中北大学概率统计习题册第四章完整答案

1. 填空

1）设~(,)X B n p ,则EX =np ，DX =

npq 。

2）设~()X P λ,则EX =λ，DX =λ。 3）设~()X E λ,则EX =

1

λ，DX =21λ。

4）设[]~,X U a b ,则EX =

2

a b +，DX =

()

2

12

b a -。

5)设2

~(,)X N μσ,则EX =

μ，DX =2σ。

6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)X Y N ,则EX =1，

DX = 1 ，EY = 2，DY = 9 ，

(,)Cov X Y = 。

7）已知螺钉的重量服从()250, 2.5N ，则100个螺钉总重量服从分布()5000,

625N 。

2. 已知在一定工序下，生产某种产品的次品率。今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。 解：设X 表示5000件产品中的次品数，则

()~5000,0.001X B 。50000.0015λ=?=，

则 ()()()2100P X P X P X ≥=-=-=

50004999

10.99950000.0010.999=--??

01

55

5510!1!

e e --≈-

-10.006740.033690.95957=--= 注：实际上

5000499910.99950.9990.95964--?=

3. 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为。

解：设进货数件数为N ，当月销售需求为X ，则由题意知()~7X P ，且

{}7

07e 0.999!

k N

k P X N k -=≤=≥∑

查泊松分布的数值表，可得16N ≥. 4 . 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。

解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为X ；其数学期望和 分别

为()~[0,5]X U ，52EX =

；25

12

DX =。 5.设(

){}3.02010,,10~2

=<

求：(1) (10)P X <；

解：

()1010(10)00.5P X σ-??

<=Φ=Φ= ???

；

(2) )100(<

20101010σσ--????

=Φ-Φ ? ?????

100.5σ??

=Φ- ???

=

得 100.8σ??

Φ=

???

所以()10(010)0P X σ??

<<=Φ-Φ-

???

100.510.3σ??

=-+Φ= ???

(3) (0)P X <。

(0)P X <=101010.2σσ????

=Φ-=-Φ= ? ?????

注：直接由()f x 关于x=10对称，也可求得相

关结果。

6.设随机变量2~(1,3)X N ，2

~(0,4)Y N ，

31Z X Y =--

（1）若X 与Y 相互独立，试求,EZ DZ 与

XZ ρ；

解：1,()0,EX E Y ==()9,D X =()16D Y =,

X 与Y 相互独立 ()3112E Z ∴=?-=

()9()()97D Z D X D Y =+= (,)(,31)Cov X Y Cov X X Y =-- 3()(,)27D X Cov X Y =-=

,X Z ρ=

（2） 若XY ρ=，求(,)Cov X Y ，,EZ DZ 。 解：(,)340.2 2.4Cov X Y =??= ()3112E Z =?-=

()9()()2(3,)D Z D X D Y Cov X Y =+-

9()()6(,)D X D Y Cov X Y =+- 82.6=

7．若2

~(,)X N μσ，求证：

)1,0(~N X σ

μ

-。

证明：由2

,EX DX μσ==得

0X EX E μμσσ--??=

= ??? 21X DX

D μσσ

-??== ??? 由于正态分布的线性函数仍服从正态分布，所以

)1,0(~N X σ

μ

-。

证法2：由2

~(,)X N μσ得X 的概率密度函数为(

)()22

2x X f x μσ--

=

，再由x y μ

σ

-=

得()x h y y μσ==+，从而有X Y μ

σ

-=

的

概率密度函数为

()()()Y X f y h y f y μσ'=+

(

)2

2

2

22y y μσμσσ

+--

-==

即()~0,1Y N 。

8.某种电池的寿命X 服从正态分布

2(,)N a σ，其中a =300（小时）,σ=35

求：(1)电池寿命在250小时以上的概率； (2)x 至少为多少才能使寿命X 在x

a -与x a +之间的概率不小于。 解：（1）250300(250)135P X -??

>=-Φ ???

101010.923477????

=-Φ-=Φ≈ ? ?????

(2)()3535x x P a x X a x ????

-<<+=Φ-Φ- ? ?

????

210.9,35x ??

=Φ-≥ ???则

()0.95 1.64535x ??

Φ≥=Φ ??? 解得x ≥

9. 假设随机变量X 服从参数为2的指数分

布，证明：X

e Y 21--=在区间[]10,上服从均

匀分布。

证明：X 的概率密度函数为

()22e 0

x

X x f x x -?>=?

()0,x ∈+∞时()0,1y ∈；又由21e x y -=-得

()()1

ln 12

x y h y =--@，所以，随机变量

21e X Y -=-的概率密度函数为 ()()()()01

0X Y f h y h y y f y ?'<

??

其它 ()()

11ln 1012210X f y y y ???--<

?-=?????

其它 ()()ln 11

2e 01210y y y -?<

??

其它 101

0y <

?

＝其它 即21e

X

Y -=-在区间[]10,上服从均匀分布。

10.设二维随机变量(,X Y )在区域

01,03x y ≤≤≤≤内服从均匀分布，

求：（1）联合密度函数(,)f x y ；

解：区域01,03x y ≤≤≤≤的面积为3，所以(,X Y )的联合概率密度函数为

()1

01,03,3

0x y f x y ?≤≤≤≤?

=???

其他 （2）()P X Y <；

解：()P X Y <=1

3

1536

x dx dy =?

?

(3) 记01X Y U X Y

≥?，0212X Y V X Y

求(,)U V 的联合分布律及U V +的分布律。

解：5(0,0)()6

P U V P X Y ===<=

(0,1)(,2)0P U V P X Y X Y ===<>=

(1,0)(2)P U V P Y X Y ===≤<

=

1

0211312x

x dx dy =??

1

(1,1)(2)12

P U V P X Y ===≥=

11(单位：Kg)服从(60,4)N ，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000Kg 的概率不大于。 设最多装n 袋水泥

解：令i X 表

示第i 袋水泥的重量，则

~(60,4)i X N ，且相互独立()1,2,,i n =

L

1

(60,4)n

i i Y X N n n ==∑:

{2000}1{2000}P Y

P Y >=-≤

10.05=-Φ≤

()0.95 1.645Φ≥=Φ 1.65≥33.0182n ?≤

所以最多装33袋水泥。