高等数学第一章函数与极限试题
第一章 函数与极限
§1 函数
一、是非判断题
1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ]
2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有
B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2
x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题
1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A ）||ln x e y = （B ）2x y =
（C ）44x y = （D ）x x y sgn =
2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。
（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是
（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2
x 4、若)(x f 为奇函数，则 也为奇函数。
(A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=)
1arctan(+x e
2、 y=x x x ++
3、 y=x ln ln ln
四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。
（1） f()2x
(2) f(sinx)
(3) f(x+a) (a>0)
(3) f(x+a)+f(x-a) (a>0)
五．设???=,,2)(x x x f 00≥ 5)(x x x g 0 0≥ 六．利用x x f sin )(=的图形作出下列函数的图形： 1．|)(|x f y = 2。|)(|x f y = 3．2)(+=x f y 4。)2(+=x f y 5．)(2x f y = 6。)2(x f y = §2 数列的极限 一 是非判断题 1、当n 充分大后，数列n x 与常数A 越来接近，则.lim A x n x =∞ → [ ] 2、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。 [ ] 3。如果对任意,0>ε存在正整数N ，使得当n>N 时总有无穷多个n x 满足|n x ε<-|a ， 则 .l i m a x n n =∞ → [ ] 4、如果对任意,0>ε数列n x 中只有有限项不满足|n x ε<-|a ，则.lim a x n n =∞ → [ ] 5、若数列n x 收敛，列n y 发散，则数列n n y x +发散。 [ ] 二．单项选择题 1、根据 a x n n =∞ →lim 的定义，对任给,0>ε存在正整数N ，使得对n>N 的一切x n ，不等式 ε<-a x n 都成立这里的N 。 （A ）是ε的函数N(ε)，且当ε减少时N （ε）增大； （ B ）是由ε所唯一确定的 （C ）与ε有关，但ε给定时N 并不唯一确定 （D ）是一个很大的常数，与ε无关。 2、?? ???=-为偶数当为奇数 当n n n x n ,10,1 7则 。 （A ）;0lim =∞ →n n x （B ）;10lim 7 -∞ →=n n x （C ）;,10, ,0lim 7 ? ??=-∞→为偶数为奇数n n x n n (D) 不存在n n x ∞→lim 3、数列有界是数列收敛的 。 （A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件。 4、下列数列n x 中，收敛的是 。 （A ）n n x n n 1) 1(--=（B ）1+=n n x n （C ）2 sin π n x n =（D ）n n n x )1(--= 三．根据数列极限的定义证明。 （1） 01lim 2=∞→n n （2） 3 21312lim =++∞→n n n （3）0sin lim =∞→n n n （4）21 )21(lim 222=+++∞→n n n n n 四、若0lim =∞ →n n x ，又数列n y 有界，则0lim =∞ →n n n y x 。 五、若a x n n =∞ →lim ，证明||||lim a x n n =∞ →。反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出 反例。 §3 函数的极限 一 是非判断题 1、如果)(0x f =5，但则,4)0()0(00=+=-x f x f )(lim 0 x f x x →不存在。 [ ] 2、)(lim x f x ∞ →存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞ →和)(lim x f x -∞ →都存在。 [ ] 3、如果对某个,0>ε存在,0>δ使得当0<δ<-||0x x 时，有,|)(ε<-A x f 那末 .)(lim 0 A x f x x =→ [ ] 4、如果在0x 的某一去心邻域内，,0)(>x f 且.0,)(lim 0 >=→A A x f x x 那末 [ ] 5、如果A x f x =∞ →)(lim 且,0>A 那么必有,0>X 使x 在[]X X ,-以外时.0)(>x f [ ] 二．单项选择题 1、从1)(lim 0 =→x f x x 不能推出 。 （A ）1)(lim 0 0=+→x f x x （B ）1)0(0=-x f （C ）1)(0=x f （D ）0]1)([lim 0 =-→x f x x 2、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0 x f x x →存在的 。 （A ） 充分条件但非必要条件； （B ）必要条件但非充分条件 （C ） 充分必要条件； （D ）既不是充分条件也不是必要条件 3、若,11 )(,1 )1()(2 2+-=--=x x x g x x x f 则 。 （A ）)()(x g x f = （B ）)()(lim 1 x g x f x =→ （C ）)(lim )(lim 1 1 x g x f x x →→= （D ）以上等式都不成立 4、)(lim )(lim 0 00x f x f x x x x +→-→=是)(lim 0 x f x x →存在的 。 （A ）充分条件但非必要条件； （B ）必要条件但非充分条件 （C ）充分必要条件； （D ）既不是充分条件也不是必要条件 四．根据函数极限的定义证明 （1）8)13(lim 3=-→x n （2）44 4 lim 22-=+--→x x x （3）2 121lim 33=+∞→x x x （4）2)4(lim 2 -=--+∞→x x x x 五．求x x x 0 lim → 六．设f(x)=? ??<>-1;21 ;13x x x x 求（1）)(lim 1 x f x → （2）)(lim 2 x f x → （3）)(lim 0 x f x → 七．设函数| |35| |3)(x x x x x f -+= ，求 （1）)(lim x f x +∞ → （2）)(lim x f x -∞ → （3）)(lim 0 x f x +→ （4）)(lim 0 x f x -→（5）)(lim 0 x f x → §4无穷小与无穷大 一、是非题 1、零是无穷小。 [ ] 2、 x 1 是无穷小。 [ ] 3、两个无穷小之和仍是无穷小。 [ ] 4、两个无穷小之积仍是无穷小。 [ ] 5、两个无穷大之和仍是无穷大。 [ ] 6、无界变量必是无穷大量。 [ ] 7、无穷大量必是无界变量。 [ ] 8、0,x x →是βα时的无穷小，则对任意常数A 、B 、C 、D 、E ， ββαβE Da C B Aa ++++22也是0x x →时的无穷小。 [ ] 二．单项选择题 1、若x 是无穷小，下面说法错误的是 。 （A ）x 2是无穷小；（B ）2x 是无穷小； （C ）x-0．0001是无穷小；（D ）-x 是无穷小。 2、在X →0时，下面说法中错误的是 。 （A ）xsinx 是无穷小（B ）是无穷小x x 1 sin (C)x 1sin x 1是无穷大; (D)x 1是无穷大。 3、下面命题中正确的是 。 （A ）无穷大是一个非常大的数； （B ）有限个无穷大的和仍为无穷大； （C ）无界变量必为无穷大； （D ）无穷大必是无界变量。 三．下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量 （1） lnx )1(→x 及)0(+→x （2）)21 (sin +x x )0(→x (3) x e )(+∞→x 及)(-∞→x (4) x e 1 )0(+→x 、)0(-→x 及)0(→x 四．证明函数x x y cos =在),0(+∞内无界，但当+∞→x 时，这函数不是无穷大。 §5 极限的运算法则 一．是非题 1、R ) () ()(x Q x p x = 是有理分式，且)(,0)(x T x Q ≠是多项式， 那末 []).()()()(lim 000 x T x R x T x R x x +=+→ [ ] 2、.0lim ...2lim 1lim ...321lim 2222 =+++=++++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n [ ] 3、0 0011 lim sin lim .limsin 0x x x x x x x →→→== [ ] 4、 若则可断言且存在,0)(lim ,)()(lim 0 0=→→x g x g x f x x x x 0)(lim 0=→x f x x [ ] 二．计算下列极限 （1） 35lim 22-+→x x x （2）1 1 2lim 221-+-→x x x x （3）h x h x h 220)(lim -+→ （4）121 lim 22---∞→x x x x （5）13lim 2420+-+→x x x x x （6）4 58 6lim 224+-+-→x x x x x （7）)2141211(lim n n ++++ ∞ → （8）2)1(321lim n n n -++++∞→ （9） )1311( lim 31 x x x ---→ （10） 3 5)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→ （11） x e x x arctan lim +∞ → （12） x x x 1sin 1sin lim 0 +?→ （13） )11(lim 22 -- +∞ →x x x （14）1 2lim ++++∞ →x x x x x 四．已知 22 l i m 2 22=--++→x x b ax x x ，求常数,a 和b 。 五．已知 1)1 1(l i m 23=--++∞→b ax x x x ，求常数,a 和b 。 §6极限存在准则，两个重要极限 一．是非题 1、,lim lim a z y n n n n ==∞ →∞ →且当n>N 时有.lim ,a x z x y n x n n n =≤≤∞ →那么 [ ] 2、如果数列n x 满足：（1）为常数a n a x n ...,2,1(=<；（2）x n >x n+1(n=1,2…).则 x n 必有 极限 [ ] 3、1sin lim =∞→x x x [ ] 4、1)1 1(lim =+∞→n n n [ ] 5．∞=+→x x x 1 )1(lim [ ] 二．单项选择题 1、下列极限中，极限值不为0的是 。 （A ）; lim x arctgx x ∞→ （B ）x x x x cos 3sin 2lim +∞→ （C ）x x x 1sin lim 02 → （D ）242lim x x x x +→ο 2、若且),()(x x f ?>则必有b x a x B x A x f →→==,)(lim ,)(lim ? 。 （A ）A>B (B)A ≥B (C)|A|>B (D)|A|≥|B| 3、1000 )11(lim +∞ →+ n x n 的值是 。 (A)e (B)e 1000 (C)e ·e 1000 (D)其它值 4、=→x tgx x sin lim π 。 (A)1 (B) -1 (C)0 (D)∞ 5、=-→)sin 1 1sin (lim 0 x x x x x 。 (A)-1 (B)1 (C)0 (D)不存在 三．计算下列极限 （1） x x x 20sin lim → （2） x x tg x 3lim 0→ （3） ax h h cos 1lim 0 -+→ （4） x x x x sin 2cos 1lim 0-→ （5） x x x 10 )1(lim -→ （6）x x x 21lim 0 +→ （7） x x x x 2)1( lim +∞ → （8）kx x x )1 1(lim -∞→ （k 为正整数） （9）x x x 32)11(lim - ∞ → （10） x x x cos 20)sin 31(lim -→ （11）x x x x 3sin 11lim --+→ （12）x x x x x x )cos 1(1 sin 3sin lim 20++→ 三．利用夹逼准则证明：1)1 2111( lim 2 22=++++++∞ →n n n n n n 四．设01>=a x ，)2 (211n n n x x x +=+ ,3,2,1=n ，利用单调有界准则证明：数列}{n x 收敛，并求其极限。 §7无穷小的比较 1、γβα,,是同一极限过程中的无穷小，且,~,~γββα则必有γα~。 [ ] 2、0→x 时0lim sin sin lim ,~sin 303=-=-∴→∞→x x x x x tgx x x x x [ ] 3、已知11cos lim 0=-→x x x ，由此可断言，当)1(cos ,0x x x -→与时为等价无穷小。[ ] 4．当0→x 时，x 3sin 与1-x e 是同阶无穷小 。 [ ] 5．当1→x 时，31x - 是1-x 的高阶无穷小。 [ ] 二．单项选择题 1、x →0时，1—cosx 是x 2的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 2、当x →0时，（1—cosx ）2是sin 2x 的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 3、如果应满足则高阶的无穷小是比时c b a x c bx ax x ,,,11 1,2+++∞→ 。 (A)1,1,0===c b a (B) 为任意常数c b a ,1,0=≠ (C) 为任意常数c b a ,,0≠ (D) 都可以是任意常数c b a ,, 4、1→x 时与无穷小x -1等价的是 。 (A) () 3121x - (B) () x -121 (C) () 212 1 x - (D) x -1 5．下列极限中，值为1的是 。 (A) x x x sin 2 lim π∞ → (B) x x x sin 2 lim π→ (C) x x x sin 2 lim 2 ππ → (D) x x x sin 2 lim ππ → 三．证明：当0→x 时，2~)2cos (cos 3 2 x x x -。 四．确定α的值，使α x x x 4 1~sin 1tan 1+-+ （)0→x §8 函数的连续性与间断点 1、)(x f 在其定义域（a,b ）内一点x 0处连续的充分必要条件是)(x f 在x 0既左连续又右 连续。 [ ] 2、)(x f 在x 0有定义，且0 lim x x →)(x f 存在，则)(x f 在x 0连续。 [ ] 3、)(x f 在其定义域（a,b ）内一点x 0连续，则0 lim x x →)(x f =0 )(lim x x x f → [ ] 4、)(x f 在（a,b ）内除x 0外处处连续，点x 0是)(x f 的可去间断点，则 000 ()(,)(,) ()(,)lim (),x x f x x a x x b F x a b f x x x →∈??=?=??或在内连续 [ ] 5、)(x f 在0x x =无定义，则)(x f 在x 0处不连续。 [ ] 二．单项选择题 1、)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x x =连续的 。 (A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 2、连续的在是00)()()(lim 0 x x x f x f x f x x ==→ 。 （A ）必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 3、x x x f x 1 sin sin )(0?==是的 。 (A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)振荡间断点 (D)无穷间断点 4、的是则)(1,1,2,1,11 )(2x f x x x x x x x f =?? ???≥<--= 。 (A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)无穷间断点 5、的是则)(0, 0,1 cos ,0,0, 0,sin )(x f x x x x x x x x x x f =??? ??? ?>=<+= 。 (A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)振荡间断点 6、设函数,)1()(cot x x x f -=则定义)0(f 为 时)(x f 在0=x 处连续 (A) e 1 (B) e (C) -e (D)无论怎样定义),0(f )(x f 在0=x 处也不连续 三．研究下列函数的连续性，并画出图象。 （1）???≤<-≤≤=2 1;210;)(2x x x x x f （2）???>-<≤≤-=11;11 1;)(x x x x x f 或 四．判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的 定义使其连续。 （1）2 31 22+--=x x x y x=1,x=2 (2) t g x x y = x=k π )2,1,0(2 ±±=+=k k x ππ （3） ? ??>-≤-=1;31 ;1x x x x y x=1 五 .讨论函数n n n x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点判断其类型。 §9 连续函数的运算与初等函数的连续性 一．是非题 1、f(x),g(x)在0x x =连续，则)(3)().(2)(2x g x g x f x f -+在0x x =也连续。 [ ] 2、)(x f 在0x x =连续，)(x g 在0x x =不连续，则)()(x g x f +在x 0一定不连续。[ ] 3、)(x f 在x 0连续，)(x g 在x 0不连续，则)().(x g x f 在x 0一定不连续。 [ ] 4、x e x x x f sin )(= 在),(+∞-∞上连续。 [ ] 5、不连续函数平方后仍为不连续函数。 [ ] 三．.求函数6 33)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间。 四．.求函数? ??≤<≤≤-=31;31 0;12)(x x x x x f 的连续区间。 四．.设函数???≥+<=0 ;0 ;)(x x a x e x f x 应当怎样选择数a,使得f(x)成为),(+∞-∞内的连续函数。 五．求下列极限 （1）a x a x a x --→22cos cos lim （2）x x x 5sin )21ln(lim 0+→ （3）x x x cos 1cos 1lim 0 --+→ （4）1 sin 1tan 1lim 3 -+-+→x x e x x （5）1 313lim 110 +-+→x x x （6）x x arctan 3 lim ∞ → 六．设函数 ????? ????+--=)ln([ln 1cos 1sin )(2x x x x b x ax x f 000>= 问b a ,为何值时，)(x f 在),(+∞-∞内连续 §10 闭区间上连续函数的性质 一．是非题 1、)(x f 在（a,b ）内连续，则)(x f 在（a,b ）内一定有最大值和最小值。 [ ] 2、设)(x f 在[a,b]上连续且无零点，则)(x f 在上[a,b]恒为正或恒为负。 [ ] 3、)(x f 在[a,b]上连续且单调，f(a)·f(b)<0,则)(x f 在（a,b ）内有且只有一个零点。[ ] 4、若)(x f 在闭区间[a,b]有定义，在开区间（a,b ）内连续，且f(a)·f(b)<0，则)(x f 在（a,b ）内有零点。 [ ] 5、)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上有界。 [ ] 6、)4 3,4(,0143,014 π πππ 在tgx tg tg ∴<-=>=内必有零点。 [ ] 二．单项选择题 1、函数],[)(b a x f 在上有最大值和最小值是],[)(b a x f 在上连续的 (A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件。 2、],[)(b a x f 在上连续，,,0)()(654321b x x x x x x x b f a f <<<<<<< ,1)(,0)()(,1)()()(542631-======x f x f x f x f x f x f 则应判断),()(b a x f 在内的零 点个数 。 (A) ≥3 (B) ≥4 (C) ≥5 (D) ≥6 3、下列命题错误的是 (A) ],[)(b a x f 在上连续，则存在)()()(],,[,2121x f x f x f b a x x ≤≤∈使 (B) ],[)(b a x f 在上连续，则存在常数M ，使得对任意M x f b a x ≤∈)(],,[都有 (C) ],[)(b a x f 在内连续，则在（a,b ）内必定没有最大值； (D) ],[)(b a x f 在内连续，则在（a,b ）内可能既没有最大值也没有最小值； 4．对初等函数来说，其连续区间一定是（ ） （A ）其定义区间 （B ） 闭区间 （C ） 开区间 （D ） （),+∞∞- 三．证明方程135 =-x x 至少有一个根介于1和2之间。 四．若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，b b f a a f ><)(,)(。证明：至少有一点 ),(b a ∈ξ，使得ξξ=)(f 。 五．设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，),(,b a d c ∈，0,021>>t t ，证明：在[],b a 上必有点ξ，使得 )()()()(2121ξf t t d f t c f t +=+ 六．若)(x f 在],[b a 上连续，.21b x x x a n <<<<< 则在],[b a 上至少存在一点ξ，使 n x f x f x f f n ) ()()()(21+++= ξ 第一章自测题 一、填空题 1．已知)2(sin x f =1+cosx ，则)2 (cos x f = 。 2．x x x x e e e e x f 111 1)(-+= -，则)(x f 连续区间为 ，)0(+f = ， )0(-f = 。 3．) 1()34(lim 22 x x x x -+∞→ = 。 4．0→x 时，x tgx sin -是x 的 阶无穷小。 5．x x k x 1 sin lim 0 →=0成立的k 为 。 6．=-∞ →atctgx e x x lim 。 7．???≤+>+=0 ,0 ,1)(x b x x e x f x ，在x =0处连续，则b = 。 8．=+→x x x 6) 13ln(lim 0 。 二、单项选择题 1．设)(x f 、)(x g 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 所给的函数必为奇函数。 （A ）)()(x g x f +；（B ）)()(x h x f +；(C))]()()[(x g x h x f +；（D ）)()()(x h x g x f 2．x x x +-= 11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。 （A ）α是比β高阶的无穷小； （B ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β同阶无穷小，但不等阶；（D ）βα~ 3．函数?? ? ??=-≥≠-+-+=0)1(0111 1)(3x k x x x x x f ，，，在x=0处连续，则k = 。 （A ） 23； （B ）3 2 ； （C ）1； （D ）0。 4．数列极限=--∞ →]ln )1[ln(lim n n n n 。 （A ）1； （B ）-1； (C)∞ ； (D)不存在但非∞。 5．??? ? ???>=<+=, 0,1 cos ,0,0,0,sin )(x x x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的 。 （A ） 连续点； （B ）可去间断点； （C ）跳跃间断点； （D ）振荡间断点。 三、计算下列极限 1．1 2sin 2lim -∞ →n n n x 2．x ctgx x x -→cos lim 3．)1(lim 1-∞ →x x e x 4．x x x x 3)1 212( lim -+∞ → 5．1cos cos 21cos 2cos 8lim 223 -+--→ x x x x x π 6．xtgx x x x x cos sin 1lim 0-+→ 7．])1(1 321211[lim +++?+?∞→n n n 8．32324)21ln(lim x arctg x x --+→ 四、用极限定义证明)0(,lim >=+→a a x a x 。 五、试确定a 、b 之值，使2 1 )11( lim 2=-++∞→b ax x x x 六、利用极限存在准则求极限 1．n n n n 13121111 131211lim ++++++++++ ∞ → 。 2．设01>>a x ，且),,2,1(1 ==+n ax x n n 证明n n x ∞ →lim 存在，并求此极限值。 七、讨论函数=)(x f x x x x n n n n n --∞→+-lim 的连续性，若有间断点，指出其类型。 八、设)(x f 在],[b a 上连续，且b x f a <<)(，证明在),(b a 内至少有一点ξ，使 ξξ=)(f 。 第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？ （1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？ 解 成本函数C （x ）=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f = = ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ； 第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤ 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。 一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，） ，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？ （1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 （2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 （3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。 （4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域： （1） 23+=x y ； 解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。 （3）211x x y --=； 解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。 （5） x y sin =； 解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ； 解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。 （9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥ 课 时 授 课 计 划 课次序号： 03 一、课 题：§1.3 函数的极限 二、课 型：新授课 三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质． 四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念． 教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用． 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、授课效果 分析： 第三节 函数的极限 复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系． 在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多． 一、x →∞时函数的极限 对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的． 定义1 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）?A ． 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞ f （x ）?A ． 例1 证明lim x 0． 证 0 -，故?ε＞00-＜εε， 即x ＞21 ε．因此，?ε＞0，可取X ?21ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 lim x ?0． 例2 证明lim 100x x →-∞ =． 证 ?ε＞0，要使100x -?10x ＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ?｜l gε｜?1，当x ＜?X 时，即有｜10x ?0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞ 10x ?0． 定义2 若?ε＞0，?X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞ f （x ）?A ． 为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限： f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →∞）． 注 若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞→+∞→-∞ ===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水 平渐近线． 由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理． 定理1 lim x →∞f （x ）?A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）?lim x →-∞ f （x ）?A ． 例3 证明2lim 1 x x x →∞--?1． 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ） 随堂练习 一 第一章 函数与极限 一、填空题 1、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 2、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 3、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 4、=++++∞→3 52352) 23)(1(lim x x x x x x 。 5、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 6、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 7、当+∞→x 时， x 1 是比 3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 9、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 10、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 11、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 12、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 13、设? ??>≤+=0,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。 二、计算题 1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++ ∞ → ； （2）2)1(321lim n n n -++++∞→ ； （3）35lim 22-+→x x x ； （4）1 1 2lim 221-+-→x x x x （5）)12)(11(lim 2x x x -+ ∞ → ； （6）x x x 1 sin lim 20→ ； （7）x x x x +---→131lim 21 ； （8）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； 2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim 0→ ； （2）x x x 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ； （4）x x x x )1( lim +∞→ ； （5）1 )11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1 )1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶 （1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(2 1 112 x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+x x 与x 。 4、利用等价无穷小性质求极限 （1）30sin sin tan lim x x x x -→ ； （2）),()(sin ) sin(lim 0是正整数m n x x m n x → ； 5、讨论函数的连续性 。 在? ??=>-≤-=11,31 ,1)(x x x x x x f 6、利用函数的连续性求极限 （1）)(lim 22 x x x x x -- ++∞ →； （2）x x x sin ln lim 0 → （3）x x x 2)11(lim + ∞→； （4）)1 1 (lim ,)1(lim )(1 --=+ →∞→t f n x x f t n n 求设 （5）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； （6）1)1232( lim +∞→++x x x x ； （7）3 0sin tan lim x x x x -→ ； 7、设函数???≥+<=0 ,0 ,)(x x a x e x f x 应当怎样选择a ，使得) ()(∞+-∞，成为在x f 内的连续函数。 8、证明方程135 =-x x 至少有一个根介于1和2之间。 9、设????? ≤+>=0 ,0,1sin )(2 x x a x x x x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续， 应当怎样选择数a ？ 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____ 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1. （等价小量与洛必达） 2.已知 （洛必达） 3. （重要极限） 4.已知a、b为正常数， （变量替换）5. 解：令 6. （变量替换） 7.已知在x=0连续，求a 解：令（连续性的概念） 三、补充习题（作业） 1.（洛必达） 2.（洛必达或Taylor） 第二讲导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法 A.导数微分的计 算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求 解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则 B.曲线切法线问题5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0 C.导数应用问题 6.已知， ，求点的性质。 解：令，故为极小值点。 7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域 考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限 极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。 答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(，且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见 f(x)为奇函数； 反过来，若f(x)为奇函数，则? x dt t f 0 )(为偶函数，从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ，所以 x=0为第二类间断点； 0)(lim 1=+ →x f x ，1)(lim 1 -=- →x f x ，所以x=1为第一类间断点，故 应选(D). 【评注】 应特别注意：+∞=-+ →1 lim 1x x x ，.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ，.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换，则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x . 第一章 函数与极限 一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调 性、周期性和有界性）的了解。 （ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。 （ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。 （ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）有关确定函数定义域的题型 1．（4分）1 )2ln()(+-= x x x f 的定义域为 21<<-x 2．（4分）) 2ln(1 )(x x x f -+= 的定义域为 [))2,1(1,1Y - 3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2 x f []1,1-∈x （2）（6分）)2(x f (]0,∞-∈x （3）（7分）)31 ()31(-++x f x f ?? ????∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x x f cos 1)2 (sin +=，则)(x f =)1(22 x - 6．（4分）设???????>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ??? ? ???>=<-=0,10,00,1)(x x x x f 7．求下列函数的反函数 （1）（4分）31+=x y 1,13 3-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-= 11 x x y y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x 第一章函数与极限 区间 [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 x (D为非空实数集) 函数y=f(x)、y=F(x) D D为函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。 函数的奇偶性 如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数； 如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称,若奇函数定义 域中含有0，则F(0)=0。f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。 函数的周期性 对于函数，若存在一个不为零的数l ，使得关系式 对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。 注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 反函数 反函数的定义： 设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M. 如果对于每一个M y ∈，有惟一的一个D x ∈与之对应，并使)(x f y =成立，则得到一个以y 为自变量，x 为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作 )(1y f x -= 显然，)(1 y f x -=的定义域为M ，值域为D. 由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示， 所以)(x f y =的反函数可表示为 )(1x f y -= 反函数的存在定理 若在(a ，b)上严格增(减)，其值域为 R ，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增(减). 注：严格增(减)即是单调增(减) 反函数的性质 在同一坐标平面内， 与 )(1 x f y -=的图形是关于直线y=x 对称。 关于直线y=x 对称的。如右图所示： 复合函数的定义 若y 是u 的函数： ，而u 又是x 的函数： ，且 的函数值的全部或部分在 的定义域内，那末，y 通过u 的联系也是x 的函数，我们称后一个函数是由函数 及 复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u 叫做中间变量。 注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。 分段函数：？？？？ 目录： 函数与极限 (1) 1、集合的概念 (1) 2、常量与变量 (2) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (5) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (9) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-第一章函数与极限复习提纲
高等数学函数的极限与连续习题及答案
函数与极限习题与答案
大一高数第一章--函数、极限与连续
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点
第一章 函数与极限的练习解答
高等数学同济大学版课程讲解函数的极限
1第一章 函数与极限答案
高数第一次课随堂练习函数与极限
(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2
大一高等数学总结
考研数学高数公式：函数与极限解读
答案高等数学第一章函数与极限试题
第一章函数和极限答案
第一章 函数与极限知识点
高等数学(函数与极限)完全归纳笔记
大一经典高数复习资料全面