北京首都师范大学附属中学2014高三上10月月考-数学(理)汇总
首都师大附中2014届高三上学期10月月考
理科数学试题2013.10.06
班级 学号 姓名 成绩
第I 卷（选择题 共40分）
一、本大题共 8 小题，每小题 5 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知非空集合A 、B 满足A B ≠?，下面命题一定正确的是 D
（A ）,x B x A ?∈∈ （B ）,x B x A ?∈? （C ）,x A x B ?∈∈ （D ）,x A x B ?∈∈ 2．“1a ≤-”是“函数()2f x ax =+在区间[1,2]-上有零点”的 A
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3．定积分22
(sin )x x dx
π-?
值为 C
（A ）
38
π （B ）3
1
8
π+
（C ）3
1
24
π- （D ）3
1
24
π
+
4. 已知函数
()
f x 是R
上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2,f x f x +=且[)0,2x ∈当时
，
()()
2log 1f x x =+，则
()()
20132014f f -+的
值为 （A ）2-
（B ）1- （C ）1
（D ）2 C
5．已知函数f (x )的定义域为[–2，+∞)，部分对应值如下表；f ′(x )为f (x )的导函数，函数y = f ′(x )的图象如下图所示．若实数a 满足f (2a + 1)＜1，则a 的取值范围是 （ A ）
（A ）
)2
3,23(- （B ）
13(,)22
- （C ）
3(0,)2
（D ）17
(,)22
6.
若满足条件60,C AB BC a =?==的ABC ?有两个，那么a 的取值范围是 C
(A)
(B)
(C)2) (D)(1,,2)
7．已知函数()cos()()f x A x x R ω?=+∈的图象的一部分如下图所示，其中
0,0,2
A π
ω?>><
，为了得到函数
()
f x 的图象，只要将函数
2
2
()2cos 2sin ()
22
x x
g x x R =-∈的图象上所有的点 C
(A)向右平移6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12
倍，纵坐标不变；上有定
义，若对任意x 1，x 2∈[a ,b ]，有
12121
()[()()]
22
x x f f x f x +≤+,则称()f x 在[a ,b ]上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ① ()f x 在[1,3]上的图像是连续不断的； ②
2()f x 在上具有性质P ；
③ 若()f x 在x =2处取得最大值1，则()f x =1，x ∈[1,3]； ④ 任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，有
123412341()[()()()()]
44
x x x x f f x f x f x f x +++≤+++. 其中真命题的序号是（ D ）
A. ①②
B. ①③
C. ②④
D. ③④
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上. 9．已知函数()f x =3
2021(1)(1)6,lim 32x f x f x x x ?→+?--+=
?则 . 9【解】1
10. 曲线ln y x =过点(0,0)的切线方程为____________.
1y x
e
=
11. 已知tan =2α，则
3cos(2)
2πα+的值等于 . 45
12．函数
21x y x
=
-在(1,)x ∈+∞上的最大值为 .
【解】-4
13．已知0a >且1a ≠，函数???>+-≤=1
,1
,)(x a x x a x f x 若函数()f x 在区间[O ，2]上的最大值
比最小值大
25
，则a 的值为______12或72
14． 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下
列函数：
（1）
1()sin cos f x x x
=+； （2）2()f x x =+； （3）3()sin f x x
=；
（4）
4()cos )
f x x x =+；（5）
5()2cos (sin cos )
222
x x x f x =+.
其中“互为生成”函数有 .（把所有可能的函数的序号都填上）
答案：（1）（2）（5）
三、解答题：本大题共 6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）
已知函数32211()(1)()
32
f x x x x a x x =-++--()a ∈R ．
（Ⅰ）若1x =是()f x 的极小值点，求实数a 的取值范围及函数()f x 的极值；
（Ⅱ）当1a ≥时，求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值。 解：2'()(1)(1)(1)(1)()f x x a x x x a =-+--=--
（Ⅱ）
当=1a 时，函数()f x 在[0,2]上单调递增，最大值为
2(2)=
3
f ； 当1a >时，（1）若2a ≥，()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减.显然
max 11(1)26
y f a ==-
，
（2）若12a <<，()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,]a 上单调递减，在[,2]a 上单
调递增.
最大值可能为
112(1),(2)=,
263
f a f =-
1）
513
a ≤<
时，最大值为
2(2)=3f 2）5
2
3
a ≤<时，最大值为
11(1),
26
f a =- 综上所述：
513a <<时，最大值为2(2)=3f ；53
a ≥
时，最大值为
11(1),26f a =- (16)（13分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
cos 1B B -=，1=b ．
（Ⅰ）若
12
5π=
A ，求c ； （Ⅱ）若c a 2=，求△ABC 的面积．
解：（Ⅰ）由已知
1cos sin 3=-B B ，
整理得
2
1)6sin(=
π-B ． ………………2分
因为π<
所以
π<π-<π-6
566B .
故
66π=π-B ，解得3π=
B . ……………4分 由
512A π=，且π=++C B A ，得4
π=
C . 由
B
b C
c sin sin =，即3
sin 1
4sin π=πc ， 解得
3
6=
c . ………………7分
（Ⅱ）因为B ac c a b cos 2222-+=，又
3
2π=
=B c a ，，
所以
2
1442
2
2
2
?
-+=c c c b ，解得c b 3=. ………………10分
由此得222c b a +=，故△ABC 为直角三角形，
2π=A ，3
1=
c ．
其面积
6
321=
=bc S ． ………………13分 17．（本小题满分14分）
如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示． （Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ； （Ⅱ）证明：AM ∥平面PBC ；
（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为
4
3？若存在，找到
所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由．
【方法一】
（Ⅰ）证明：由俯视图可得，222BD BC CD +=，
所以 BD BC ⊥． ………………1分 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，
所以 PD BC ⊥， ………………3分
BD
PD D =
所
以
⊥
BC 平面
PBD ． ………………4分
（Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ PC =，连结MQ ，BQ ．
由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 MQ ∥CD ，
1
4
MQ CD
=．
在△BCD 中，易得60CDB ?∠=，所以 30ADB ?∠=．又 2=BD ，
所以1AB =，
AD =．
又因为 AB ∥CD ，
CD
AB 4
1
=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =． 所以四边形
ABQM
为平行四边形，所以
AM
∥
BQ ． ……………8分
因为 ?AM 平面PBC ，
BQ ?平面PBC ，
所
以
直
线
AM
∥平面
PBC ． ……………9分
（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为
4
3．
因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． 所以
)3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ．
设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． …………11分
所以
)3,0,3(-=，)0,1,3(--=t ．
要使AM 与BN 所成角的余弦值为
43，则有
||3
||||AM BN AM BN ?=
所以
43
)1(332|
3|2
=-+?t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ．
故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成
角
的
余
弦
值
为
4
3．
………………14分【方法
二】
（Ⅰ）证明：因为⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥
的空间直角坐标系xyz D -．
在△BCD 中，易得60CDB ?∠=，所以 30ADB ?∠=因为 2=BD ， 所以1AB =， AD = 由俯视图和左视图可得：
)4,0,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(P M C B A D ．
所以
)0,3,3(-=BC ，)0,1,3(=DB ．
因为 0001333=?+?+?-=?DB BC ，所以BD BC ⊥． ……………2分
又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ……………3分
BD
PD D =
所
以
⊥
BC 平面
PBD ． ……………4分
（Ⅱ）证明：设平面PBC 的法向量为=()x,y,z n ，则有
0,
0.
PC BC ??=???=??n n
因为 )0,3,3(-=BC ，)4,4,0(-=PC ，
所以
440,
30.
y z y -=???+=?? 取1=y ，得=n )1,1,3(．
……………
6分
因为 )3,0,3(-=AM ，
所
以
?=n 03101)3(3=?+?+-?． ……………8分
因为 ?AM 平面PBC ， 所
以
直
线
AM
∥平面
PBC ． ……………9分
（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为
4
3．
设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． 所以
)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．
要使AM 与BN 所成角的余弦值为
43，则有 43
|
|||=
?BN AM ，
所以
43
)1(332|
3|2
=-+?t ，解得0=t 或2，均适合40≤≤t ． ……………
13分
故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成
角
的
余
弦
值
为
4
3．
……………14分
18. （本题满分14分）
已知函数
()ln ,()(0)
a
f x x
g x a x
==>，设()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）求()F x 的单调区间；
（Ⅱ）若以()((0,3])y F x x =∈图象上任意一点00
(,)P x y 为切点的切线的斜率
12
k ≤
恒成
立，
求实数的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数
22()1
1
a
y g m x =+-+的图象与2(1)y f x =+的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由.
解.(Ⅰ) F
(ln )()()(>+=+=x x
a
x x g x f x
)
0(1)('22>-=-=x x
a
x x a x x F …………………2分
）上单调递增。在（由+∞∴+∞∈?>'>,)(),,(0)(,0a x F a x x F a 由）上单调递减在（a x F a x x F ,0)(),,0(0)(∴∈?<'.
）），单调递增区间为（的单调递减区间为（+∞∴,,0)(a a x F …………………4分 （Ⅱ）
恒成立
)30(21)(),30()(020
002≤<≤-='=≤<-='x x a x x F k x x a
x x F …………6分
min 020)21(x x a +-≥ 当2
12110200取得最大值
时，x x x +-=
2
1,21=
∴≥∴nmn a a …………………………………………8分
（Ⅲ）若
21211)1
2(22-
+=-++=m x m x a g y 的图象与 )1ln()1(22+=+=x x f y 的图象恰有四个不同交点，
即)1ln(2
121
2
2
+=-+x m x 有四个不同的根，亦即 2
121)1ln(22
+
-+=x x m 有四个不同的根. 令
2
121)1ln()(22
+
-+=x x x G ，
则
1
)1)(1(1212)(22
32+-+-=+--=-+='x x x x x x x x x x x x G .…………………10分
当x 变化时)().(x G x G '的变化情况如下表：
由表格知：
2ln )1()1()(,2
1
)0()(>=-====G G x G G x G 最大值最小值
.…………12分
)
2ln ,2
1
(∈m 时， 恰有四个不同的交点，
与m y x G y ==)( 的图象与
时，当21
211)12()2ln ,21(22-+=-++=∈∴m x m x a g y m 交点。的图象恰有四个不同的)1ln()1(22+=+=x x f y ………………14分
19. （本题满分14分）
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =0.5米.上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点.EMN ?是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（MN 和AB ,CD 不重合）. （Ⅰ）当MN 和AB 之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN 的通风面积； （Ⅱ）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S （平方米）表
示成关于x 的函数()S f x =； （Ⅲ）当MN 与AB 之间的距离为多少米
时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积.
解：（1）由题意，当MN 和AB 之间的距离为1米时，MN 应位于DC 上方，且此时EMN △中MN 边上的高为0.5米.
第19
又因为
1
12
EM EN DC ==
=
米，可得MN =米.
所以，
12EMN
S
MN h =?=平方米，
即三角通风窗EMN
平方米. …………………4分 （2）1如图（1）所示，当MN 在矩形区域滑动，即
10,2x ??∈ ???
时，
EMN ?的面积
111
()||222
S f x MN x x
??==??-=- ???；
…………………5分
2如图（2）所示，当MN 在半圆形区域滑动，即
13,22x ??∈ ???
时，
||MN =，故可得EMN ?的面积
11()||22S f x MN x ?
?==??- ?
?
?
11()22x =?
-12x ??=- ???；…………………7分
8分
（3）1当MN 在矩形区域滑动时，()f x 在区间
10,2?
? ???
上单调递减，
…………………9分
2当MN 在半圆形区域滑动时，
图（2
）
图（1）
22
11
()[1()] 11
22 ()(
222
x x
f x x
-+--=-=≤=
，
等号成立?
22
11
()1()
22
x x
-=--
，13
,
22
x
??
∈ ?
??
?113
1),
222
x
??
=∈ ?
??
因而当1
1)
2
x=+
（米）时，每个三角通风窗EMN得到最大通风面积，最大面积为max
1
2
S=
（平方米）.
…………………13分
20.已知集合{}
1,2,3,,2011,2012
S=，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素,()
x y x y
>，若x y
-都不能整除x y
+，则称集合A是S的“好子集”.
(Ⅰ)分别判断数集{}
2,4,6,8
P=与{}
1,4,7
Q=是否是集合S的“好子集”，并说明理由；(Ⅱ)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素,()
x y x y
>，都有3
x y
-≥；
(Ⅲ) 求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值.
20. 解：(Ⅰ)由于422
-=整除426
+=，所以集合P不是集合S的“好子集”；
由于413
-=不能整除415
+=，716
-=不能整除718
+=，743
-=不能整除7411
+=，所以集合Q是集合S的“好子集”.
(Ⅱ)（反证）首先，由于A是S“好子集”，所以1
x y
-≠，假设存在A中的任意两个不同的元素,()
x y x y
>，使得2
x y
-=，则x与y同为奇数或同为偶数，从而x y
+是偶数，此时，2
x y
-=能整除x y
+，与A是S“好子集”矛盾。
故若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素,()
x y x y
>，都有3
x y
-≥；
(Ⅲ)设集合{}
12312
,,,()
n n
A a a a a a a a
=<<<是集合S的一个“好子集”，
令：
1
(1,2,,1)
i i i
a a
b i n
+
-==-，
由(Ⅱ)知3(1,2,,1)
i
b i n
≥=-
于是：11213(1)n n a a b b b n --=++
+≥-
从而：1
3(1)201212011n n a a -≤-≤-= 所以：671n ≤
另一方面：取{}1,4,7,
,2008,2011A =(证明是好子集)，此时集合A 有671个元素，且是
集合S 的一个“好子集”，故集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值为671.