2016高中自主招生数学模拟试题及答案

2014年黄冈中学自主招生数学试题

一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是

2.若实数a

满足42a a -

+=，则1a a

-的值是

3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，

,AD AE x y AB AC ==，且1

2y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是

4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||

a b a b a b

a b a b a b +-+++

+-的结果是

5.若非零的实数,,,a x y z 满足等

式=，则

x y xy yz zx

+++的值是

6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=

7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是

8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =

9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是

10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是

A D

A C

二、解答题（本大题5小题，共70分）

11.（本题满分12分）

已知点(A B ，函数15

y x =+的图象是直线l ，点(,)

P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.

12.（本题满分12分）已知关于x 的函数22(1)3y kx k x k =-+++的图象与x 轴有交点. （1）求k 的取值范围；

（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ，且212122(1)34kx k x k x x ++++=.试求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值.

13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，

DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD ，AE =4DB =，求FC

的长.

14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ?=?.

15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数.

试题及解答

一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是

解：这四个实数的和为

2457

+++=，所以这四个数分别是62,64,65,67----，即4,2,1,1-，其积是-8. 2.若实数a

满足42a a -

+=，则1a a

-的值是解：

去分母得242a a -+

，移项得2240a a -+=.

t =，则方程变为2340t t +-=，∴1t =或4t =-（舍去）.

1=得2210a a --=，所以1

a a

=2. 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且1

2y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是

解：∵(1)(1)2(1)BDE

ABE ABE ABC BD AE

S S x S x S x y AB AC

????==-=-=- 22119

2(1)()212()248x x x x x =-+=-++=--+，

∴三角形BDE 面积的最大值是

. 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简

||||||||

a b a b a b

a b a b a b +-+++

+-的结果是解：显然0a ≥.

若0a =，则方程可变为|2|x b -=，方程最多两解，不合题意，所以0a >. 方程可化为|2|x b a -=±.

当b a <时，方程可化为|2|x b a -=+，有两解，不合题意. 当b a =时，|2|2,|2|0x a x -=-=,有三解，不合题意.

当b a >时，|2|,|2|x b a x b a -=+-=-方程有四解，符合题意. 故0b a >>.从而

||1111||||||a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b b a a b

+-+-+++=+++=-++=+-+-2. 5.若非零的实数,,,a x y z 满足等式=，则

x y xy yz zx

+++的值是

解：若320x y -=，则=430y z -=；若430y z -==320x y -=；

若320x y -≠且430y z -≠，则由230(32)0y x a x y ->??-?≥得0a <；由430

(43)0y z a y z ->??-?

≥得0a >，矛

盾.

故320x y -=且430y z -=.

A C

D E

于是643x y z ==，可令2,3,4x t y t z t ===，所以 2222222

496128x y t t xy yz zx t t t ++==++++1

. 6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=

解：连结CD ，则CD EF =，所以EF 的长最小时即为CD 的长最小，此时CD AB ⊥,于是FED FCD B ∠=∠=∠，所以

cos cos BC FED B AB ∠==

. 7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是

解：64341(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x -++=+-++-++，所以余式是+1x .

8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =

解：由20p ap b ++=，20p bp c ++=得，()0a b p b c -+-=，∴c b

p a b

-=-. 同理a c q b c -=

-，b a

r c a

-=-. ∴1pqr =-.

又,,p q r 互不相等，如p q =，则,p q ①③的公共根，于是p q r ==，从而1p q r ===-，代入①②③有1,1,1b a c b a c -=--=--=-，三式相加得03=-，矛盾. 由上述结论可知，①的两根为,p r ；②的两根为,p q ；③的两根为,q r . 由根与系数关系，有,,a pr b pq c rq ===，故222abc p q r ==1.

∴n 的所有可能值的个数是6.

10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是

A C

1 2 4 16 8

1 2 32 4

64 10

8 1 128 21 20 3 16 2 5

解：观察知，表中第m 行第n 列的数是1mn +.由12014mn +=得201331161mn ==??，m 是2013的正约数，所以(,)m n 有8对，从而2014在表中出现的次数是8. 二、解答题（本大题5小题，共70分）

11.（本题满分12分）已知点(A B ，函数15

y x =+的图象是直线l ，点(,)

P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.

解：以AB 为直径作圆，交l 于点,C D ,则点P 在线段CD 上（不含端点）.………4分设点00(,)C x y ，则

00220

015(1)335(2)

y x x y ?

?+=?…………………………6分把（1）代入（2），整理得，

220x x +-=，

∴2,1x x =-=，……………………………8分 ∴(2,1),(1,2)C D -.

故a 的取值范围是21a -<<.……………12分

12.（本题满分12分）已知关于x 的函数22(1)3y kx k x k =-+++的图象与x 轴有交点. （1）求k 的取值范围；

（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ，且212122(1)34kx k x k x x ++++=.试求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值. 解：（1）当0k =时，函数为23y x =-+，图象与x 轴有交点.…………………2分当0k ≠时，图象与x

轴有交点的条件是

24(1)4(3)0k k k ?=+-+≥

解得1k ≤.…………………………………………………………………………分综上，k 的取值范围是1k ≤.……………………………………………………4分（2）12122(1)3

,k k x x x x k k

+++=

.………………………………………………5分由2112(1)30kx k x k -+++=得，21132(1)kx k k x ++=+， ∴212122(1)34kx k x k x x ++++=可化为

12122(1)()4k x x x x ++=………………………………………………………8分

∴2(1)3

2(1)4k k k k k

+++?

解得，1k =或2k =-.…………………………………………………………………10分但1k =时，函数图象与x 轴仅有一个交点，舍去. 2k =-时，

函数为2213

2212()22

y x x x =-++=--+，画图可知当1x -≤≤1时，最大值为32，最小值为3-.…………………………………………………………………………12分

13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD

，AE =4DB =，求

FC 的长.

解：∵AE 是圆的切线，∴2AE EB ED =?.

设EB x =，则(4)45x x +=，解得5x =.…………………3分

∵AE 是圆的切线,∴EAB ACB ∠=∠. ∵AB AC =,∴ACB ABC ∠=∠,

∴EAB ABC ∠=∠,∴AE ∥BC ,…………………………5分又BD ∥AC ，∴四边形AEBC 是平行四边形,………………7分

∴5BC AE AC BE ====.

又由AC ∥BD 得，

BF BD

FC AC

45=

，解得FC =.…………12分 14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ?=?. 证明：连接OP ，则点Q 在OP 上.…………………2分

∵OB PB ⊥,OP BC ⊥,∴2

PB PQ PO =?.…………4分设PA 交⊙O 于M ，则2PB PM PA =?.……………6分 ∴PQ PO PM PA ?=?, ∴POM ?∽PAQ ?， ∴OM AQ

OP AP

…………………………………………8分 ∴

OB AQ

OP AP

…………………………………………10分又∵OQ ∥AC ， ∴BOP BAC ∠=∠，

∴OBP ?Rt ∽ACB ?Rt ， ∴OB AC

OP AB

，………………………………………12分 ∴

AQ AC

AP AB

， ∴AB AQ AC AP ?=?.…………………………………16分 15.（本题满分18分）编号为1,2,

,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的

15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数.

解：12325325++++=.…………………………………………………………2分设乙原来手中有卡片x 张，平均数为y ，则原来甲手中有25x -张卡片，平均数为32525xy

--.…………………………………4分

由题意得，15

0.25(1)1

3103250.25(2)

2425xy y x xy xy x x +?=+??+?

--?=+?--?

………………………………………6分由(1)得，591

y x =

- (3)……………………………………………………………8分由(2)得，1

(310)(25)(325)(24)(25)(24)4

xy x xy x x x --=--+--，

221

31025253103252424325(25)(24)4

xy x x y xy x x y x x ?--+=?--++--，

即1

1550(25)(24)4

xy x x x =----………………………………………………………11分

将(3)代入(2)得，

25911

1550(25)(24)444

x x x x x -=----，解得16x =.………………………………………………………………………………15分故原来甲手中有9张卡片，乙手中有16张卡片.

把16x =代入（3），得434

y =

. 于是甲原来9张卡片总和为325153xy -=，平均数为17.因此,可写出如下一种原来甲、乙手中所持的卡片：

甲：13,14,15,16,17,18,19,20,21.…………………………………………………………18分