解直角三角形的应用题型
解直角三角形的应用题型
直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。下面列举一些常见的直角三角形应用题型。
1. 求斜边长
已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。
例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。
解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。
2. 求角度
已知直角三角形两个角度，求第三个角度。由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。
例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。
解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。
3. 求高
已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。
例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。
解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。
4. 求面积
已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。
例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。
解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。
以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。
整理解直角三角形的应用经典题型
解直角三角形应用经典 【例1】：为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度． 练习1、如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高（精确到0.1）． （参考数据：414 .12≈ 732.13≈） 练习2、2009年首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图， 有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米） （参考数据：, 75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈?≈?≈?73.13≈） B A C
【例2】：在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处 有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经 过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83的C处． （1）求该轮船航行的速度； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由． 练习：如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装 天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于 C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长. 【例3】：如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAD=ο 60,坡长AB=m 3 20,为加强水坝强度,将 坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡的坡角∠F=ο 45,求AF的长度(结果精确到1米,参考数据: 414 .1 2≈,732 .1 3≈). N M 东 北 B C A l
解直角三角形典型应用20例子
解直角三角形.典型应用题20例 1.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为30°,测得岸边点 D 的俯角为45°，又知河宽 CD 为50m .现需从山顶 A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆 绳AC ,求 山的高度及缆绳 AC 的长（答案可带根号）? 2?已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以 每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔 M 在北偏西45°,问该货轮 继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少 ？（精确到0.1海里，J 3止1.732） 3.已知：如图，在两面墙之间有一个底端在 端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 45°.点D 到地面的垂直距离 DE =3J2m ，求点B 到地面的垂直距离 BC ? 4.已知：如图，小明准备测量学校旗杆 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上， 上的影长CD = 8m ,太阳光线AD 与水平地 面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐 角为30°,求旗杆 AB 的高度（精确到1m ） ? A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶 D 点.已知/ BAC = 60°,/ DAE = AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆 AB 测得水平地面上的影长 BC = 20m ,斜坡坡面 北 A
5.已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚 一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ,如果在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为60°.求山高CD （精确到0.01米）. 5.已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一 根2m 长 的竹竿，测得竹竿影长为 1m ,他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的 长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为 2m .问路灯高度为多少米 ？ 运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了 500 30°方向走了 500m ，到达目的地 C 点.求 III A 沿坡角为30°的山坡A B 行走400m ，到达 6.已知：如图，在一次越野比赛中, 到达B 点，然后再沿北偏西 北 n
解直角三角形的应用题型
解直角三角形的应用题型 直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。下面列举一些常见的直角三角形应用题型。 1. 求斜边长 已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。 例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。 解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。 2. 求角度 已知直角三角形两个角度，求第三个角度。由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。 例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。 解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。 3. 求高
已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。 例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。 解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。 4. 求面积 已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。 例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。 解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。 以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。
解直角三角形经典题型应用题
解直角三角形经典题型应用题 1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板，如果他离地面的水平距离是3米，那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少？ 解：设起跳点距离木板底部的高度为x，则根据勾股定理，得到： $x^2 + 3^2 = 2^2$ 化简得： $x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$ 由于x是高度，因此应该为正数。但是由于方程无解，因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。这个结果告诉我们，如果要跨越一个木板，距离不能太远，否则就无法起跳！ 2. 一个人看到一个高楼，测得距离为50米，角度为30度，那么这个高楼的高度是多少？ 解：设高楼的高度为h，根据三角函数，得到： $tan(30) = \frac{h}{50}$ 化简得： $h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx
28.87$ 因此，这个高楼的高度约为28.87米。 3. 一个人站在一座桥上，看到一条河流在他的正下方流过，测得桥与河面的垂直距离为20米，角度为45度，那么河宽是多少？ 解：设河宽为w，根据三角函数，得到： $tan(45) = \frac{w}{20}$ 化简得： $w = 20\times tan(45) = 20$ 因此，河宽为20米。 4. 在一个矩形田地中，角A的顶点和角B的底点均在田地边界上，角A的角度为30度，角B的角度为60度，且田地的长宽比为3:2，那么田地的面积是多少？ 解：假设田地的长为3x，宽为2x，则田地的面积为6x²。又根据三角函数，得到： $tan(30) = \frac{3x}{y}$ $tan(60) = \frac{2x}{y}$
初中数学解直角三角形的应用题型大全
第12关 解直角三角形的应用（讲义部分） 知识点1 坡角、坡度 题型1 坡角、坡度 【例1】如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，求AC 的长度． 【解答】解：过点B 作BD AC ⊥于D ， 根据题意得：23060()AD cm =?=，18354()BD cm =?=， Q 斜坡BC 的坡度1:5i =， :1:5BD CD ∴=， 5554270()CD BD cm ∴==?=， 27060210()AC CD AD cm ∴=-=-=． AC ∴的长度是210cm ． 答：AC 的长度为210cm ． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题，难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数 形结合思想的应用与辅助线的作法． 【例2】在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m 长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横 截面为等腰梯形，如图，//AD BC ，坝高10m ，迎水坡面AB 的坡度5 3 i = ，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行 修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度5 6 i =． （1）求原方案中此大坝迎水坡AB 的长（结果保留根号）； （2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽2.7m ，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米？
【解答】解：（1）过点B 作BF AD ⊥于F ． 在Rt ABF ?中，5 3 BF i AF = =Q ，且10BF m =． 6AF m ∴=，AB =． 答：此大坝迎水坡AB 的长是； （2）过点E 作EG AD ⊥于G ． 在Rt AEG ?中，Q 5 6 EG i AG ==，且10EG BF m == 12AG m ∴=， 6AF m =Q ， 6BE GF AG AF m ∴==-=， 如图，延长EC 至点M ，AD 至点N ，连接MN ， Q 方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．ABE CMND S S ?=梯形， ∴11 ()22 BE EG MC ND EG = +g g g 即BE MC ND =+． 6 2. 7 3.3()DN BE MC m =-=-=． 答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3m ． 【点评】本题考查直角三角形应用，（1）过点B 作BF AD ⊥于F ，在直角三角形ABF 中从而 解得AF ，AB 的长度；（2）作辅助线，由ABE CMND S S ?=梯形，解方程组得到ND ． 【例3】如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面AC 的倾斜角45CAB ∠=?，在距A 点10米处有一建筑物HQ ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角30BDC ∠=?，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下HD 长的人行道，问人行道HD 的长度是( )米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据： 1.414≈ 1.732)≈ A ．2.7 B ．3.4 C ．2.5 D ．3.1 【解答】解：根据题意可知： 90CBA ∠=?，45CAB ∠=?， 45ACB ∴∠=?， 10AB CB ∴==， 10AH =， 设DH x =，则10AD AH DH x =-=-，
(整理)解直角三角形的应用经典题型
1 解直角三角形应用经典 【例1】：为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度． 练习1、如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高（精确到0.1）．（参考数据：414.12≈ 732.13≈） 练习2、2009年首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图， 有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米） （参考数据：, 75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈?≈?≈?73.13≈）
2 【例2】： 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距的C 处． （1）求该轮船航行的速度； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由． 练习：如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长. 【例3】：如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). 东 l
解直角三角形的应用经典题型
A B E F Q P 解直角三角形 1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米） 2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). 3．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两 棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米． （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）； （2）若这段斜坡用厚度为17c m 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶? 4． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正 好行至码头MN 靠岸？请说明理由． 5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度； （2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明 理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈ 1.73，5≈ 2.24 ，6≈2.45) 第5题 东 l (2题图) （第3题） 图1
2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用(常考类型)(附答案)
2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用（常考类型）一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题 1．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01）【sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158】 2．为了增强体质，小明计划晚间骑自行车调练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC长为米，求该夜行灯距离地面的高度AN的长． （参考数据：） 3．太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最佳．如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光与玻璃吸热管垂直）．已知：支架CF＝100cm，CD＝20cm，FE⊥AD于E，若θ＝37°，求EF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
4．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90） 5．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号） 6．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号） 7．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需
解直角三角形应用题
解直角三角形应用题 直角三角形是日常生活中常见的一种三角形，因为其特定的角度关系，使得对其进行一系列数学运算以及技术应用都显得方便和便捷。在学习和应用直角三角形的过程中，解决一些应用题也是非常有必要的。本文将详细介绍一些解直角三角形应用题的重要方法与技巧。 一、三边比例与角度多少 在某些情况下，通过已知直角三角形的三边比例，可以推算出其内部的角度关系。如下所示，已知直角三角形的三边比例，求其内部所有角度的大小。 根据直角三角形的定义，可以知道斜边上对应的角度是直角，那么只需要求出其余两个角度就可以了。设三边长度分别为a，b，c，设两个内角为A，B，那么根据三角函数的定义可以得到下列方程组： sin A = a / c cos A = b / c tan A = a / b 通过这些公式，可以得到角A和角B的大小。当然，如果只有两个角度是已知的，也可以借助三角函数式子求得第三个角度。 二、三角形上一点对角度的影响 已知直角三角形ABC中，C为直角，AB=c，已知点D在斜边AC上，且满足AD=BC，求角度B和角度C的大小。这就是典型的直角三角形应用题。 首先，因为AD和BC长度相等，那么可知三角形ACD和三角形BCD的面积相等，根据三角形面积公式得到： AD×CD/2 = BC×CD/2
AD = BC×CD/AC 将已知数据代入，化简得到： CD=2AC/(1+√5) 接着，根据对应角的两点组合定理可得到如下关系式： tan B = BD/AB = AD/AB sin C = BD/BC = AD/AC 代入已知的数据，得到： tan B = (2AC / (1+√5)) / c sin C = (2AC / (1+√5)) / √(AC^2 + c^2) 通过这些方程，可以计算出角B和角C的大小。 三、海伦公式 海伦公式（Heron's formula）是解任意形状三角形面积的重要公式之一。对于任意形状的三角形，海伦公式的表述如下所示： S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) 其中，S表示三角形的面积，a，b，c表示三角形的三边长度，p则表示三角形半周长，即： p = (a+b+c)/2 在求解直角三角形的面积时，可以运用海伦公式。已知直角三角形的两个直角边的长度a和b，求斜边c。由勾股定理可得： c = √(a^2 + b^2) 代入海伦公式中，可以得到：
解直角三角形及其应用精选题
解直角三角形及其应用精选题 一．选择题 1．（2022秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°．若sinA=2 3 ，BC＝4，则AB的长为（） A．2B．2√5C．2√13D．6 2．（2022秋•南关区校级期末）已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则sinα的值是（） A．√5 5B．√5 2 C．2√5 5 D．1 2 3．（2022春•碑林区校级期中）如图，△ABC中，CD⊥AB，E为BC边的中点，AB＝4，AC ＝2，DE=√3，则∠ACD与∠ABC的大小关系是（） A．∠ACD＞∠ABC B．∠ACD＝∠ABC C．∠ACD＜∠ABC D．无法判断4．（2021秋•惠安县期末）如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（） A．1B．√2 2C．√3 2 D．2 3 5．（2021秋•拱墅区期末）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，设OP 与x轴正半轴所夹的锐角为α，则锐角α的正弦值为（）
A．3 5B．4 5 C．3 4 D．4 3 6．（2022•东莞市一模）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（） A．√2 3B．√10 5 C．√5 10 D．√5 5 7．（2022秋•南关区校级期末）如图，一块矩形薄木板ABCD斜靠在墙角MON处（OM⊥ON，点A，B，C，D，O，M，N在同一平面内），已知AB＝m，AD＝n，∠ADO＝α．则点B到ON的距离等于（） A．m•cosα+n•cosαB．m•sinα+n•cosα C．m•cosα+n•sinαD．m•sinα+n•sinα 8．（2022•鹿城区校级三模）铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为α，则栏杆末端上升的垂直距离CE 的长为（）
解直角三角形典型应用
1．如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：， ，结果保留整数．） 2．小明和同学去公园游玩，他们在一个平台上看见一个移动通信的信号转播铁塔，他们决定尝试着测量这个铁塔的高度，于是，小明来到平台的边缘的C处，测得仰角为45°，他们沿着台阶往下走，来到第二个平台的E处，测得仰角为30°，（其中，点A、C、D、E在同一平面上）小明和同学发现台阶共10级，每阶高20厘米，每阶宽30厘米，另测得E点到台阶的边缘D处距离为8米，请你利用上述数据求出铁塔AB的高度．（≈1.7 结果精确到1米） 3．一艘船以每小时30海里的速度向东北方向航行，在A处观测灯塔S在船的北偏东75°的方向，航行12分钟后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向．已知距离此灯塔8海里以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿东北方向航行吗？为什么？（参考数据：≈1.41，≈1.73） 4.在湖边高出水面50m的山顶A处，望见一架直升 机停留湖上空某，观察到直升机底部标志P仰角为45°，又观察其湖中之像P′俯角为60°，试求直升机离湖面的高度h（观察时湖于平静状态）．
5在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20 分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距 km的C处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行 至码头MN靠岸？请说明理由． 6．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75） 7.（1）如图①，若BC=6，AC=4，∠C=60°，求△ABC的面积S△ABC； （2）如图②，若BC=a，AC=b，∠C=α，求△ABC的面积S△ABC； （3）如图③，四边形ABCD，AC=m，BD=n，对角线AC交于O点，他们所成锐角为β，求四边形ABCD的面积S四边形ABCD． 8．小华同学学习了第二十五章《锐角三角比》后，对求三角形的面积方法进行了研究，得到了新的结论： （1）如图1，已知锐角△ABC．求证：； （2）根据题（1）得到的信息，请完成下题：如图2，在等 腰△ABC中，AB=AC=12厘米，点P从A点出发，沿着边 AB移动，点Q从C点出发沿着边CA移动，点Q的速度是 1厘米/秒，点P的速度是点Q速度的2倍，若它们同时出发， 设移动时间为t秒， 问：当t为何值时，？
解直角三角形的应用经典题型
2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡 角∠BAD=ο 60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F=ο45,求AF 的长度(结果精确到1米, 参考数据: 414.12≈,732.13≈). 3． 棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =米，斜坡总长DE =85（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）； （2）若这段斜坡用厚度为17cm 4． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距的C 处． (2题图) （第3题） D
A B E F Q P （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正 好行至码头MN 靠岸请说明理由． 5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹 角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度； （2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到米，参考数据：≈，≈，≈，≈ 第5题 6． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠ BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由； （2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到）．（参考数据：3≈，sin74°≈， cos74°≈，tan74°≈，sin76°≈，cos76°≈） 7．图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB 与地面EH 平行，测得A 点到楼顶D 点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE 、BF 、CH 都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH 的长． 8．在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用 1. 建设中的昆石高速公路，在某施工段上沿AC 方向开山修路，为加快施工速度，要在山 坡的另一边同时施工，如图所示，从AC 上的一点B 取∠ABD=150•°，BD=380米，∠ D=60°，那么开挖点离D 多远，正好使A 、C 、E 成一直线． 2. 如图，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C•点的仰角为45°，从地面B 测得仰角为60°，已知AB=20米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，•求气球离地面的高 度．3. 如图，甲、乙两栋高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的 仰角α为30°，测得乙楼底部B 点的俯角β为60°，求甲、乙两栋高楼各有多高？（计算 过程和结果都不取近似值） 4．某海岛四周18海里内有暗礁，一货轮由西向东航行，见此岛在北偏东60°，行 4033 海里后，见此岛在北偏东30°，货轮沿原方向继续航行，有无触礁危险？
N P A Q M 5. 公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠=︒ QPN30，点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机以3.6km/h的速度在公路MN上沿PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？ 6. 如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60º的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。（1）问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？ 7. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到01.︒）（如图4） 参考数据： 3322 .0 6. 70 cos 9432 .0 6. 70 sin 3681 .0 4. 68 cos 9298 .0 4. 68 sin 3846 .0 4. 67 cos 9231 .0 4. 67 sin 3939 .0 8. 66 cos 9191 .0 8. 66 sin ≈ ︒ ≈ ︒ ≈ ︒ ≈ ︒ ≈ ︒ ≈ ︒ ≈ ︒ ≈ ︒ ， ， ， ， 60º F B A
解直角三角形应用题类型大全
P B A 图10 北 东 N M 解直角三角形练习 班级 姓名 1．我国为了维护队钓鱼岛P 的主权,决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP ∥BD ）,当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时,飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC=5km ．轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）． 2. (2013•湘西州）钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A 处时,测得钓鱼岛C 在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B 处，发现此时钓鱼岛C 与该船距离最短． （1）请在图中作出该船在点B 处的位置; （2)求钓鱼岛C 到B 处距离（结果保留根号） 3.（2013•红河）如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB ,在地面D 处测得塔尖的仰角60ADC ∠=，塔底的仰角45BDC ∠=,点D 距塔AB 的距 离DC 为100米,求手机信号中转塔AB 的高度(结果保留根号）． 4。如图10, 在东西方向的海岸线MN 上有A 、B 两艘船，均收到已触礁搁浅的船P 的求救信号，已知船P 在船A 的北偏东60°方向，船P 在船B 的北偏西45°方向，AP 的距离为30海里. （1） 求船P 到海岸线MN 的距离（精确到0。1海里）； （2） 若船A 、船B 分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时 出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P 处. 5.（2013•绥化)如图,在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC 的长． B A C D 6045
解直角三角形应用题
1 / 3 解直角三角形的应用 一、仰角、俯角、方向角： 1．在离地高为30米的高楼窗台处测得地面花坛中心标志物的俯角为60°,那么这一标志物离高楼的距离为米． 2．如果在距离某一大楼100米的地面上,测得这幢大楼顶的仰角为30°,那么这幢大楼高为米． 3．如果某飞机的飞行高度为m 千米,从飞机上看到地面控制点的俯角为α,那么此时飞机与地面控制点之间的距离是〔 〕． 〔A 〕 αsin m 〔B 〕α cos m 〔C 〕αtg ⋅m 〔D 〕αctg ⋅m 4．如图,飞机P 在目标A 的正上方1100m 处,飞行员测得地面目标B 的俯角30 α=,那么地面目标 B A 、之间的距离为 米〔结果保留根号〕． 5．如图,小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高,已知小明离树的距离为米,DE 为1.68米,那么这棵树大约有多高？〔精确到0.1米〕 6．如图,X 华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30,旗杆底部B 点的俯角为45． 若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离9BE =米,旗杆台阶高1米,则旗杆顶点A 离地面的高度为米〔结果保留根号〕 ． 7．海中有一个小岛P,它的周围18海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上,航行 12海里到达B 点,这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险？请说明理由． 8．如图,某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动,他们要在某公园人工湖旁的小山AB 上,测量湖中两个小岛C 、D 间的距离.从山顶A 处测得湖中小岛C 的俯角为60°,测得湖中小岛D 的俯角为45°.已知小山AB 的高为180米,求小岛C 、D 间的距离.〔计算过程和结果均不取近似值〕 9．汶川地震后,抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险,飞机在距地面450 米上空的P 点,测得A 村的俯角为30︒,B 村的俯角为60︒〔．如图7〕．求A 、B 两个村庄间的距离．〔结果精确到米,参考数据 2 1.414 3 1.732==，〕 10．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象,已知废墟一侧 地面上两探测点A 、B 相距3 米,探测线与地面的夹角分别是30°和 60°〔如图〕,试确定生命所在点 C 的深度．〔结果精确到0.1米,参考数据： 2 1.41, 3 1.73≈≈〕 11．如图8,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30 º,已知原滑滑板AB 的长为5米,点D 、B 、C 在同一水平地面上． 〔1〕改善后滑滑板会加长多少？〔精确到0．01〕 〔2〕若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米 长的空地,像这样改造是否可行？说明理由 <参考数据： 2 1.414, 3 1.732,6 2.449=== > 二 、坡角、坡度： A C B 30º 45º α B 〔第4题图〕
解直角三角形的应用经典题型
解直角三角形应用经典 1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12 2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡 角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米, 参考数据: 414.12≈,732.13≈). 3．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两 棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米． （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）； （2）若这段斜坡用厚度为17c m 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶? (2题图) 17cm （第3题） A B C F 参考数据 cos20°≈0.94， sin20°≈0.34， sin18°≈0.31， cos18°≈0.95 A B 12千 P C D G 60 图1
A B E F Q P 4． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正 好行至码头MN 靠岸？请说明理由． 5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传 送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度； （2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45) 第5题 6． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由； （2）求两个岛屿A 和B 之间的距离. N M 东 北 B C A l
2022年中考数学专题复习：解直角三角形的应用题 精选(word版、无答案)
解直角三角形应用分类中考试题精选 类型一俯仰角问题 1．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶点E的仰角为30°，AB=14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：≈1.73）
2.如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
3．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？ （2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
类型二方位角问题 4、在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A 相距km的C处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
解直角三角形在实际生活中应用
解直角三角形在实际生活中的应用 山东 李浩明 在现实生活中，有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测 量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利 用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决 •下面举例说明，供大家参考. 一、航空问题 例1. （2008 年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去 A 、 B 两个村庄抢险， 飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30 ,B 村的俯角为60 （如图1） •求 A 、 B 两个村庄间的距离.（结果精确到米，参考数据 .2 =1.414, 3 =1.732） 分析：要求 A 、B 两个村庄间的距离 ，由题意知 AB=PB ,在 Rt △ PBC 中，可求得 -PBC =60，又因为PC=450，所以可通过解直角三角形求得 PB. 解：根据题意得：• A = 30 , ■ PBC =60 ,所以.APB = 60 - 30 ,所以 /APB ^A 所以 AB=PB. 在 Rt BCP 中，.C =90 , ■ PBC =60 , PC=450，所以 所以 AB 二 PB 二 300、3 : 520（米） 答：A 、B 两个村庄间的距离为 520米. 二、测量问题 例2. （2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆 AB 10米的C 处, PB = 450 = 900 sin 60 ■=300 3
用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为40，已知测角仪器的高CD=1.5米，求旗杆AB的高（精 确到0.1米）• 分析：要求AB的高，由题意知可知CD=BE ,先在Rt△ ADE中求出AE的长，再利用 AB=BE +AE求出AB的长. AE 解：在Rt△ ADE 中，tan Z ADE =—— DE •/ DE = 10 , - ADE = 40 . ••• AE=DE tan ^ADE =10 tan 40 〜10 0.84=8.4. ••• AB=AE+EB=AE+DC= 8.4 1.5 =9.9. 答：旗杆AB的高为9.9米. 三、建桥问题 例4. （2008年河南）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC ,沿折线A T C T B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地.一直BC=11km , / A=45° , / B=37° .桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少 走多少路程？（结果精确到0.1km .参考数据：-.2 1.41 , sin37〜0.60 , cos37°~ 0.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行 四边形DCBG ,将两条路线路程之差转化为AD • DG - AG ,作高线DH，将△ ADG转化为两个直角三角形，先在在Rt△ DGH中求DH、GH，再在Rt△ ADH中求AD、AH,此题即可得解. 解：如图，过点D作DH _ AB于H , DG // CB交AB于G . 7 DC // AB ,.四边形DCBG为平行四边形.