高等数学习题九课后答案

习题九

1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程：

(1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π

t =;

(2)x 2+y 2+z 2

=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0).

解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π

t =

的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ????????'''==-?? ? ? ?????????

当π4t =

时， ,,222a b c x y z === 切线方程为

2220a b c x y z a c

---==-. 法平面方程为

0()0.222a b c a c x y z ??????++-=--- ? ? ???????

即 22

022

a c ax cz --+=.

（2）联立方程组

2226

x y z x y z ?++=?

++=? 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得

d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x

y z x x

+?+?=???

?++=?? 解得

d d ,,d d y z x z x y

x y z x y z

--==--

在点M 0（1，-2，1）处，

d d 0,1d d M M y z

x x ==- 所以切向量为{1，0，-1}.

故切线方程为

121

101

x y z -+-==

- 法平面方程为

1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0

即x -z =0.

(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得

d d 22,21d d y z

y m z x x ==- 于是

d d 1

,d d 2y m z x y x z

==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0

011,,2m

y z ??-????,故切线方程为

00000

,112x x y y z z m y z ---==-

法平面方程为

00000

1()()()02m x x y y z z y z -+

---=. 2. t (0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin 2

在

相应点的切线垂直于平面0x y +=，并求相应的切线和法平面方程。

解：1cos ,sin ,2cos 2

x t y t z '''=-==,

在t 处切向量为{}

1cos ,sin ,2cos 2

T t t =-u r ,

已知平面的法向量为{1n =r

且T u r ∥n r ,

故2cos 1cos sin 11

t t

-==解得π2t =

，相应点的坐标为π1,1,2?- ?.

且{1,1T =u r

故切线方程为

π1

1211x y -

+-==

法平面方程为

1102

x y z -

++--= 即

π042x y ??

+-=+ ???

3. 证明：螺旋线x = acost, y = asint, z = bt 的切线与z 轴形成定角。证明：sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 螺旋线的切向量为

{sin ,cos ,}T a t a t b =-u r

与z 轴同向的单位向量为

{0,0,1}k =r

两向量的夹角余弦为

cos θ=

为一定值。

故螺旋线的切线与z 轴形成定角。

4. 指出曲面z = xy 上何处的法线垂直于平面x -2y +z =6,并求出该点的法线方程与切平面方程。解：z x =y , z y =x .

曲面法向量为{}1,,1n y x =-u r

已知平面法向量为{}21,2,1n =-u u r

且1n u r ∥2n u u r ，故有112

y x ==--

解得x =2,y =-1,此时，z =-2.

即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为

212

121

x y z -++==--. 切平面方程为

-1(x -2)+2(y +1)-(z +2)=0

即 x -2y +z -2=0. 5. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：

(1)z = x 2+y 2,点M 0(1,2,5);

(2)z = arctan y

x ,点M 0(1,1,π4);

解：（1）00

2, 4.22y

m m m m z z y x ====

故曲面在点M 0(1,2,5)的切平面方程为

z -5=2(x -1)+4(y -2).

即 2x +4y -z =5. 法线方程为

125

241x y z ---==

- （2）0

1,.2

m m m m y

x z z x y x y -

==-=

=++ 故曲面在点M 0(1,1,

)的切平面方程为 z -π4=-12 (x -1)+1

(y -1). 法线方程为

π11411122

z x y -

--==--.

6. 证明：曲面xyz = a 3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。证明：设 F (x ,y ,z )=xyz -a 3. 因为 F x =yz ,F y =xz ,F z =xy ,

所以曲面在任一点M 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面方程为

y 0z 0(x -x 0)+x 0z 0(y -y 0)+x 0y 0(z -z 0)=0.

切平面在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为3x 0,3y 0,3z 0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为

33000000

1119132727.

3336622

V z x y z a a x y ??=?==?=?????

它为一定值。

7.解：平面∏与曲面22z x y =+在(1,2,5)-的切平面的法向量为

}{}{002,2,12,4,1n x y =-=--r

从而平面∏的方程为：2450x y z ---=

又l 的方向向量为110(1)11

i j k s i j a k a ==-++--r r r r r r r

由0n s ?=r r

求得5a =-

在l 上取一点，不妨取01x =求得00(1).53y b z b =-+=+ 由于000(,,)x y z 在平面∏上，代入平面方程中可求得2b =-. 8. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为πππ

,,343

αβγ===的方向导数。解：

(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)

cos cos cos u u u u

y l x z αβγ????=++????

22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ

cos cos cos 5.(2)()(3)343

xy xz y yz z xy =++=---

9. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。

解：{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r

AB u u u r

的方向余弦为

4312cos ,cos ,cos 131313

αβγ=

== (5,1,2)

(5,1,2)

(5,1,2)(5,1,2)

2105

u yz x u xz y u xy

?==??==??==? 故

4312982105.13131313

u l ?=?+?+?=? 10. 求函数22221x y z a b ??

=-+ ???

在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线

方向的方向导数。

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为

2222220,x y b x y y a b a y

''+==-

所以在点处切线斜率为

2.b y a a '

==- 法线斜率为cos a b

?=.

于是tan sin ??== ∵

2222,,z z x y x a y b

??=-=-??

∴

2222z l

a b ??=-

?? 11.研究下列函数的极值： (1) z = x 3+y 3－3(x 2+y 2); (2) z = e 2x (x +y 2+2y ); (3) z = (6x －x 2)(4y －y 2); (4) z = (x 2+y 2)2

2()

e x

y -+;

(5) z = xy (a －x －y ),a ≠0.

解：（1）解方程组2

360

360x y

z x x z y y ?=-=??=-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).

z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6

在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0.

在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8.

(2)解方程组22

2e (2241)02e (1)0

x x

y z x y y z y ?=+++=??=+=?? 得驻点为1,12??

- ???

22224e (21)4e (1)2e x xx x xy x

yy z x y y z y z =+++=+=

在点1,12??- ???处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ??=-- ???

(3) 解方程组22

(62)(4)0

(6)(42)0

x y z x y y z x x y ?=--=??=--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).

Z xx =－2(4y -y 2), Z xy =4(3－x )(2－y ) Z yy =－2(6x －x 2)

在点（3，2）处，A =－8，B =0，C =－18，B 2－AC =－8×18<0,且A <0，所以函数有极大值z (3,2)=36.

在点（0，0）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,4)不是极值点.

(4)解方程组2

22()22()22

(1)02e

(1)0x y x y x x y y x y -+-+?--=??--=??

得驻点P 0(0,0),及P (x 0,y 0),其中x 02+y 02=1，

在点P 0处有z =0，而当（x ,y ）≠(0,0)时，恒有z >0，故函数z 在点P 0处取得极小值z =0. 再讨论函数z =u e -u

由d e (1)d u z u u -=-，令d 0d z u

=得u =1, 当u >1时，d 0d z u <；当u <1时，d 0d z

由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有

222()

1()e e x

y z x y -+-=+≤.

故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -1

(5)解方程组(2)0

(2)0

x y z y a x y z x a y x =--=??=--=??

得驻点为 12(0,0),,33a a P P ??

???

z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .

故z 的黑塞矩阵为 222222y

a x y H a x y

x ---??=??---?? 于是 122033(),().023

a a H P H P a a a ??

????

==????????-

-???? 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，

H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3

,2733a

a a z ??= ???,

H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3

,27

33a

a a z ??= ???.

12. 设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0，确定函数z =z (x ,y )，研究其极值。解：由已知方程分别对x ,y 求导，解得

484,281

281

z x z z y x z x y z x ?--?-==?+-?+- 令

0,0,z z x y ??==??解得0,2

x y z ==-, 将它们代入原方程，解得162,7

x x =-=

. 从而得驻点16(2,0),,07??- ???

2222

(281)(48)4828(281)428,(281)

4(281)8

(281)

z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x z z x z

z x ??????+-++--+ ? ????????=

?+-???+ ?????=??++?-+--??=?+-

在点（-2，0）处，44

1,,0,,1515

Z A B C ==

==B 2-AC <0，因此函数有极小值z =1. 在点16,07??

???

处，82828,,0,,7105105Z A B C =-=-

==-B 2-AC <0，函数有极大值

z =-.

13. 在平面xOy 上求一点，使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离的平方之和为最小。

解：设所求点为P (x ,y )，P 点到x =0的距离为|x |,到y =0的距离为|y |，到直线x +2y -16=0的距离为

距离的平方和为

2221

(216)5

z x y x y =+++-

由22(216)0542(216)0

5z x x y x z y x y y

??=++-=??????=++-=??? 得唯一驻点816,55?? ???,因实际问题存在最小值，故点816,55??

???

即为所求。

14. 求旋转抛物面z = x 2+y 2与平面x +y -z =1之间的最短距离。

解：设P （x ,y ,z ）为抛物面上任一点.则点P 到平面的距离的平方为

2(1)3x y z d +--=,即求其在条件z = x 2+y 2下的最值。设F （x ,y ,z ）

22(1)()3

x y z z x y λ+--+-- 解方程组22

2(1)2032(1)203

2(1)

03x y

z x y z F x x y z F y x y z F z x y

λλλ+--?=-=??

+--?=-=???-+--=

+=??

?=+? 得1

x y z ===

== 15. 抛物面z = x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最

短距离。

解：设椭圆上的点为P （x ,y ,z ），则

|OP |2=x 2+y 2+z 2.

因P 点在抛物面及平面上，所以约束条件为

z =x 2+y 2， x +y +z =1

设F （x ,y ,z ）= x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1)

解方程组12121222220220

201

x y

z F x x F y y F z z x y x y z λλλλλλ=-+=??=-+=??

=++=??=+??++=?

得

2x y z ==

= 由题意知，距离|OP |有最大值和最小值，且

(

222

292x y z OP =++=+=m .

16. 在第I 卦限内作椭球面

222

1x y z a b c ++= 的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。

解：令222

222(,,)1x y z F x y z a b c

=++-

∵222222,,,x y z x y z

F F F a b c

== ∴椭球面上任一点0000(,,)P x y z 的切平面方程为

000

000222

222()()()0.x y z x x y y z z a b c -+-+-= 即 000222 1.x x y y z z

a b c

++=

切平面在三个坐标轴上的截距分别为222

000,,a b c x y z ，因此切平面与三个坐标面所围

的四面体的体积为

222222

000000

166a b c a b c V x y z x y z =???=

即求2226a b c V xyz =在约束条件222

2221x y z a b c

++=下的最小值，也即求xyz 的最大值问

题。

设 222222(,,)1x y z x y z xyz a b c λ??

Φ=+++- ???

解方程组2

2222

22220,20,20,

y z x yz a x xz b x xy c x y z a b c λλλ?

Φ=+=??

?Φ=+=???Φ=+=???++=?

得x y z =

==.

故切点为，此时最小体积为

222.26a b c V abc a b c ==

17. 设空间有n 个点，坐标为(,,)(1,2,,)i i i x y z i n =L ,试在xOy 面上找一点，使此

点与这n 个点的距离的平方和最小。解：设所求点为P （x ,y ,0），则此点与n 个点的距离的平方和为

222222*********

1212222222222121212()()()()()()2()2()

()()()

n n n n n n n n S x x y y z x x y y z x x y y z nx x x x x ny y y y y x x x y y y z z z =-+-++-+-+++-+-+=-++++-+++++++++++++++ L L L L L L

解方程组121222()022()0x n y n S nx x x x S ny y y y =-+++=??=-+++=??L L

得驻点1212n n x x x x n

y y y y n +++?=???+++?=??

L L

又在点1111,n

n i

i i i x y n n ==?? ???

∑∑处

S xx =2n =A , S xy =0=B , S yy =2n =C B 2-AC =-4n 2<0, 且A >0取得最小值. 故在点1111,n

n i i i i x y n n ==?? ???∑∑处，S 取得最小值.

即所求点为1111,,0n n i i i i x y n n ==??

???

∑∑.

产量x (310件) 40 47 55 70 90 100 利润y (310元)

解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设

f (x )=ax +b ，求[]6

()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组

666

111

1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得

2983440224003

4026320a b a b +=??

+=?

解得 a =, b =

即 y =当x =120时，y =(310元).