等于半径1，
1=
，解得1z =+